2021-2022學年北京市朝陽區(qū)七年級（下）期中數(shù)學試卷 題號一二三總分得分      一、選擇題（本大題共8小題，共24分）下列是一元一次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 若是關于、的方程的一個解，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 下列運用等式性質進行的變形中，正確的是(    )A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則如圖是某機器零件的設計圖紙，在數(shù)軸上表示該零件長度合格尺寸，正確的是(    )
 A.  B.
C.  D. 已知方程組，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 由方程組可得與的關系式是(    )A.  B.  C.  D. 若關于的不等式的解集如圖所示，則的值是(    )
A.  B.  C.  D. 年月的月歷如圖所示，用一個方框任意框出個數(shù)、、、若的值為，則的值為(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共6小題，共18分）如果是關于的方程的解，那么______．如果把方程寫成用含的代數(shù)式表示的形式，那么______．不等式的最小整數(shù)解為______．若方程組的解為，則______．關于，的二元一次方程組的解滿足，則的范圍為______．若關于的不等式組有且只有三個整數(shù)解，則的取值范圍是______． 三、解答題（本大題共10小題，共78分）解方程組：．解不等式：．解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
已知方程組和的解相同，求和的值．列方程組解應用問題：
“冰墩墩”和“雪容融”分別是北京年冬奧會和冬殘奧會的吉祥物．自年正式亮相后，相關特許商品投放市場，持續(xù)熱銷．某冬奧官方特許商品零售店購進了一批同一型號的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，連續(xù)兩個月的銷售情況如表：月份銷售量件銷售額元冰墩墩雪容融第個月第個月求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售價格．
若關于的方程的解和關于的方程與的解相同，求字母的值，并寫出方程的解．定義一種新運算“”，其規(guī)則為例如再如：．
計算值為______．
若，求的值．
有理數(shù)的加法和乘法運算都滿足交換律，即，，“”運算是否滿足交換律？若滿足，請說明理由；若不滿足，請舉例說明．【教材呈現(xiàn)】如下是華師版八年級下冊數(shù)學教材第頁的部分內容．已知關于方程的解是非負數(shù)，求的取值范圍．寫出這道題完整的解題過程．
【拓展】若關于、的方程組的解滿足，求的最小整數(shù)值．長春市為了更好地保護環(huán)境，污水處理廠決定購買最先進的污水處理設備，這種污水處理設備有型和型．已知購買一臺型設備比購買一臺型設備多萬元，購買臺型設備比購買臺型設備少萬元．
分別求購買一臺型和型設備的錢數(shù)．
若污水處理廠決定購買污水處理設備臺，購買污水處理設備的總金額不超過萬元，請你為該污水處理廠設計購買方案，并說明理由．
若型設備每月處理污水噸，型設備每月處理污水噸，按照中的購買方案，直接寫出該污水處理廠每月最多能處理污水的噸數(shù)．如圖，在數(shù)軸上點、、表示的數(shù)分別是、、動點從點出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動；同時，點從點出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動，設點的運動時間為秒．

的長為______；
當點與點相遇時，求的值．
當點與點之間的距離為個單位長度時，求的值．
若，直接寫出點表示的數(shù)．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項是一元一次方程，故該選項符合題意；
選項中含有兩個未知數(shù)，故該選項不符合題意；
選項中最高次數(shù)是次，故該選項不符合題意；
選項最高次數(shù)是次，故該選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)一元一次方程的定義判斷即可．
本題考查了一元一次方程的定義，掌握只含有一個未知數(shù)元，且未知數(shù)的次數(shù)是，這樣的整式方程叫一元一次方程是解題的關鍵．
 2.【答案】 【解析】解：是關于、的方程的一個解，
，
解得：．
故選：．
首先把代入關于、的方程，然后根據(jù)解一元一次方程的方法，求出的值即可．
此題主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為．
 3.【答案】 【解析】解：、，
，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
B、，
，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
C、，
，原變形正確，故此選項符合題意；
D、，
，原變形錯誤，故此選項不符合題意．
故選：．
根據(jù)等式的性質逐個判斷即可．
本題考查了等式的性質，能熟記等式的性質是解此題的關鍵，等式的性質：等式的兩邊都加或減同一個數(shù)或式子，等式仍成立，等式的性質：等式的兩邊都乘同一個數(shù)，等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于的數(shù)，等式仍成立．
 4.【答案】 【解析】解：表示長度大于，并且小于的范圍內的零件都是合格的．
故選C．
表示的意思是零件的長度與標準值的差距在或以內都是合格的．
本題考查一元一次不等式組的應用，讀懂數(shù)軸即可求解．在表示解集時“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
故選：．
根據(jù)方程組兩個方程相減得到，即可得到答案．
本題主要考查解二元一次方程組，兩方程相減是解題的關鍵．
 6.【答案】 【解析】解：，
得：，
故選：．
方程組消去即可得到與的關系式．
此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
 7.【答案】 【解析】解：由數(shù)軸知，
則，
解得：，
故選：．
由不等式，結合數(shù)軸知，從而得出不等式，解之可得．
本題考查的是解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，根據(jù)題意得到關于的方程是解答此題的關鍵．
 8.【答案】 【解析】解：設的值為，則，，，
的值為，
，
解得，
即的值為，
故選：．
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以得到與、、的關系，然后設為，根據(jù)的值為，即可列出相應的方程，然后求解即可．
本題考查一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．
 9.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
把代入方程計算即可求出的值．
【解答】
解：把代入方程得：，
解得：，
故答案為：．  10.【答案】 【解析】解：方程，
解得：．
故答案為：．
把看作已知數(shù)表示出即可．
此題考查了解二元一次方程，掌握等式的基本性質是解本題的關鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
最小整數(shù)解是，
故答案為：．
先求出不等式的解集，再求出整數(shù)解即可．
本題考查了解一元一次不等式和不等式的整數(shù)解，能求出不等式的解集是解此題的關鍵．
 12.【答案】 【解析】解：將代入方程組，
得，
解得，
．
故答案為；．
將代入方程組求出、的值，再代入所求所占計算即可．
本題考查了二元一次方程的解，要熟練掌握二元一次方程組的解法，解題時要根據(jù)方程組的特點進行有針對性的計算．
 13.【答案】 【解析】解：將兩個方程相加可得，
，
，
，
解得：，
故答案為：．
兩個方程相加，再兩邊除以得到，根據(jù)得到關于的不等式，解之可得．
本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．
 14.【答案】 【解析】解：，
由得：，
由得：，
解得：，
不等式組有且僅有三個整數(shù)解，即，，，
，
解得：．
故答案為：．
分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分表示出不等式組的解集，根據(jù)解集有且只有三個整數(shù)解，確定出的范圍即可．
此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．
 15.【答案】解：，
，得，
把代入，得．
原方程組的解為：． 【解析】由于兩個方程中的系數(shù)相同，可以選擇用加減消元法來解．
解二元一次方程組體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想，即二元方程一元化，本題也可以利用代入消元法求解，但是不如加減消元法簡單，同學們不妨一試．
 16.【答案】解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
化系數(shù)為得：． 【解析】根據(jù)去分母；去括號；移項；合并同類項；化系數(shù)為解答即可．
此題考查解一元一次不等式，關鍵是根據(jù)去分母；去括號；移項；合并同類項；化系數(shù)為解答．
 17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
則不等式組的解集為，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
 18.【答案】解：因為方程組和的解相同，
可得：，
解得：，
把，代入方程中，
可得：，
解得：，
所以和的值是；． 【解析】因為兩個方程組有相同的解，故只要將兩個方程組中不含有，的兩個方程聯(lián)立，組成新的方程組，求出和的值，再代入含有，的兩個方程中，解關于，的方程組即可得出，的值．
本題考查了方程組的解的定義，正確根據(jù)定義轉化成解方程組的問題是關鍵，考查了學生對方程組有公共解定義的理解能力及應用能力，是一道好題．
 19.【答案】解：設此款“冰墩墩”玩具的零售價格為元，“雪容融”玩具的零售價格為元，
依題意得：，
解得：．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售價格為元，“雪容融”玩具的零售價格為元． 【解析】設此款“冰墩墩”玩具的零售價格為元，“雪容融”玩具的零售價格為元，利用總價單價數(shù)量，結合表格內的數(shù)據(jù)，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論．
本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
 20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
由題意得：
，
解得：，
，
字母的值為，方程的解為． 【解析】先分別解兩個方程，再根據(jù)同解方程的意義可得，從而求出的值，再把的值代入或，進行計算即可解答．
本題考查了同解方程，熟練掌握同解方程的意義是解題的關鍵．
 21.【答案】 【解析】解：根據(jù)題中的新定義得：
原式

；
故答案為：；
根據(jù)題中的新定義化簡得：
，
解得：；
“”運算不滿足交換律，
例如：，，即．
原式利用題中的新定義計算即可求出值；
已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出的值；
“”不滿足交換律，舉例即可．
此題考查了解一元一次方程，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．
 22.【答案】解：【教材呈現(xiàn)】，
，
，
關于的方程的解是非負數(shù)，
，
解不等式得：，
的取值范圍是．
【拓展】，
得，
把代入得，
解得．
根據(jù)題意得，
解得．
的最小整數(shù)值是． 【解析】【教材呈現(xiàn)】求出方程的解，根據(jù)題意得出關于的不等式，求出不等式的解集即可．
【拓展】首先解不等式利用表示出和的值，然后根據(jù)列不等式求得的范圍．
本題考查了二元一次方程組的解和解一元一次不等式組，能根據(jù)已知得出不等式是解此題的關鍵．
 23.【答案】解：設購買一臺型設備需要萬元，購買一臺型設備需要萬元，
依題意得：，
解得：．
答：購買一臺型設備需要萬元，購買一臺型設備需要萬元．
設購買型設備臺，則購買型設備臺，
依題意得：，
解得：．
又為自然數(shù)，
可以為，，，
該污水處理廠共有種購買方案，
方案：購買型設備臺；
方案：購買型設備臺，型設備臺；
方案：購買型設備臺，型設備臺．
選擇方案每月可處理污水噸，
選擇方案每月可處理污水噸，
選擇方案每月可處理污水噸．
，
按照中的購買方案，該污水處理廠每月最多能處理污水噸． 【解析】設購買一臺型設備需要萬元，購買一臺型設備需要萬元，根據(jù)“購買一臺型設備比購買一臺型設備多萬元，購買臺型設備比購買臺型設備少萬元”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
設購買型設備臺，則購買型設備臺，利用總價單價數(shù)量，結合總價不超過萬元，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，再結合為自然數(shù)，即可得出各購買方案；
利用該污水處理廠每月處理污水的噸數(shù)每臺設備每月處理污水的噸數(shù)購買數(shù)量，可分別求出選項各方案該污水處理廠每月處理污水的噸數(shù)，比較后即可得出結論．
本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式；根據(jù)各數(shù)量之間的關系，求出選項各方案該污水處理廠每月處理污水的噸數(shù)．
 24.【答案】 【解析】解：的長為．
故答案為：；
依題意有：，
解得．
故的值是；
相遇前：，
解得；
相遇后：，
解得．
故的值為或；
當時，，
解得不符合題意，舍去；
當時，，
解得，
．
故點表示的數(shù)為．
根據(jù)兩點間的距離公式計算即可求解；
根據(jù)速度和時間路程和，列出方程計算即可求解；
分相遇前或相遇后兩種情況進行討論即可求解；
分或，根據(jù)，列出方程計算即可求解．
此題考查一元一次方程的應用、數(shù)軸上的動點問題的求解等知識與方法，解題的關鍵是弄清點的運動方向、速度，并且用代數(shù)式表示運動的距離．
 

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