長郡中學(xué)2021-2022學(xué)年度高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（    ）A. B. C. D.2.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A. B. C. D.3.函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B.C.  D.4.點A的坐標(biāo)為（1，3），將點A繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后到達C點位置，則C的橫坐標(biāo)為（    ）A. B.-2 C. D.5.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（    ）A.8 B.10 C.12 D.14★6.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（    ）A.在區(qū)間（-2，1）上，是增函數(shù) B.當(dāng)時，取到極小值C.在區(qū)間（1，3）上，是減函數(shù) D.在區(qū)間（4，5）上，是增函數(shù)7.已知函數(shù).若存在2個零點，則a的取值范圍是（    ）A. B. C. D.8.若函數(shù)在上單調(diào)，且在上存在極值點，則的取值范圍是（    ）A. B. C. D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，則下列各項正確的為（    ）A.復(fù)數(shù)z的虛部為i  B.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)C.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限 D.復(fù)數(shù)z的模為10.如圖，在中，，，，，.設(shè)在上的投影向量為，則下列命題正確的是（    ）A.的值為 B.的值為 C. D.11.已知定義在R上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，單調(diào)遞增 D.12.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A.是的極大值 B.函數(shù)有且只有1個零點C.在（0，1）上單調(diào)遞減 D.設(shè)，則三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.的展開式中的系數(shù)為______.14.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則______.15.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則a的取值范圍是______.16.費馬點是指到三角形三個頂點距離之和最小的點，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點在三角形內(nèi)，且費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點對三角形三邊的張角相等，均為120°.已知的三個內(nèi)角均小于120°，P為的費馬點，且，則面積的最大值為______.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）設(shè)函數(shù).（1）畫出的圖象；（2）當(dāng)時，，求的最小值.★18.（12分）在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，求：（1）第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；（2）在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.19.（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.（1）求角C；（2）CD是的角平分線，若，的面積為，求c的值.20.（12分）設(shè)平面向量，，函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）若銳角滿足，求的值.21.（12分）某靶場有A、B兩種型號的步槍可供選用，其中甲使用A、B兩種型號的步槍的命中率分別為，.（1）若出現(xiàn)連續(xù)兩次子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊，若擊中標(biāo)靶至少3次，則可以獲得一份精美禮品，若甲使用B型號的步槍，并裝填5發(fā)子彈，求甲獲得精美禮品的概率；（2）現(xiàn)在A、B兩把步槍中各裝填3發(fā)子彈，甲打算輪流使用A、B兩種步槍進行射擊，若擊中標(biāo)靶，則繼續(xù)使用該步槍，若未擊中標(biāo)靶，則改用另一把步槍，甲首先使用A種型號的步槍，若出現(xiàn)連續(xù)兩次子彈脫靶或者其中某一把步槍的子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊，記X為射擊的次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.22.（12分）已知函數(shù)，且當(dāng)時，的最大值為-1.（1）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，證明：的極大值小于. 長郡中學(xué)2021-2022學(xué)車度高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)參考答案一、二選擇題1.B 2.D 3.A 4.D5.C 6.D 7.C 8.A9.BCD 10.BD 11.ACD 12.BCD3.A【解析】由題可得函數(shù)定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，故排除BD，由，，故C錯誤，故選A.4.D【解析】設(shè)角的終邊過，則，，，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得，則，設(shè)C的坐標(biāo)為，則，則點C的橫坐標(biāo)為.故選D.5.C【解析】按除去小明和小李后，剩余3人與小明同組的人數(shù)確定分組方法，即種方法，這兩組安裝吉祥物的方法為，故按要求這五人共有種方法.故選C.6.D【解析】在（4，5）上恒成立，∴是增函數(shù).7.C【解析】函數(shù)存在2個零點，即關(guān)于x的方程有2個不同的實根，即函數(shù)的圖象與直線有2個交點，作出直線與函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，，解得.8.A【解析】依據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可知，計算出函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點可知，最后計算可知結(jié)果.因為在上單調(diào)，所以，則，由此可得.因為當(dāng)，即時，函數(shù)取得極值，欲滿足在上存在極值點，因為周期，故在上有且只有一個極值，故第一個極值點，得.又第二個極值點，要使在上單調(diào)，必須，得.綜上可得，的取值范圍是.故選A.9.BCD【解析】，復(fù)數(shù)z的虛部為1，故A錯誤；復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故B正確；復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點（2，-1）在第四象限，故C正確；，故D正確.故選BCD.10.BD【解析】在上的投影向量為，∴.，，∴.11.ACD【解析】因，則有函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，A正確；由得，又R上的函數(shù)滿足，因此有，于是得函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)時，，則，B不正確；當(dāng)時，，因此在[2，3]上單調(diào)遞增，C正確；函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，則，D正確；故選ACD.12.BCD【解析】，，，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，可得：函數(shù)在時取極小值即最小值，，∴A不正確，而C正確.令，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，因此函數(shù)只有一個零點1，因此B正確.，在上單調(diào)遞增，而，∴是函數(shù)的極小值點，∴，因此D正確.故選BCD.三、填空題13.1214.0.14【解析】∵隨機變量X服從正態(tài)分布，∴，∴，故答案為：0.14.15.【解析】由題意可得：，∵在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，∴，∴，當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，∴，∴，當(dāng)時，定義域為，∴.16.【解析】∵，∴.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.四、解答17.【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則畫出的圖象.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，要使恒成立，則函數(shù)的圖象都在直線的下方或在直線上，∵的圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)為2，且各部分直線的斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)且時，不等式在上成立，即的最小值為5.18.【解析】（1）設(shè)事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，則，.（2）由（1）可得，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為.19.【解析】（1）由正弦定理及，知，化簡得，.由余弦定理知，，因為，所以.（2）因為的面積，所以，由角平分線定理知，因為A，D，B三點共線，所以，所以，即，化簡得，，解得，所以，由（1）知，，所以.（第2小問，用面積和得做更簡便）20.【解析】（1）.當(dāng)時，，∴，即函數(shù)的值域為.（2），則，∴.21.【解析】（1）甲擊中5次的概率為，甲擊中4次的概率為，甲擊中3次的概率為，所以甲獲得精美禮品的概率為（2）X的所有可能取值為2，3，4，5，，，，，所以X的分布列為：X2345P所以.22.【解析】（1）的定義域為.當(dāng)時，.①若，因為，所以不滿足題意.②若，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故x=b是在上的唯一最大值點.由于，所以.所以，，故所求切線方程為，即切線方程為.（2），令，得，，當(dāng)時，，因為當(dāng)時，，當(dāng)\frac{1}{a}<x<1時，f'\left(x\right)<0，當(dāng)x>1時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以的極大值為.設(shè)，其中，則，所以在上是增函數(shù)，所以，即的極大值小于.     

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