本科試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，全卷共4頁，選擇題部分1至2頁，非選擇題部分3至4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。
考生注意：
1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上。
2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效。
參考公式：
如果事件A, B互斥, 那么柱體的體積公式
P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh
如果事件A, B相互獨立, 那么其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高
P(A·B)=P(A)·P(B)錐體的體積公式
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p, 那么nV=Sh
次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高
Pn(k)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n)球的表面積公式
臺體的體積公式S = 4πR2
球的體積公式
其中S1, S2分別表示臺體的上、下底面積, V=πR3
h表示臺體的高 其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題，共40分）
選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則
A． B． C． D．
2．復數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為
A．1 B． C． D．
3．點關于直線的對稱點是
A． B． C． D．
(第4題圖)
4．某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積
（單位：cm3）是
A． B．C．D．
5．函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是
A．B．
C．D．
6．已知，則“”是“”
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．隨機變量的取值為，若，，則
A． B．C． D．
8．已知的值域為，則實數(shù)
A．4或0B．4或C．0或 D．2或
9．過雙曲線上的任意一點，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸近線于點，若，則雙曲線離心率的取值范圍是
(第9題圖)
A． B．
C． D．
10．如圖，已知圓柱，在圓上，，，在圓上，且滿足，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是
A． B．
(第10題圖)
C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。
11．我國《九章算術》中記載有“勾，短面也；股，長面也。長、短相推，以求其弦，故曰勾股?！敝赋隽酥苯侨切沃休^短的直角邊為“勾”，較長的直角邊為“股”，利用“勾”、“股”可以求直角三角形的斜邊“弦”。已知直角三角形的“勾”為5，“股”為12，則“弦”為_______，該直角三角形內(nèi)切圓的面積是_________．
12．二項式展開式中含的項的系數(shù)是_________，所有項的系數(shù)和是_________．
13．若實數(shù)滿足約束條件則的最大值是_________，的最小值是_________．
14．已知，，是中點，，則_________，_________．
15．已知且滿足，則的最小值是_________．
16．已知數(shù)列，若數(shù)列與數(shù)列都是公差不為0的等差數(shù)列，則數(shù)列的公差是_________．
17．已知E為平面內(nèi)一定點且，平面內(nèi)的動點滿足：存在實數(shù)，使，若點的軌跡為平面圖形，則的面積為_________．
三、解答題：本大題共5小題，共 74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
18．（本題滿分14分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的對稱中心；
（Ⅱ）若，求．
19．（本題滿分15分）如圖，已知多面體，四邊形為矩形，，，且，，分別為的中點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
(第19題圖)
20．（本題滿分15分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）數(shù)列，的通項公式；
（Ⅱ）若，求使成立（表示不超過的最大整數(shù)）的最大整數(shù)的值．
21．（本題滿分15分）已知點為拋物線的焦點，點，點為拋物線上的動點，直線截以為直徑的圓所得的弦長為定值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如圖，直線交軸于點，拋物線上的點滿足的中垂線過點且直線不與軸平行，求的面積的最大值．
(第21題圖)
22．（本題滿分15分）已知函數(shù)既有極大值，又有極小值．
（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）記為函數(shù)的極小值點，實數(shù)且，證明：．
2021年4月稽陽聯(lián)考數(shù)學科試題卷答案
一、選擇題：每小題4分，共40分。
1．C
2．D
因為，故選D
3．B
點關于直線的對稱點是，故選B
4．C
半圓錐加半圓柱，故體積為
5． C
奇函數(shù)且時，故選C
6．A
“”“”，“”“或”，故選A
7．D
解析：
8．B
解析：（函數(shù)零點的根軸法）
，若；
若
9．B
解：設點，分別聯(lián)立兩組直線方程可得
=，
，由題意，
10．A
解：取中點M，連過作，易得
面，記則,，
因為，又因為，
故選：A
二、填空題：多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。
11．13，
弦為直角三角形斜邊，內(nèi)切圓半徑為2
12．，
解析：
13．2，
由圖可知，
14．,
；
15．
解析：
16．
因為中項系數(shù)為，中項系數(shù)為，故中項系數(shù)為，所以公差為
17．
如圖所示，故面積為
三、解答題：本大題共5小題，共74分。
18．滿分14分。
（Ⅰ）由二倍角公式得
，
故
， ………………4分
所以函數(shù)的對稱中心是
． ………………6分
（Ⅱ）由得
， ………………8分
故
．
………………14分
19．滿分15分。
（1）以A為原點，AB，AD為x,y軸建立如圖空間直角坐標系
則，取AB中點S，連FS
令面DMN的法向量為
面DMN………………6分
（2）
令面BCEF的法向量為
………………15分
20．滿分15分。
（Ⅰ）由得
，
解得
．………………5分
由得
，
解得
． ………………10分
（Ⅱ）由得
，
記，
為單調(diào)遞減且，，，所以
，
因此
，
故由得
的最大值為44． ………………15分
21．滿分15分。
（1）
設截得的弦為GH，圓心C到弦的距離為．
則，………………4分
………………6分
（2）由上題可得，設，線段中點為，直線AB的斜率存在且不等于0，設直線，聯(lián)立直線與拋物線方程得：
………………9分
，………………12分
記，，，時，單調(diào)遞增，
時，單調(diào)遞減，
時，的最大值為．
此時，的最大值為． ………………15分
22．滿分15分。
（Ⅰ）①當時，單調(diào)遞增，不存在2個零點，故舍去；
②當時，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，解得
．
下證，當時，函數(shù)既有極大值，又有極小值．
由得，存在使，
由得，存在使，故
函數(shù)既有極大值，又有極小值．………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故要證即證，即．
因為，所以只要證
．
因為得，令，即證當時，
．
設,因為，所以在上單調(diào)遞增，故，因此在上單調(diào)遞增，故當時，．
綜上，．………………15分
0
↘
極小值
↗
極大值
↘

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