2023屆浙江省稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解對數(shù)不等式、一元一次不等式化簡集合，再應(yīng)用集合的交、補運算求結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，因為，所以，所以.故選：A.2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡可得，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，從而.故選：B.3．在正方形ABCD中，O為兩條對角線的交點，E為邊BC上中點，記，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由向量運算的三角形法則，用，表示即可.【詳解】故選：C.4．雙曲函數(shù)是一類與常見三角函數(shù)類似的函數(shù)，在生活中有著廣泛的應(yīng)用，如懸鏈橋．常見的有雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)．下列結(jié)論不正確的是（    ）A．B．C．雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)D．若點P在曲線上，α為曲線在點P處切線的傾斜角，則【答案】B【分析】對于A，B，直接代入驗證即可；對于C，利用奇偶性的定義即可判斷；對于D，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合基本不等式及正切函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，，所以，B錯誤；對于C，令，則，且定義域為關(guān)于原點對稱，所以雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)；令，則，且定義域為關(guān)于原點對稱，所以雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；對于D，令，則，設(shè)，所以，又因為，所以，D正確.故選：B5．甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（    ）A．120 B．210 C．211 D．216【答案】D【分析】共有三種情況，3人各站一個臺階，或2人站一個臺階，另1人站另一個臺階，或3人站一個臺階，然后根據(jù)分類計數(shù)原理即可求解．【詳解】由題意分三種情況：第一種情況是3人各站一個臺階，有種；第二種情況是2人站一個臺階，另1人站另一個臺階，有種，第三種情況是3人站一個臺階，有種，所以根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是種．故選：D．6．函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)．若關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不同的解α，β，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)、圖象變換和三角恒等變換公式，以及誘導(dǎo)公式求解.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)的解析式為，因為所得函數(shù)為奇函數(shù)，所以，則有，因為，所以，所以，，因為，所以，所以由，可得，所以，且，則，所以，故選:B.7．已知在上恒成立，則的最小值是（    ）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】先將條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，，分，兩種情況討論，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而即可求解．【詳解】在上恒成立，等價于在上恒成立，等價于在上恒成立，令，，當時，則在上單調(diào)遞增，則若時，，不符合題意；當時，則，若時，，此時單調(diào)遞增；若時，，此時單調(diào)遞減，所以，則，即，令，，則，當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最小值是．故選：D．8．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．現(xiàn)有鱉臑，其中平面ABC，，過A作，，記四面體，四棱錐，鱉臑的外接球體積分別為，，V，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】記四面體，四棱錐，鱉臑的外接球半徑分別為，，，記，，，先證明面，從而得到，，，再根據(jù)，從而得到，再構(gòu)造函數(shù)，其中，再利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而即可求得其值域．【詳解】記四面體，四棱錐，鱉臑的外接球半徑分別為，，，記，，，在鱉臑中，有，，又，平面，則面，又面，則，又，且，面，所以面，所以，，，又，即，所以，令，其中，則，所以當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增，當，即時，；當，即時，；根據(jù)對稱性，當，即時，，所以，即．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：先根據(jù)題意得到，再構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而求得其值域是解答本題的關(guān)鍵． 二、多選題9．已知某地區(qū)某周7天每天的最高氣溫分別為23，25，13，10，13，12，19（單位℃）．則（    ）A．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 B．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13C．該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為16 D．該組數(shù)據(jù)的極差為15【答案】ABD【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)和極差的定義判斷即可．【詳解】將23，25，13，10，13，12，19從小到大排列為10，12，13，13，19，23，25，對于A，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A正確；對于B，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為13，故B正確；對于C，由，則該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為從小到大排列的第5個數(shù)，是19，故C錯誤；對于D，該組數(shù)據(jù)的極差為，故D 正確．故選：ABD．10．如圖，多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形，則（    ）A． B．平面平面FABC．直線EA與平面ABCD所成的角為 D．點E到平面ABF的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點，可判斷A選項，取中點，連接、，根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項，根據(jù)對稱性找到平面的垂線，根據(jù)線面角的性質(zhì)可求C選項，求點到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，如圖，由，，，為正三角形可得為正方形，故，故A正確；對于B選項，取中點為，在，中，由正三角形的性質(zhì)可得，，，平面平面，平面，平面，則為二面角的平面角，由，，得，故B錯誤；對于C選項，由條件可知四棱錐、四棱錐均為正四棱柱，連接，交點為正方形的中心，則平面，即為直線與平面所成的角，由，，得，故C正確；對于D選項，連接，在正方形可知，，平面，平面，，與相交，且平面，平面即為三棱錐的高，設(shè)點E到平面ABF的距離為，由幾何關(guān)系可求得，，，，由可得，，代入數(shù)據(jù)解得，故D正確．故選：ACD.11．定義：若存在正實數(shù)M使，則稱正數(shù)列為有界正數(shù)列．已知數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項和．則（    ）A．數(shù)列為遞增數(shù)列 B．數(shù)列為遞增數(shù)列C．數(shù)列為有界正數(shù)列 D．數(shù)列為有界正數(shù)列【答案】BC【分析】對于A，設(shè)，求導(dǎo)后放縮為，從而可知當時，單調(diào)遞減，即可判斷；對于B，由可知數(shù)列為遞增數(shù)列，即可判斷；對于C，由A分析，即可判斷；對于D，借助不等式，從而可得，即可得到，從而可判斷.【詳解】對于A，設(shè)，，當時，，則，所以當時，，則當時，，所以當時，單調(diào)遞減，A錯誤；對于B，因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，B正確；對于C，由A分析可知，當正實數(shù)M為前6項的最大項時，就有，所以數(shù)列為有界正數(shù)列，C正確；對于D，令，則，所以當時，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，由，所以，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：對于A，借助不等式進行放縮，而對于C，借助不等式進行放縮，從而可利用裂項相消法求和.12．已知函數(shù)，則（    ）A．f（x）是單調(diào)遞增函數(shù) B．C． D．【答案】ABD【分析】由函數(shù)解析式可判斷函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且為增函數(shù)可判斷A的正誤；由的解析式求得的解析式，再求的的解析式，化簡即可判斷B的正誤；將特殊值代入即可排除C；由求得，在求得最值，可判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且當是斜率為正，當時斜率為正，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；所以，故D正確．故選：ABD. 三、填空題13．命題“，”的否定為______．【答案】．【分析】根據(jù)全稱命題的否定：任意改存在并否定原結(jié)論，即可得答案.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題知，原命題的否定為.故答案為：.14．已知甲盒中有3個紅球2個白球，乙盒中有4個紅球1個白球，從甲盒中隨機取1球放入乙盒，然后再從乙盒中隨機取2球，記取到紅球的個數(shù)為隨機變量X，則X的期望為______．【答案】/【分析】討論從甲盒中隨機取到球的顏色，進而確定對應(yīng)的可能取值，分別求出對應(yīng)概率，再應(yīng)用獨立事件乘法公式、互斥概率求法求各可能情況的概率，最后求期望即可.【詳解】若從甲盒中隨機取到的為紅球且概率為，則的可能取值為，則，，若從甲盒中隨機取到的為白球且概率為，則的可能取值為，則，，，綜上，，，，故.故答案為：15．已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．【答案】【分析】由題設(shè)將目標式化為，應(yīng)用基本不等式求最大值，注意取值條件.【詳解】，僅當時等號成立．所以目標式最大值為.故答案為：16．已知橢圓：的左、右焦點為，，上頂點為P，直線交于點Q，若，則橢圓的離心率是______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓定義確定的形狀，再借助余弦定理求解作答.【詳解】令，則，由橢圓定義得，，于是，即，，而，有，則，因此，令橢圓半焦距為c，在中，由余弦定理得：，即，，所以橢圓的離心率．故答案為： 四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求的通項公式；(2)設(shè)且，求數(shù)列的前n項和為．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）利用及等比數(shù)列的定義求的通項公式；（2）討論的奇偶性，應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項和公式求.【詳解】（1）當時，，當時，，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則.（2）由題設(shè)知：，，當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；綜上，，.18．如圖，直三棱柱中，，，．(1)證明：平面；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取中點為，連結(jié).可證明四邊形是平行四邊形，得出，，結(jié)合三棱柱的性質(zhì)可推得四邊形是平行四邊形，，然后判定平面.同理可推出平面，然后判定平面平面.最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，即可得出證明；（2）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系.設(shè)，得出點的坐標.根據(jù)余弦定理，得出，然后借助，求出點的坐標，以及的坐標，然后根據(jù)向量關(guān)系得出的坐標.根據(jù)向量法求出平面和平面的法向量，根據(jù)向量法，結(jié)合圖中二面角的形狀即可得出答案.【詳解】（1）如圖1，取中點為，連結(jié).由三棱柱的性質(zhì)可知，，，，.因為，，所以，.又因為為的中點，所以.又，所以四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.因為，平面，平面，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，平面.如圖2，以點為坐標原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，在平面中，過點A作的垂線為軸，建立空間直角坐標系.設(shè)，則，，則，，.在中，由余弦定理可得.又，所以.如圖3，過點作的延長線于，則，則，.所以，則.由，可得，所以.同理可得，.所以，.設(shè)是平面的一個法向量，則，即，取，則，，所以是平面的一個法向量.又，，設(shè)是平面的一個法向量，則，即，取，則，，所以是平面的一個法向量.所以.由圖象可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.19．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若△ABC的面積為，求B．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由三角形內(nèi)角性質(zhì)，應(yīng)用三角恒等變換化簡已知條件即可證結(jié)論；（2）根據(jù)三角形面積公式、正弦邊角關(guān)系有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)和三角恒等變換及（1）結(jié)論得，進而求B．【詳解】（1）由，△ABC的內(nèi)角A，B，C，則，，，，，，.（2）由題意，結(jié)合正弦邊角關(guān)系有，且，，，而，所以.20．甲、乙兩個學(xué)校分別有位同學(xué)和n位同學(xué)參加某項活動，假定所有同學(xué)成功的概率都是，所有同學(xué)是否成功互不影響．記事件A＝“甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次”，事件B＝“甲成功次數(shù)等于乙成功次數(shù)”．(1)若，求事件A發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)已知求出及甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次且有5位同學(xué)成功的概率，再利用條件概率公式求事件A發(fā)生的條件下恰有5位同學(xué)成功的概率（2）根據(jù)題設(shè)寫出、，利用組合數(shù)的性質(zhì)證明結(jié)論即可.【詳解】（1）由題設(shè)，甲乙學(xué)校分別有4個、3個學(xué)生參加活動，，而甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次且有5位同學(xué)成功的概率為，所以事件A發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率.（2）由題設(shè)知：，，因為，，所以21．已知為拋物線的焦點，過點的直線與拋物線交于不同的兩點、，滿足．(1)求拋物線的方程；(2)過點且斜率為的直線與直線交于點，，證明：直線經(jīng)過定點．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由可得，可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出拋物線的方程；（2）寫出直線、的方程，將這兩條直線的方程聯(lián)立，求出點的坐標，根據(jù)可得出點的坐標，設(shè)直線的方程為，列出韋達定理，化簡直線的方程，可求出直線所過定點的坐標.【詳解】（1）解：設(shè)、，由可得，即，解得，故拋物線的方程為．（2）解：拋物線的焦點為，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，故點的坐標為，由可知為的中點，則點，當直線軸時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，解得或，由韋達定理可得，，所以，，直線的斜率為所以，直線的方程為，即因為因為，所以，，故直線的方程為，因此，直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.22．已知，．(1)求在點的切線方程；(2)設(shè)，，判斷的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)(2)存在唯一零點，理由見解析 【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而求出切線方程即可；（2）先根據(jù)題意得到，再分，，三種情況討論，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，零點存在性定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）由，，則，所以，，所以在點的切線方程為．（2）依題意得，①當時，因為，，所以，即無零點；②當時，，，因為，，所以，即在上遞減，令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以當，，即；當，，即，即，則，，所以存在，使得在上遞增，在上遞減，又，所以，而，所以在上存在唯一零點；③當時，設(shè)，則，，因為，所以，即在上遞減，又，，所以存在，使得在上遞增，在上遞減，又，，所以存在，使得在上遞增，在上遞減，又，，所以在上遞增，所以，所以在上無零點，綜上可知，在上存在唯一零點．【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值情況，結(jié)合零點存在性定理是解答這類題的關(guān)鍵． 

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