?2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題
一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）
1．（4分）下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（4分）下列計(jì)算中，正確的是（　　）
A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．
3．（4分）一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情況是（　?。?br /> A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷
4．（4分）以下列數(shù)據(jù)為長(zhǎng)度的線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（　?。?br /> A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
5．（4分）一個(gè)十二邊形的內(nèi)角和等于（　?。?br /> A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
6．（4分）如圖，下面不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br />
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B+∠DAB＝180°，AB＝CD D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
7．（4分）學(xué)校歌詠比賽，共有11位評(píng)委分別給出參賽選手的原始評(píng)分，評(píng)定參賽選手的成績(jī)時(shí)，從11個(gè)原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，得到9個(gè)有效評(píng)分．9個(gè)有效評(píng)分與11個(gè)原始評(píng)分相比，一定不變的特征數(shù)據(jù)是（　　）
A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差
8．（4分）下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．正方形的對(duì)角線互相垂直且相等
B．矩形的對(duì)角線互相垂直且相等
C．菱形的對(duì)角線互相垂直且相等
D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分且相等
9．（4分）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm
10．（4分）已知：四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（　　）

A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
二．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
11．（5分）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　 ?。?br /> 12．（5分）已知關(guān)于x的方程x2+3x﹣m＝0的一個(gè)解為﹣3，則它的另一個(gè)解是　 　．
13．（5分）如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為 　 ?。?br />
14．（5分）如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正確的序號(hào)是　 　（把你認(rèn)為正確的都填上）．

三．解答題（共9小題，滿分90分）
15．（8分）計(jì)算：．
16．（8分）解方程：3（x﹣2）＝x（x﹣2）
17．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）若兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
18．（8分）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，
（1）求四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積；
（2）∠BCD是直角嗎？

19．（10分）觀察下列一組式的變形過(guò)程，然后回答問(wèn)題：
例1：，
例2：，，
（1）＝　 ??；＝　 　
（2）請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律．
（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．．
20．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線，E、F分別在BC、AD邊上，將邊AB沿AE折疊，點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的G處，將邊CD沿CF折疊，點(diǎn)D落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)H處．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若AB＝6，AC＝10，求BE的長(zhǎng)．

21．（12分）某商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了10位營(yíng)業(yè)員在某月的銷售額情況如圖．

（1）求銷售額的中位數(shù)，眾數(shù)和平均每人完成的銷售額．
（2）為了調(diào)動(dòng)積極性，商場(chǎng)決定制定一個(gè)月銷售額獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)，凡達(dá)到或超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的營(yíng)業(yè)員將受到獎(jiǎng)勵(lì)，如果要使得這10名營(yíng)業(yè)員中的半數(shù)左右能獲獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為多少元？并說(shuō)明理由．
22．（12分）因粵港澳大灣區(qū)和中國(guó)特色社會(huì)主義先行示范區(qū)的雙重利好，深圳已成為國(guó)內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城景區(qū)在2019年春節(jié)長(zhǎng)假期間，共接待游客達(dá)20萬(wàn)人次，預(yù)計(jì)在2021年春節(jié)長(zhǎng)假期間，將接待游客達(dá)28.8萬(wàn)人次．
（1）求東部華僑城景區(qū)2019至2021年春節(jié)長(zhǎng)假期間接待游客人次的平均增長(zhǎng)率．
（2）東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價(jià)為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，在旅游旺季，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2021年春節(jié)期間，店家決定進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，則當(dāng)每杯售價(jià)定為多少元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天6300元的利潤(rùn)額？
23．（14分）如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q，將△BQC沿BQ所在的直線對(duì)折得到△BQC′，延長(zhǎng)QC′交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．
（1）試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)AB＝3，BP＝2PC，求QM的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)BP＝m，PC＝n時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）
1．（4分）下列根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式是被開(kāi)方數(shù)不含分母，被開(kāi)方數(shù)不含開(kāi)的盡的因數(shù)或因式，可得答案．
【解答】解：A、該二次根式的被開(kāi)方數(shù)中含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、該二次根式的被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、該二次根式符合最簡(jiǎn)二次根式的定義，故本選項(xiàng)正確；
D、20＝22×5，該二次根式的被開(kāi)方數(shù)中含開(kāi)得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
2．（4分）下列計(jì)算中，正確的是（　?。?br /> A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．
【分析】利用二次根式的加減法的法則及乘法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故A不符合題意；
B、2與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故B不符合題意；
C、2與﹣2不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故選：D．
3．（4分）一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出Δ＝0，由此即可得出原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
【解答】解：在方程4x2﹣2x+＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×4×（）＝0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
故選：B．
4．（4分）以下列數(shù)據(jù)為長(zhǎng)度的線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（　?。?br /> A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
B、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
C、12+（）2＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；
D、（）2+32≠52，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．
故選：C．
5．（4分）一個(gè)十二邊形的內(nèi)角和等于（　?。?br /> A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，把多邊形的邊數(shù)代入公式，就得到多邊形的內(nèi)角和．
【解答】解：十二邊形的內(nèi)角和等于：（12﹣2）?180°＝1800°；
故選：D．
6．（4分）如圖，下面不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br />
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B+∠DAB＝180°，AB＝CD D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷即可．
【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定，A、B、D均符合是平行四邊形的條件，C則不能判定是平行四邊形．
故選：C．
7．（4分）學(xué)校歌詠比賽，共有11位評(píng)委分別給出參賽選手的原始評(píng)分，評(píng)定參賽選手的成績(jī)時(shí)，從11個(gè)原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，得到9個(gè)有效評(píng)分．9個(gè)有效評(píng)分與11個(gè)原始評(píng)分相比，一定不變的特征數(shù)據(jù)是（　?。?br /> A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差
【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)、平均數(shù)、方差、眾數(shù)的定義，判斷即可．
【解答】解：根據(jù)題意，從11個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到9個(gè)有效評(píng)分，9個(gè)有效評(píng)分，與11個(gè)原始評(píng)分相比，不變的特征數(shù)據(jù)是中位數(shù)．
故選：B．
8．（4分）下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．正方形的對(duì)角線互相垂直且相等
B．矩形的對(duì)角線互相垂直且相等
C．菱形的對(duì)角線互相垂直且相等
D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分且相等
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：正方形的對(duì)角線互相垂直且相等，所以A選項(xiàng)符合題意；
矩形的對(duì)角線相等，但不一定互相垂直，所以B選項(xiàng)不符合題意；
菱形的對(duì)角線互相垂直，但不一定相等，所以C選項(xiàng)不符合題意；
平行四邊形的對(duì)角線互相平分，但不一定相等，所以D選項(xiàng)不符合題意，
故選：A．
9．（4分）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm
【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABE≌△ADF，然后連接AC可推出△ABC以及△ACD為等邊三角形．根據(jù)等腰三角形三線合一的定理又可推出△AEF是等邊三角形．根據(jù)勾股定理可求出AE的長(zhǎng)繼而求出周長(zhǎng)．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF．
連接AC，
∵∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC與△ACD是等邊三角形，
∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線重合），
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等邊三角形．
∴AE＝cm，
∴周長(zhǎng)是3cm．
故選：B．

10．（4分）已知：四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（　?。?br />
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【分析】當(dāng)AB∥CD時(shí)，MN最短，利用中位線定理可得MN的最長(zhǎng)值，作出輔助線，利用三角形中位線及三邊關(guān)系可得MN的其他取值范圍．
【解答】解：連接BD，過(guò)M作MG∥AB，連接NG．
∵M(jìn)是邊AD的中點(diǎn)，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位線，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；
∵N是BC的中點(diǎn)，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位線，NG＝CD＝×3＝，
在△MNG中，由三角形三邊關(guān)系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
當(dāng)MN＝MG+NG，即MN＝時(shí)，四邊形ABCD是梯形，
故線段MN長(zhǎng)的取值范圍是＜MN≤．
故選：D．

二．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
11．（5分）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　x＞3?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分母不為零的性質(zhì)，可得2x﹣6＞0，再解即可．
【解答】解：由題意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
故答案為：x＞3．
12．（5分）已知關(guān)于x的方程x2+3x﹣m＝0的一個(gè)解為﹣3，則它的另一個(gè)解是　0?。?br /> 【分析】設(shè)方程的另一個(gè)解是n，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于n的一元一次方程，解之即可得出方程的另一個(gè)解．
【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)解是n，
根據(jù)題意得：﹣3+n＝﹣3，
解得：n＝0．
故答案為：0．
13．（5分）如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為 　2?。?br />
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，則∠DAE＝∠BEA，證出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
故答案為：2．
14．（5分）如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正確的序號(hào)是?、佗冖堋。ò涯阏J(rèn)為正確的都填上）．

【分析】根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷④的正誤．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
∴①說(shuō)法正確；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，
∴②說(shuō)法正確；
如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說(shuō)法錯(cuò)誤；
∵EF＝2，
∴CE＝CF＝，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，
解得a＝，
則a2＝2+，
S正方形ABCD＝2+，
④說(shuō)法正確，
故答案為：①②④．

三．解答題（共9小題，滿分90分）
15．（8分）計(jì)算：．
【分析】化簡(jiǎn)二次根式，先算乘除，然后再算加減．
【解答】解：原式＝﹣6×+4
＝﹣2+4
＝3．
16．（8分）解方程：3（x﹣2）＝x（x﹣2）
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程移項(xiàng)得：3（x﹣2）﹣x（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3﹣x）＝0，
可得x﹣2＝0或3﹣x＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
17．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）若兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
【分析】（1）由方程求出判別式Δ＞0即可．
（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用含m代數(shù)式表示兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+1）＝8m，
∵方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴8m＞0，
∴m＞0．
（2）由（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∵x1x2＝2（m+1），x1x2＝m2+1，
∴原式＝m2+1+2（m+1）+1＝8，
整理得m2+2m﹣4＝0，
解得m＝﹣1﹣或m＝﹣1+．
∵m＞0，
故m的值為﹣1+．
18．（8分）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，
（1）求四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積；
（2）∠BCD是直角嗎？

【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的長(zhǎng)，即可求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)；利用分割法即可求出四邊形的面積；
（2）連接BD，求出BD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理即可證明出結(jié)論．
【解答】解：（1）AB＝，AD＝，CD＝，BC＝2，
四邊形ABCD的周長(zhǎng)為；
面積為5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；
（2）連接BD，
∵BC＝2，CD＝，BD＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD是直角．

19．（10分）觀察下列一組式的變形過(guò)程，然后回答問(wèn)題：
例1：，
例2：，，
（1）＝　??；＝　　
（2）請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律．
（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．．
【分析】（1）將；分母有理化，有理化因式分別為，；
（2）被開(kāi)方數(shù)是兩個(gè)相鄰的數(shù)，即，它的有理化因式為；
（3）由（1）（2）得，原式＝，合并可得結(jié)果．
【解答】解：（1）＝；＝

（2）

（3）
＝，
＝
＝10﹣1
＝9．
20．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線，E、F分別在BC、AD邊上，將邊AB沿AE折疊，點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的G處，將邊CD沿CF折疊，點(diǎn)D落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)H處．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若AB＝6，AC＝10，求BE的長(zhǎng)．

【分析】（1）先證明△AEG≌△CFH，從而可證明AE＝FC，且AE∥FC，最后依據(jù)平行四邊形的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）先利用勾股定理求得BC的長(zhǎng)，設(shè)BE＝x，則EC＝8﹣x，然后再Rt△EGC中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）由翻折的性質(zhì)可知AB＝AG，CH＝DC，∠ABE＝∠BAG，∠FCH＝∠DCH．
又∵AB＝CD，∠BAG＝∠DCH，
∴AG＝FC，∠EAG＝∠FCH．
在△AEG和△FCH中，，
∴△AEG≌△FCH．
∴AE＝CF，∠EAG＝∠FCH．
∴AE∥FC．
∴四邊形AECF是平行四邊形．

（2）∵AB＝6 AC＝10，
∴BC＝＝8．
設(shè)BE＝x，則EG＝x，EC＝8﹣x．
∵AG＝AB＝6，
∴CG＝4．
∵EG2+GC2＝EC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3
∴BE＝3．
21．（12分）某商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了10位營(yíng)業(yè)員在某月的銷售額情況如圖．

（1）求銷售額的中位數(shù)，眾數(shù)和平均每人完成的銷售額．
（2）為了調(diào)動(dòng)積極性，商場(chǎng)決定制定一個(gè)月銷售額獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)，凡達(dá)到或超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的營(yíng)業(yè)員將受到獎(jiǎng)勵(lì)，如果要使得這10名營(yíng)業(yè)員中的半數(shù)左右能獲獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為多少元？并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的意義解答即可；
（2）如果要使得一半稱職和優(yōu)秀的營(yíng)業(yè)員能獲獎(jiǎng)，月銷售額獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)可以定為稱職和優(yōu)秀這兩個(gè)層次銷售額的中位數(shù)，因?yàn)橹形粩?shù)以上的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半左右．
【解答】解：（1）共10人，月銷售額從小到大排列第5個(gè)數(shù)為5萬(wàn)元，第6個(gè)數(shù)為5萬(wàn)元，
5萬(wàn)元為中位數(shù)；
4萬(wàn)元出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，為眾數(shù)．
平均數(shù)為：（3+3×4+2×5+6+7+8+10）÷10＝5.6萬(wàn)元；

（2）如果要使得一半稱職和優(yōu)秀的營(yíng)業(yè)員能獲獎(jiǎng)，這個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為5萬(wàn)元合適．
因?yàn)榉Q職和優(yōu)秀的共有10人，月銷售額在5萬(wàn)元以上（含5萬(wàn)元）的有6人，超過(guò)總數(shù)的一半．
22．（12分）因粵港澳大灣區(qū)和中國(guó)特色社會(huì)主義先行示范區(qū)的雙重利好，深圳已成為國(guó)內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城景區(qū)在2019年春節(jié)長(zhǎng)假期間，共接待游客達(dá)20萬(wàn)人次，預(yù)計(jì)在2021年春節(jié)長(zhǎng)假期間，將接待游客達(dá)28.8萬(wàn)人次．
（1）求東部華僑城景區(qū)2019至2021年春節(jié)長(zhǎng)假期間接待游客人次的平均增長(zhǎng)率．
（2）東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價(jià)為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，在旅游旺季，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2021年春節(jié)期間，店家決定進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，則當(dāng)每杯售價(jià)定為多少元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天6300元的利潤(rùn)額？
【分析】（1）設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得關(guān)于x的一元二次方程，解方程并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義作出取舍即可；
（2）設(shè)每杯售價(jià)定為a元，由題意得關(guān)于a的一元二次方程，解方程并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義作出取舍即可．
【解答】解：（1）設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：東部華僑城景區(qū)2019至2021年春節(jié)長(zhǎng)假期間接待游客人次的平均增長(zhǎng)率為20%．
（2）設(shè)每杯售價(jià)定為a元，由題意得：
（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，
解得：a1＝21，a2＝20．
∴為了能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，故a取20．
答：每杯售價(jià)定為20元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天6300元的利潤(rùn)額．
23．（14分）如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q，將△BQC沿BQ所在的直線對(duì)折得到△BQC′，延長(zhǎng)QC′交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．
（1）試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)AB＝3，BP＝2PC，求QM的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)BP＝m，PC＝n時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

【分析】（1）要證AP＝BQ，只需證△PBA≌△QCB即可；
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖．易得QH＝BC＝AB＝3，BP＝2，PC＝1，然后運(yùn)用勾股定理可求得AP（即BQ）＝，BH＝2．易得DC∥AB，從而有∠CQB＝∠QBA．由折疊可得∠C′QB＝∠CQB，即可得到∠QBA＝∠C′QB，即可得到MQ＝MB．設(shè)QM＝x，則有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt△MHQ中運(yùn)用勾股定理就可解決問(wèn)題；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖，同（2）的方法求出QM的長(zhǎng)，就可得到AM的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）AP＝BQ．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABQ+∠CBQ＝90°．
∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP＝BQ；

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴QH＝BC＝AB＝3．
∵BP＝2PC，
∴BP＝2，PC＝1，
∴BQ＝AP＝＝＝，
∴BH＝＝＝2．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB＝∠QBA．
由折疊可得∠C′QB＝∠CQB，
∴∠QBA＝∠C′QB，
∴MQ＝MB．
設(shè)QM＝x，則有MB＝x，MH＝x﹣2．
在Rt△MHQ中，
根據(jù)勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+32，
解得x＝．
∴QM的長(zhǎng)為；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖．
∵四邊形ABCD是正方形，BP＝m，PC＝n，
∴QH＝BC＝AB＝m+n．
∴BQ2＝AP2＝AB2+PB2，
∴BH2＝BQ2﹣QH2＝AB2+PB2﹣AB2＝PB2，
∴BH＝PB＝m．
設(shè)QM＝x，則有MB＝QM＝x，MH＝x﹣m．
在Rt△MHQ中，
根據(jù)勾股定理可得x2＝（x﹣m）2+（m+n）2，
解得x＝m+n+，
∴AM＝MB﹣AB＝m+n+﹣m﹣n＝．
∴AM的長(zhǎng)為．

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