2021-2022學(xué)年山東省聊城市聊城第一中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．己知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．的虛部為 B．的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限C．的實部為1 D．的共軛復(fù)數(shù)的模為1【答案】D【分析】首先求出復(fù)數(shù)，從而根據(jù)實部虛部的概念即可直接判斷AC選項，然后求出的共軛復(fù)數(shù)為，結(jié)合模長公式以及復(fù)數(shù)在復(fù)平面所對應(yīng)點的特征即可判斷BD選項.【詳解】因為，所以，所以的虛部為，故A錯誤；的共軛復(fù)數(shù)為，其對應(yīng)的點是，在第一象限，故B錯誤；的實部為，故C錯誤；的共軛復(fù)數(shù)為，則模長為，故D正確，故選：D.2．已知為三條不重合的直線，是兩個不重合的平面，給出下列四個說法：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確的是（    ）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【答案】C【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系對各選項逐一判斷即可．【詳解】對①，，則，可以平行、相交或異面，故①不正確；對②，根據(jù)平行線的傳遞性，可知②正確；對③，，則或，故③不正確；對④，根據(jù)線面平行的判定定理，可知④正確．故選：C3．下列命題中正確的個數(shù)是（    ）①起點相同的單位向量，終點必相同；②已知向量，則四點必在一直線上；③若，則；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，【詳解】對于A，單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，對于B，向量，則四點共線或，故B錯誤，對于C，若，當(dāng)時，不一定平行，故C錯誤，對于D，若三點共線，則，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，故選：A4．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（    ）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】由純虛數(shù)的定義得出實數(shù).【詳解】，因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，且，解得.故選：B5．在中，，則中最小的邊長為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】易得，再根據(jù)正弦定理計算最小角的對邊即可.【詳解】由題意，，故中最小的邊長為.由正弦定理，故.故選：B6．已知底面為正方形的四棱錐內(nèi)接于半徑為2的球，若底面正方形的邊長為2，則四棱錐的體積最大值為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】當(dāng)球心在高線上時，四棱錐的體積最大，求出高，進(jìn)而得出體積.【詳解】底面為正方形的四棱錐內(nèi)接于半徑為2的球，若四棱錐的體積最大，則四棱錐的高最大，即球心在高線上，設(shè)四棱錐的高為，可得，則，故四棱錐的體積最大值為.故選：D7．已知，點在線段上，且，設(shè)，，則的值分別為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知為直角三角形，且，結(jié)合余弦定理證得為的中點，從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知為直角三角形，且，又因為，所以，設(shè)，則，所以，則，故為的中點，因此，即，故選：C.8．已知正方體的棱長為分別是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，若平面，則線段的長度范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先過點畫出與平面平行的平面，然后得出點的軌跡，最后計算的長度取值范圍即可.【詳解】如圖，分別作的中點,連接顯然,且平面，；平面,所以平面平面平面平面所以動點在正方形的軌跡為線段在三角形中，，所以點到點的最大距離為，最小距離為等腰三角形在邊上的高為故選：B 二、多選題9．下列命題正確的是（    ）A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形D．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行【答案】BD【分析】根據(jù)常見幾何體的性質(zhì)與定義逐個選項辨析即可.【詳解】對A，棱臺指一個棱錐被平行于它的底面的一個平面所截后，截面與底面之間的幾何形體，其側(cè)棱延長線需要交于一點，故A錯誤；對B，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故B正確；對C，用平面截圓柱得到的截面也可能是橢圓，故C錯誤；對D，棱柱的面中，至少上下兩個面互相平行，故D正確；故選：BD10．下列說法中正確的有（    ）A．已知在上的投影向量為且，則；B．已知，且與夾角為銳角，則的取值范圍是；C．若非零向量滿足，則與的夾角是.D．在中，若，則為銳角；【答案】AC【分析】結(jié)合投影向量的概念以及平面向量數(shù)量積的定義可判斷A選項，結(jié)合平面向量數(shù)量積和向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷B選項，根據(jù)平面向量夾角的公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷C選項，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義即可判斷D選項.【詳解】設(shè)與的夾角為，又因為在上的投影向量為，所以，即，所以，故A正確；因為，則，又因為與夾角為銳角，所以，且與不共線，即，解得，所以則的取值范圍是，故B錯誤；因為，兩邊同時平方得，即，所以，即，因此，又因為向量夾角的范圍是，所以，故C正確；因為，所以，因為，故，又因為，故，因此為鈍角，故D錯誤，故選：AC.11．下列說法中正確的有（    ）A．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第四象限；B．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第三象限；C．在中，若，則為等腰或直角三角形；D．在中，若，則為等腰三角形.【答案】ABD【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點的特征即可判斷AB選項，結(jié)合正弦定理即可判斷C選項，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義以及誘導(dǎo)公式即可判斷D選項.【詳解】因為，所以，所以，其所對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，在第四象限，故A正確；，所對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，在第三象限，故B正確；因為，結(jié)合正弦定理可得，因此為等腰三角形，故C錯誤；因為，所以，即，即，所以，又因為，所以，所以為等腰三角形，故D正確，故選：ABD.12．如圖在正方體中，分別是棱的中點，點是線段上的動點（不包含端點）則下列說法中一定正確的是（    ）A．MN平面APC；B．存在唯一點，使得平面；C．點到平面的距離為定值；D．若為棱的中點，則四面體的體積為定值.【答案】BD【分析】對A，舉反例在平面上即可；對B，根據(jù)平面，結(jié)合線面平行的判定與性質(zhì)判斷即可；對C，推導(dǎo)可得在平面兩側(cè)即可判斷；對D，連接交于，連接，根據(jù)平面判斷即可.【詳解】對A，因為分別是棱的中點，故，所以共面，故當(dāng)是線段與平面的交點時，平面不成立，故A錯誤；對B，因為分別是棱的中點，易得均全等，故，所以四邊形為菱形，故.又平面，平面，故平面.又因為，連接交于，此時平面；當(dāng)不為交點時，與平面不平行，故B正確；對C，取中點，由A可得，同理，又，故.故平面即平面，易得在平面兩側(cè)，故點到平面的距離不為定值，故C正確；對D，連接交于，連接.因為為中點，故，平面，平面，故平面，故到平面的距離為定值，故四面體的體積為定值，故D正確；故選：BD 三、填空題13．已知平面向量，則與的夾角為______.【答案】【分析】由平面向量夾角的坐標(biāo)表示求解，【詳解】由題意得，，，故答案為：14．一個四棱錐的體積為4，其底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都相等，則該四棱錐的側(cè)面積為______.【答案】【分析】先求出該四棱錐的高以及側(cè)棱長，進(jìn)而得出該四棱錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)側(cè)棱長為，該四棱錐的高為，由題意可得底面正方形的對角線為，則，解得，即該四棱錐的側(cè)面積為.故答案為：15．2021年6月，位于聊城開發(fā)區(qū)的中華路徒駭河大橋建成通車，成為聊城市的又一大地標(biāo)性建筑.某人想了解大橋的最高點到地面的距離，在地面上的兩點測得最高點的仰角分別為（點與在地面上的投影O在同一條直線上），又量得米，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可得高度______米.【答案】【分析】由得出，再由正弦定理求解即可.【詳解】由題可得，所以米，由正弦定理可得米.故答案為： 四、雙空題16．如圖，三角形中，，點在線段上，，則面積為______，點是外接圓上任意一點，則最大值為______.【答案】          18【分析】利用勾股定理及余弦定理求得，從而可求得，即可得出面積，利用余弦定理求出，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，利用正弦定理求出外接圓半徑，再以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)法結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，又，解得，所以，所以，在中，，則，又，所以，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，則，所以，則為等邊三角形，，如圖，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則，所以當(dāng)時，.故答案為：；18. 五、解答題17．已知為虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，求的范圍；(2)若復(fù)數(shù)滿足，求復(fù)數(shù).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的特點，解不等式組得出的范圍；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等以及模長公式得出復(fù)數(shù).【詳解】（1）因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，所以，得的取值范圍是：（2）設(shè)復(fù)數(shù)，由條件得，所以解得：，所以18．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，______且，請從①，②，③這三個條件中任選一個補(bǔ)充在橫線上，求出此時的面積. 【答案】【分析】選擇①：由正弦定理的邊化角得出，再由正弦定理得出，最后由面積公式計算即可.選擇②：由輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出，再由正弦定理得出，最后由面積公式計算即可.選擇③：由余弦定理得出，再由正弦定理得出，最后由面積公式計算即可.【詳解】解：若選擇①，則，因為，所以，因為，所以所以，在中由正弦定理，得，因為，所以，所以，所以若選擇②，則，所以，因為，所以，所以，所以；所以，在中由正弦定理，得，因為，所以，所以，所以若選擇③，由余弦定理，因為，所以；所以，在中由正弦定理，得，因為，所以，所以，所以19．如圖：在正方體中，為的中點.(1)求證：平面；(2)若為的中點，求證：平面平面.【答案】(1)見解析(2)見解析 【分析】（1）設(shè)，接，證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）證明四邊形為平行四邊形，從而可得，即可證得平面，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證.【詳解】（1）證明：設(shè)，接，在正方體中，四邊形是正方形，是中點，是的中點，，平面平面平面；（2）證明：為的中點，為的中點，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面平面，由（1）知平面平面平面，平面平面.20．如圖所示，正三棱柱所有棱長均為分別為棱的中點.(1)求三棱錐的體積；(2)求直線與所成角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合轉(zhuǎn)換頂點法運(yùn)算求解；（2）先證，故即為直線與所成角或其補(bǔ)角，利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可知：點到上底面的距離為2，，所以.（2）取中點，連接，∵分別為棱的中點，∴，又∵分別為棱的中點，則，∴且，則四邊形為平行四邊形，則，故即為直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，因為三棱柱各棱長為2，則，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為.21．某農(nóng)戶有一個三角形地塊，如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域（點在上）用來養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測量得到.(1)若，求的長；(2)若，求的周長.【答案】(1)4(2) 【分析】（1）在中應(yīng)用正弦定理得出的長；（2）由結(jié)合面積公式得出，再由余弦定理得出，，進(jìn)而得出的周長.【詳解】（1）解：在中，，且，所以.因為，，所以.在，由正弦定理可得，所以.（2）因為，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因為，所以.在中，由余弦定理可得所以的周長為.22．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點.(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面，并給出必要的證明.【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析 【分析】（1）取中點，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）設(shè)，取中點，先證明平面，即可證明點在線段靠近端的三等分點時符合題意.【詳解】（1）證明：取中點，連接，在中，為的中點，.為的中點，，即四邊形為平行四邊形，.平面平面平面.（2）設(shè)，取中點，連接，則在中，分別是的中點，平面平面，平面.與相似，且相似比為，為的三等分點.在點位置時滿足平面.即點在線段靠近端的三等分點時符合題意.23．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求內(nèi)角；(2)若為銳角三角形且，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變化公式，結(jié)合三角形內(nèi)角范圍化簡求解即可；（2）根據(jù)正弦定理與三角恒等變換公式可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍求解即可.【詳解】（1）在中，因為，由正弦定理得：化簡得：.因為，所以，所以，即，所以，即.因為，所以.所以.（2）在中，由正弦定理得，所以.同理，所以周長：，因為為銳角三角形，所以，由，所以，所以，所以周長的取值范圍是： 

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