廣西專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題專項練二高考中的三角函數(shù)與解三角形含解析新人教A版文

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高考大題專項練二　高考中的三角函數(shù)與解三角形1.在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.解：(1)在△ABD中,由正弦定理得.由題設(shè)知,,所以sin∠ADB=.由題設(shè)知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=.(2)由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2=25.所以BC=5.2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,b-c=2,cos B=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.解：(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,又a=3,cosB=-,得b2=32+c2-2×3×c×.因為b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×.解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-,又B∈(0,π),得sinB=.由正弦定理得sinA=sinB=.在△ABC中,B+C=π-A.所以sin(B+C)=sinA=.3.在△ABC中,D是BC上的點,AD平分∠BAC,△ABD的面積是△ADC面積的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長.解：(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因為S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得.(2)因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,又DC=,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.又AD=1,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.(2020全國Ⅰ,文18)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=150°.(1)若a=c,b=2,求△ABC的面積;(2)若sin A+sin C=,求C.解：(1)由題設(shè)及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos150°,解得c=-2(舍去),c=2.從而a=2.△ABC的面積為×2×2×sin150°=.(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+sinC=sin(30°-C)+sinC=sin(30°+C).故sin(30°+C)=.而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin的值.解：(1)在△ABC中,由正弦定理,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,又sinC≠0,所以3b=4a.又因為b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cosB==-.(2)由(1)可得sinB=,從而sin2B=2sinBcosB=-,cos2B=cos2B-sin2B=-,故sins=sin2Bcos+cos2Bsin=-=-.6.已知函數(shù)f(x)=cos+2sinsin.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域.解：(1)∵f(x)=cos+2sinsin=cos2x+sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin,∴周期T==π.由2x-=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z).故函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=(k∈Z).(2)∵x∈,∴2x-.∴當(dāng)2x-,即x=時,f(x)取最大值1;當(dāng)2x-=-,即x=-時,f(x)取最小值-.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為.7.(2020全國Ⅱ,文17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos2+cos A=.(1)求A;(2)若b-c=a,證明:△ABC是直角三角形.答案：(1)解由已知得sin2A+cosA=,即cos2A-cosA+=0.所以=0,得cosA=.由于0<A<π,故A=.(2)證明由正弦定理及已知條件可得sinB-sinC=sinA.由(1)知B+C=,所以sinB-sinsin,即sinB-cosB=,sin.由于0<B<,故B=.從而△ABC是直角三角形.8.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,點D為斜邊BC上一點,且AC=CD=2.(1)若CD=2BD,求AD的長;(2)若AD=BD,求角B的正弦值.解：(1)∵CD=2,CD=2BD,∴BD=1,∴BC=3BD=3.則在Rt△ABC中,cosC=.在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC=4+4-8×.∴AD=.(2)在△ACD中,由余弦定理可得,AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC=8-8cosC.在Rt△ABC中,BC=.故BD=BC-CD=-2=.∵AD=BD,∴AD2=2BD2.∴8-8cosC=2·.∵1-cosC≠0,∴1=,即cos2C+cosC-1=0.又cosC>0,∴cosC=.又B+C=,∴sinB=.