高考大題專項練六　高考中的概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例1.某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表:工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣的方法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機抽樣的方法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù);(2)計算(1)中樣本的平均值和方差s2;(3)求這36名工人中年齡在(-s,+s)內的人數(shù)所占的百分比. 2.(2021廣西柳鐵一中月考)某研究性學習小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關系進行研究,他們分別記錄了3月11日至3月15日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:日期3月11日3月12日3月13日3月14日3月15日溫差x(℃)101113129發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616(1)從3月11日至3月15日中任選2天,記這兩天發(fā)芽的種子數(shù)分別為a,b,求事件A:的概率;(2)研究發(fā)現(xiàn)種子的發(fā)芽數(shù)與晝夜溫差近似成線性關系,請你求出y關于x的線性回歸方程.附:回歸方程x+中,xiyi=1 351. 3.某廠接受了一項加工業(yè)務,加工出來的產(chǎn)品(單位:件)按標準分為A,B,C,D四個等級.加工業(yè)務約定:對于A級品、B級品、C級品,廠家每件分別收取加工費90元,50元,20元;對于D級品,廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件,乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務,在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級,整理如下:甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率;(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤,以平均利潤為依據(jù),廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務? 4.某商場經(jīng)銷某一種電器商品,在一個銷售季度內,每售出一件該電器商品獲利200元,未售出的商品,每件虧損100元.根據(jù)以往資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.現(xiàn)在經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了125件該種電器,以n(單位:件,95≤n≤155)表示下一個銷售季度內市場需求量,Y(單位:元)表示下一個銷售季度內銷售該電器的利潤.(1)將Y表示為n的函數(shù);(2)求頻率分布直方圖中a的值;(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計利潤Y不少于22 000元的概率. 5.(2021四川石室中學高三期末)某物流公司承擔從成都到重慶的蔬菜運輸業(yè)務.已知該公司統(tǒng)計了往年同期100天內每天配送的蔬菜量X(40≤X<160,單位:件.注:蔬菜全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝),并分組統(tǒng)計得到表格如下所示.蔬菜量X[40,80)[80,120)[120,160)天數(shù)204040試解答如下問題:(1)該物流公司負責人決定用分層抽樣的形式在[40,80),[80,120)兩組數(shù)據(jù)中抽6天來分析配送的蔬菜量的情況,再從這6天中隨機抽2天調研,求這2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率;(2)該物流公司擬一次性租賃一批貨車專門運營從成都到重慶的蔬菜運輸.已知一輛貨車每天只能運營一趟.每輛貨車每趟最多可裝載40件,滿載才發(fā)車,否則不發(fā)車.若發(fā)車,則每輛貨車每趟可獲利2 000元;若未發(fā)車,則每輛貨車每天平均虧損400元.該物流公司負責人甲提出的方案是租賃2輛貨車,負責人乙提出的方案是租賃3輛貨車,為使該物流公司此項業(yè)務的平均營業(yè)利潤最大,應該選用哪種方案? 6.某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:生產(chǎn)方式是否超過m總計超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式   第二種生產(chǎn)方式   總計  40(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:K2=.P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828 7.改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1 000 名學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:支付方式支付金額不大于2 000元大于2 000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人(1)估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù);(2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,求該學生上個月支付金額大于2 000元的概率;(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元.結合(2)的結果,能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化?說明理由. 答案：1.解(1)把工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)分為9組,每組4人.在第一分段里抽到的年齡數(shù)據(jù)44對應的編號為2,故抽取的樣本編號依次為2,6,10,14,18,22,26,30,34,對應樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)得,=40,s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=.(3)由(2)得=40,s=,則-s=36+s=43.由表可知,這36名工人中年齡在(-s,+s)內共有23人,所占的百分比為×100%≈63.89%.2.解(1)a,b的取值情況有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),基本事件的總數(shù)為10,事件A包括的基本事件有(25,30),(25,26),(30,26)共3個,所以事件A的概率為P(A)=.(2)由列表可知=11,=24,=615,xiyi=1351,設線性回歸方程為x+=3.1,=-10.1,故所求線性回歸方程為y=3.1x-10.1.3.解(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知,甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為=0.4;乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為=0.28.(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525-5-75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為=15.由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300-70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為=10.比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤,應選甲分廠承接加工業(yè)務.4.解(1)依題意知下一個銷售季度內經(jīng)銷該電器所獲利潤Y與需求量n之間的關系為Y=(2)由0.010×10×2+a×10+0.018×10+0.022×10+0.024×10=1,求得a=0.016.(3)由300n-100×125≥22000,知n≥115.由頻率分布直方圖可知P(n≥115)=1-0.1-0.16=0.74,故估計利潤Y不少于22000元的概率為0.74.5.解(1)記事件A為“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件”,在[40,80),[80,120)兩組數(shù)據(jù)中用分層抽樣抽6天,[40,80)中抽的天數(shù)為6×=2,記為A,B.在[80,120)中抽的天數(shù)為6×=4,記為a,b,c,d.則從這6天中隨機抽取2天的所有可能情況如下:(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共15種選法.其中的2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的可能情況如下:(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),共9種.故選中的2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率為P(A)=.(2)若租賃2輛車,平均利潤為(2000-400)×+4000×=3520;若租賃3輛車,平均利潤為(2000-800)×+(4000-400)×+6000×=4080.∵4080>3520,所以應該選擇租賃3輛貨車,此時平均營業(yè)利潤最大.6.解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:①由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.②由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.③由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.④由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多,關于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多,關于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(以上給出了4種理由,寫出其中任意一種或其他合理理由均可)(2)由莖葉圖知m==80.列聯(lián)表如下:生產(chǎn)方式是否超過m總計超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式15520第二種生產(chǎn)方式51520總計202040(3)由于k==10>6.635,所以在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.7.解(1)由題知,樣本中僅使用A的學生有27+3=30人,僅使用B的學生有24+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人.估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為×1000=400.(2)記事件C為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于2000元”,則P(C)==0.04.(3)記事件E為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,該學生本月的支付金額大于2000元”.假設樣本僅使用B的學生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以認為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生,一旦發(fā)生,就有理由認為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無法確定有沒有變化.

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