高考大題專項(xiàng)練四　高考中的立體幾何1.(2020全國Ⅰ,文19)如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),∠APC=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAC;(2)設(shè)DO=,圓錐的側(cè)面積為π,求三棱錐P-ABC的體積.答案：(1)證明由題設(shè)可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.從而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC.(2)解設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l.由題設(shè)可得rl=,l2-r2=2.解得r=1,l=.從而AB=.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=.所以三棱錐P-ABC的體積為×PA×PB×PC=.2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.答案：證明(1)因?yàn)?/span>PA=PD,E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌?/span>ABCD為矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌?/span>ABCD為矩形,所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.又因?yàn)?/span>PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,DG.因?yàn)?/span>F,G分別為PB,PC的中點(diǎn),所以FG∥BC,FG=BC.因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn),所以DE∥BC,DE=BC.所以DE∥FG,DE=FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因?yàn)?/span>EF?平面PCD,DG?平面PCD,所以EF∥平面PCD.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E⊥平面ABCD.(1)證明:A1O∥平面B1CD1;(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM⊥平面B1CD1.答案：證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1,連接CO1,A1O1,因?yàn)?/span>ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,四邊形ABCD為正方形,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1O∥O1C.又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因?yàn)?/span>AC⊥BD,E,M分別為AD和OD的中點(diǎn),所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以A1E⊥BD,因?yàn)?/span>B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1?平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.如圖,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=2,點(diǎn)E在A1D上.(1)證明:AA1⊥平面ABCD;(2)當(dāng)為何值時,A1B∥平面EAC,并求出此時三棱錐D-AEC的體積.答案：(1)證明因?yàn)榈酌?/span>ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2.在△AA1B中,由A+AB2=A1B2,知AA1⊥AB.同理,AA1⊥AD.又因?yàn)?/span>AB∩AD于點(diǎn)A,所以AA1⊥平面ABCD.(2)解當(dāng)=1時,A1B∥平面EAC.證明如下:連接BD交AC于O,當(dāng)=1,即點(diǎn)E為A1D的中點(diǎn)時,連接OE,則OE∥A1B,所以A1B∥平面EAC.設(shè)AD的中點(diǎn)為F,連接EF.則EF∥AA1,所以EF⊥平面ACD,且EF=1,可求得S△ACD=.所以VE-ACD=×1×,即VD-AEC=VE-ACD=.5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF∥平面PAE?說明理由.答案：(1)證明因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又因?yàn)榈酌?/span>ABCD為菱形,所以BD⊥AC.所以BD⊥平面PAC.(2)證明因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.因?yàn)榈酌?/span>ABCD為菱形,∠ABC=60°,且E為CD的中點(diǎn),所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.所以AE⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PAE.(3)解棱PB上存在點(diǎn)F,使得CF∥平面PAE.取PB的中點(diǎn)F,取PA的中點(diǎn)G,連接CF,FG,EG.則FG∥AB,且FG=AB.因?yàn)榈酌?/span>ABCD為菱形,且E為CD的中點(diǎn),所以CE∥AB,且CE=AB.所以FG∥CE,且FG=CE.所以四邊形CEGF為平行四邊形.所以CF∥EG.因?yàn)?/span>CF?平面PAE,EG?平面PAE,所以CF∥平面PAE.6.如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.(1)證明:G是AB的中點(diǎn);(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.答案：(1)證明因?yàn)?/span>P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以AB⊥PD.因?yàn)?/span>D在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點(diǎn).(2)解在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.連接CG,因?yàn)?/span>P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CD=CG.由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面體PDEF的體積V=×2×2×2=.7.如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA.(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=DA,求三棱錐Q-ABP的體積.答案：(1)證明由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QE⊥AC,垂足為E,則QE?DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱錐Q-APB的體積為VQ-ABP=×QE×S△ABP=×1××3×2sin45°=1.8.(2020全國Ⅱ,文20)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn).過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=,求四棱錐B-EB1C1F的體積.答案：(1)證明因?yàn)?/span>M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因?yàn)?/span>△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)解AO∥平面EB1C1F,AO?平面A1AMN,平面A1AMN∩平面EB1C1F=PN,故AO∥PN.又AP∥ON,故四邊形APNO是平行四邊形,所以PN=AO=6,AP=ON=AM=,PM=AM=2,EF=BC=2.因?yàn)?/span>BC∥平面EB1C1F,所以四棱錐B-EB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離.作MT⊥PN,垂足為T,則由(1)知,MT⊥平面EB1C1F,故MT=PMsin∠MPN=3.底面EB1C1F的面積為×(B1C1+EF)×PN=(6+2)×6=24.所以四棱錐B-EB1C1F的體積為×24×3=24.

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