高考大題專項(xiàng)練一　高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.(2020全國Ⅲ,文20)已知函數(shù)f(x)=x3-kx+k2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.解：(1)f'(x)=3x2-k.當(dāng)k=0時(shí),f(x)=x3,故f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)k<0時(shí),f'(x)=3x2-k>0,故f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)k>0時(shí),令f'(x)=0,得x=±.當(dāng)x∈時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈時(shí),f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間,內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.(2)由(1)知,當(dāng)k≤0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)不可能有三個(gè)零點(diǎn).當(dāng)k>0時(shí),x=-為f(x)的極大值點(diǎn),x=為f(x)的極小值點(diǎn).此時(shí),-k-1<-<k+1且f(-k-1)<0,f(k+1)>0,f>0.根據(jù)f(x)的單調(diào)性,當(dāng)且僅當(dāng)f<0,即k2-<0時(shí),f(x)有三個(gè)零點(diǎn),解得k<.因此k的取值范圍為0,.2.已知函數(shù)f(x)=.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程;(2)證明:當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥0.答案：(1)解f'(x)=,f'(0)=2.因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程是2x-y-1=0.(2)證明當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,則g'(x)=2x+1+ex+1.當(dāng)x<-1時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>-1時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.3.已知函數(shù)f(x)=2sin x-xcosx-x,f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).(1)證明:f'(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.答案：(1)證明設(shè)g(x)=f'(x),則g(x)=cosx+xsinx-1,g'(x)=xcosx.當(dāng)x∈時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x∈時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.又g(0)=0,g>0,g(π)=-2,故g(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).所以f'(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn).(2)解由題設(shè)知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.由(1)知,f'(x)在(0,π)只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為x0,且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增,在(x0,π)單調(diào)遞減.又f(0)=0,f(π)=0,所以,當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥0.又當(dāng)a≤0,x∈[0,π]時(shí),ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范圍是(-∞,0].4.(2020全國Ⅱ,文21)已知函數(shù)f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;(2)設(shè)a>0,討論函數(shù)g(x)=的單調(diào)性.解：設(shè)h(x)=f(x)-2x-c,則h(x)=2lnx-2x+1-c,其定義域?yàn)?0,+∞),h'(x)=-2.(1)當(dāng)0<x<1時(shí),h'(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),h'(x)<0.所以h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1時(shí),h(x)取得最大值,最大值為h(1)=-1-c.故當(dāng)且僅當(dāng)-1-c≤0,即c≥-1時(shí),f(x)≤2x+c.所以c的取值范圍為[-1,+∞).(2)g(x)=,x∈(0,a)∪(a,+∞).g'(x)=.取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2,h(1)=0,則由(1)知,當(dāng)x≠1時(shí),h(x)<0,即1-x+lnx<0.故當(dāng)x∈(0,a)∪(a,+∞)時(shí),1-+ln<0,從而g'(x)<0.所以g(x)在區(qū)間(0,a),(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.5.已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥0.答案：(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=aex-.由題設(shè)知,f'(2)=0,所以a=.從而f(x)=ex-lnx-1,f'(x)=ex-.當(dāng)0<x<2時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥-lnx-1.設(shè)g(x)=-lnx-1,則g'(x)=.當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn).故當(dāng)x>0時(shí),g(x)≥g(1)=0.因此,當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥0.6.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+x,g(x)=x3-2x+m.(1)求函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程;(2)若f(x)≥g(x)對(duì)任意的x∈[-4,4]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1)∵f(x)=x2+x,∴當(dāng)x=1時(shí),f(1)=2,∵f'(x)=2x+1,∴f'(1)=3,∴所求切線方程為y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=x3-x2-3x+m,則h'(x)=(x-3)(x+1).∴當(dāng)-4<x<-1時(shí),h'(x)>0;當(dāng)-1<x<3時(shí),h'(x)<0;當(dāng)3<x<4時(shí),h'(x)>0.要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4處取得,而h(-1)=m+,h(4)=m-,故m+≤0,即m≤-,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.7.已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=x2-2x,若對(duì)任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.解：f'(x)=ax-(2a+1)+(x>0).(1)f'(x)=(x>0).①當(dāng)a≤0時(shí),x>0,ax-1<0,在區(qū)間(0,2)內(nèi),f'(x)>0,在區(qū)間(2,+∞)內(nèi),f'(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞).②當(dāng)0<a<時(shí),>2,在區(qū)間(0,2)和內(nèi),f'(x)>0,在區(qū)間內(nèi),f'(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和,單調(diào)遞減區(qū)間是.③當(dāng)a=時(shí),f'(x)=,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).④當(dāng)a>時(shí),0<<2,在區(qū)間和(2,+∞)內(nèi),f'(x)>0,在區(qū)間內(nèi),f'(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)對(duì)任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)?在區(qū)間(0,2]上有f(x)max<g(x)max.由題意可知g(x)max=0,由(1)可知,①當(dāng)a≤時(shí),f(x)在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞增.故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2,所以-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1.故ln2-1<a≤.②當(dāng)a>時(shí),f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,故f(x)max=f-(2a+1)+2ln=--2-2lna<0.故a>時(shí)滿足題意.綜上,a的取值范圍為(ln2-1,+∞).8.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-a(x-1)ex,其中a∈R.(1)若a≤0,討論f(x)的單調(diào)性.(2)若0<a<,①證明f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn);②設(shè)x0為f(x)的極值點(diǎn),x1為f(x)的零點(diǎn),且x1>x0,證明3x0-x1>2.答案：(1)解由已知,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=-[aex+a(x-1)ex]=.因此當(dāng)a≤0時(shí),1-ax2ex>0,從而f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明①由(1)知,f'(x)=.令g(x)=1-ax2ex,由0<a<,可知g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,又g(1)=1-ae>0,且g=1-a2=1-2<0,故g(x)=0在(0,+∞)內(nèi)有唯一解,從而f'(x)=0在(0,+∞)內(nèi)有唯一解,不妨設(shè)為x0,則1<x0<ln.當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f'(x)==0,所以f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)==0,所以f(x)在(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,因此x0是f(x)的唯一極值點(diǎn).令h(x)=lnx-x+1,則當(dāng)x>1時(shí),h'(x)=-1<0,故h(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,從而當(dāng)x>1時(shí),h(x)<h(1)=0,所以x<x-1.從而f=ln-a=ln-ln+1=h<0,又因?yàn)?/span>f(x0)>f(1)=0,所以f(x)在(x0,+∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn).又f(x)在(0,x0)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1,從而,f(x)在(0,+∞)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).②由題意,從而lnx1=,即.因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),lnx<x-1,又x1>x0>1,故,兩邊取對(duì)數(shù),得ln<ln,于是x1-x0<2lnx0<2(x0-1),整理得3x0-x1>2.

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