?2020-2021學(xué)年湖北省黃岡市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將答案涂在答題卡上．
1．（5分）（2021春?黃岡期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是　　
A．復(fù)數(shù)的模為
B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
C．復(fù)數(shù)的虛部為
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
2．（5分）（2013?梅州二模）在中，，，，則　　
A． B． C． D．
3．（5分）（2021春?黃岡期末）不同的直線和，不同的平面，，，下列條件中能推出的是　　
A．，， B．，
C．，， D．，，
4．（5分）（2021春?黃岡期末）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積是球體積兩倍時(shí)，該圓錐的高為　　
A．2 B．4 C． D．
5．（5分）（2021春?黃岡期末）一個(gè)正方體有一個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，三個(gè)面為黃色，另一個(gè)正方體有兩個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，兩個(gè)面為黃色，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為　　
A． B． C． D．
6．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)的平面與側(cè)棱、相交于、，則△的周長(zhǎng)的最小值為　　

A． B． C．4 D．2
7．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖所示，中，，，，是的中點(diǎn)，，則　　

A． B． C． D．
8．（5分）（2021春?黃岡期末）歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書(shū)推理的出發(fā)點(diǎn)．其中第Ⅰ命題47是著名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），書(shū)中給出了一種證明思路：如圖，中，，四邊形、、都是正方形，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．先證明與全等，繼而得到矩形與正方形面積相等；同理可得到矩形與正方形面積相等；進(jìn)一步推理得證．在該圖中，若，則　　

A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題．本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）（2021春?黃岡期末）下列各組向量中，可以作為基底的是　　
A．，， B．，
C．， D．，
10．（5分）（2021春?黃岡期末）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中假命題為　　
A．若，則為純虛數(shù) B．若，則
C．若，則的最大值為2 D．若，則
11．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖在三棱柱中，底面，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是　　

A．
B．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面
C．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面
D．三棱錐的體積是定值
12．（5分）（2021春?黃岡期末）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說(shuō)法中正確的是　　
A．
B．若，則為等腰三角形
C．若，則
D．若，則為銳角三角形
三、填空題(本題共4個(gè)小題,每題5分,共20分)
13．（5分）（2021春?黃岡期末）一個(gè)口袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)綠球，采用不放回的方式從中依次取出2個(gè)球，則第一次取到綠球第二次取到紅球的概率為 　?。?br /> 14．（5分）（2021春?黃岡期末）在中，是的中點(diǎn)，，，，則的面積為 　　．
15．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為 　　．

16．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖等腰梯形中，，，是梯形的外接圓的圓心，是邊上的中點(diǎn)，則的值為 　　．

三、解答題:本大題共6個(gè)小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟．
17．（10分）（2021春?黃岡期末）復(fù)數(shù)滿足，為純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）復(fù)數(shù)，，所對(duì)應(yīng)的向量為，，，已知，求的值．
18．（12分）（2021春?黃岡期末）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，
（1）求角；
（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．
19．（12分）（2021春?黃岡期末）黃岡市一中學(xué)高一年級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生本學(xué)期20次數(shù)學(xué)周測(cè)成績(jī)（滿分，抽取了甲乙兩位同學(xué)的20次成績(jī)記錄如下：
甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141
乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150
（1）根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲乙兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，并據(jù)此判斷甲乙兩位同學(xué)的成績(jī)誰(shuí)更好？
（2）將同學(xué)乙的成績(jī)分成，，，，，，完成下列頻率分布表，并畫(huà)出頻率分布直方圖；
（3）現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意取出2個(gè)成績(jī)，求取出的2個(gè)成績(jī)不是同一個(gè)人的且沒(méi)有滿分的概率．
分組
頻數(shù)
頻率
，


，


，


，


，


合計(jì)
20
1

20．（12分）（2021春?黃岡期末）如圖，已知在四棱錐中，底面是梯形，且，平面平面，，．
（1）證明：；
（2）若，，求四棱錐的體積．

21．（12分）（2021春?黃岡期末）如圖，四邊形中，，，，設(shè)．
（1）若面積是面積的4倍，求；
（2）若，求．

22．（12分）（2021春?黃岡期末）如圖①梯形中，，，，且，將梯形沿折疊得到圖②，使平面平面，與相交于，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面交于．

（1）證明：是的中點(diǎn)；
（2）證明：平面；
（3）是上一點(diǎn)，已知二面角為，求的值．


2020-2021學(xué)年湖北省黃岡市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將答案涂在答題卡上．
1．（5分）（2021春?黃岡期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是　　
A．復(fù)數(shù)的模為
B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
C．復(fù)數(shù)的虛部為
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
【解答】解：復(fù)數(shù)滿足，整理得：，
對(duì)于，故正確；
對(duì)于：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：復(fù)數(shù)的虛部為，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故錯(cuò)誤．
故選：．
2．（5分）（2013?梅州二模）在中，，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)正弦定理可得：，
，
由大邊對(duì)大角可得：，
．
故選：．
3．（5分）（2021春?黃岡期末）不同的直線和，不同的平面，，，下列條件中能推出的是　　
A．，， B．，
C．，， D．，，
【解答】解：由不同的直線和，不同的平面，，，知：
若，，，則與相交或平行，故不正確；
若，，則與相交或平行，故不正確；
若，，，則由平面平行的判定定理知，故正確；
若，，，則與相交或平行，故不正確．
故選：．
4．（5分）（2021春?黃岡期末）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積是球體積兩倍時(shí)，該圓錐的高為　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：如圖，圓錐的軸截面為等腰，且內(nèi)切圓為球的大圓．設(shè)圓錐底面圓周的半徑為，高為，球的半徑為，．
則由條件有，整理得①
在中，，所以②，
聯(lián)立①②，解得．
故選：．

5．（5分）（2021春?黃岡期末）一個(gè)正方體有一個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，三個(gè)面為黃色，另一個(gè)正方體有兩個(gè)面為紅色，兩個(gè)面為綠色，兩個(gè)面為黃色，同時(shí)擲這兩個(gè)正方體，兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：第一個(gè)正方體出現(xiàn)紅色，綠色，黃色的概率分別為，第二個(gè)正方體出現(xiàn)紅色，綠色，黃色的概率分別為，
兩個(gè)正方體朝上的面顏色相同的概率為，
兩個(gè)正方體朝上的面顏色不同的概率為．
故選：．
6．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)的平面與側(cè)棱、相交于、，則△的周長(zhǎng)的最小值為　　

A． B． C．4 D．2
【解答】解：把正三棱錐的側(cè)面展開(kāi)，
兩點(diǎn)間的連接線即是截面周長(zhǎng)的最小值．
正三棱錐中，，所以，，，
，
截面周長(zhǎng)最小值是．
故選：．

7．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖所示，中，，，，是的中點(diǎn)，，則　　

A． B． C． D．
【解答】解：中，，，，是的中點(diǎn)，，
．
故選：．
8．（5分）（2021春?黃岡期末）歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書(shū)推理的出發(fā)點(diǎn)．其中第Ⅰ命題47是著名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），書(shū)中給出了一種證明思路：如圖，中，，四邊形、、都是正方形，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．先證明與全等，繼而得到矩形與正方形面積相等；同理可得到矩形與正方形面積相等；進(jìn)一步推理得證．在該圖中，若，則　　

A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，，，可得，
，
，
又，
可得，
，
，
即，
，
，
在中，，得，
在中，，
即，可得．
故選：．

二、多項(xiàng)選擇題．本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）（2021春?黃岡期末）下列各組向量中，可以作為基底的是　　
A．，， B．，
C．， D．，
【解答】解：，與不共線，正確，
， 與共線，錯(cuò)誤，
， 與共線，錯(cuò)誤，
， 與不共線，正確，
故選：．
10．（5分）（2021春?黃岡期末）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中假命題為　　
A．若，則為純虛數(shù) B．若，則
C．若，則的最大值為2 D．若，則
【解答】解：選項(xiàng)：設(shè)，，為實(shí)數(shù)），因?yàn)椋?，則，所以，因?yàn)榭赡転?，故錯(cuò)誤，
選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，，故錯(cuò)誤，
選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，故的最大值為，故正確，
選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤，
故選：．
11．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖在三棱柱中，底面，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是　　

A．
B．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面
C．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面
D．三棱錐的體積是定值
【解答】解：對(duì)于，在三棱柱中，底面，
，又，，平面，平面，平面，又平面，，故正確；
對(duì)于，在三棱柱中，底面，
，當(dāng)時(shí)，由，是平面中的相交線，得到平面，平面平面，此時(shí)不一定為中點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，設(shè)，則是中點(diǎn)，連結(jié)，則是中點(diǎn)時(shí)，，
平面，平面，平面，故正確；
對(duì)于，△的面積是定值，，平面，平面，
平面，到平面的距離是定值，三棱錐的體積是定值，故正確．
故選：．

12．（5分）（2021春?黃岡期末）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說(shuō)法中正確的是　　
A．
B．若，則為等腰三角形
C．若，則
D．若，則為銳角三角形
【解答】解：對(duì)，，所以正確；
對(duì)，，即，
的內(nèi)角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；
對(duì)，由正弦定理得：，得：，
整理得：，，或，故錯(cuò)誤；
對(duì)：由題意知：、、中是最大的正數(shù)，由變形得：，，為銳角，又知為最大角，為銳角三角形，故正確；
故選：．
三、填空題(本題共4個(gè)小題,每題5分,共20分)
13．（5分）（2021春?黃岡期末）一個(gè)口袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)綠球，采用不放回的方式從中依次取出2個(gè)球，則第一次取到綠球第二次取到紅球的概率為 　0.3?。?br /> 【解答】解：由題意可得，樣本空間的總數(shù)為，
第一次取到綠球第二次取到紅球的樣本數(shù)為，
故所求的概率．
故答案為：0.3．
14．（5分）（2021春?黃岡期末）在中，是的中點(diǎn)，，，，則的面積為 　?。?br /> 【解答】解：是中點(diǎn)，且，，，
，則，即，
，
，
，
．
故答案為：．
15．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為 　?。?br />
【解答】解：以、、所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，

則，0，，，0，，，1，，
，1，，，0，，，1，，，1，，，，，所以，，，
，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，則，則．
于是，，
所以．
其中為直線與平面所成角．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
故答案為：．
16．（5分）（2021春?黃岡期末）如圖等腰梯形中，，，是梯形的外接圓的圓心，是邊上的中點(diǎn)，則的值為 　16?。?br />
【解答】解：設(shè)，
是邊上的中點(diǎn)，
，
則，

又，
，
是的外心，
，

，
即，
故答案為：16．

三、解答題:本大題共6個(gè)小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟．
17．（10分）（2021春?黃岡期末）復(fù)數(shù)滿足，為純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）復(fù)數(shù)，，所對(duì)應(yīng)的向量為，，，已知，求的值．
【解答】解：（1）設(shè)，
則，即，①
為純虛數(shù)，且，②
由①②解得，，
；
（2）
，，
，
，
由，得，
即，
，得．
18．（12分）（2021春?黃岡期末）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，
（1）求角；
（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．
【解答】解：（1），
由正弦定理得，
又，
，
，
，
；
（2）由余弦定理得：即，
，
又，
，
，
，
的周長(zhǎng)為．
19．（12分）（2021春?黃岡期末）黃岡市一中學(xué)高一年級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)生本學(xué)期20次數(shù)學(xué)周測(cè)成績(jī)（滿分，抽取了甲乙兩位同學(xué)的20次成績(jī)記錄如下：
甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141
乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150
（1）根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲乙兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，并據(jù)此判斷甲乙兩位同學(xué)的成績(jī)誰(shuí)更好？
（2）將同學(xué)乙的成績(jī)分成，，，，，，完成下列頻率分布表，并畫(huà)出頻率分布直方圖；
（3）現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意取出2個(gè)成績(jī)，求取出的2個(gè)成績(jī)不是同一個(gè)人的且沒(méi)有滿分的概率．
分組
頻數(shù)
頻率
，


，


，


，


，


合計(jì)
20
1

【解答】解：（1）甲的中位數(shù)是，
乙的中位數(shù)是，
乙的成績(jī)更好．
（2）完成頻率分布表如下：
分組
頻數(shù)
頻率
，
2
0.1
，
4
0.2
，
5
0.25
，
6
0.3
，
3
0.15
合計(jì)
20
1
乙的頻率分布直方圖如下圖所示：

（3）甲乙兩位同學(xué)的不低于140（分的成績(jī)共5個(gè)，甲兩個(gè)成績(jī)記作、，
乙3個(gè)成績(jī)記作、、（其中表示150分），
任意選出2個(gè)成績(jī)所有的取法為：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共10種取法，
其中兩個(gè)成績(jī)不是同一個(gè)人的且沒(méi)有滿分的是：
，，，，，，，，共4種取法，
取出的2個(gè)成績(jī)不是同一個(gè)人的且沒(méi)有滿分的概率．
20．（12分）（2021春?黃岡期末）如圖，已知在四棱錐中，底面是梯形，且，平面平面，，．
（1）證明：；
（2）若，，求四棱錐的體積．

【解答】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示；

因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以；?br /> 又因?yàn)?，?br /> 由①②可得平面，所以．
（2）解：因?yàn)?，所以?br /> 又，所以，所以；
又因?yàn)?，，所以，?br /> 由（1）知平面，所以，
所以；
所以；
又因?yàn)?，，所以?br /> 所以；
所以四棱錐的體積是
．
另解：因?yàn)椋?br /> 所以，所以，
計(jì)算四棱錐的體積是．

21．（12分）（2021春?黃岡期末）如圖，四邊形中，，，，設(shè)．
（1）若面積是面積的4倍，求；
（2）若，求．

【解答】解：（1）設(shè)，
則，，，
由題意，
則，
所以．
（2）由正弦定理，中，，
即①
在中，，
即②
②①得：，

，
化簡(jiǎn)得，
所以．

22．（12分）（2021春?黃岡期末）如圖①梯形中，，，，且，將梯形沿折疊得到圖②，使平面平面，與相交于，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面交于．

（1）證明：是的中點(diǎn)；
（2）證明：平面；
（3）是上一點(diǎn)，已知二面角為，求的值．

【解答】證明：（1）在圖①中過(guò)作，
則，，

又，，，，且，，
又，，平面，
又平面平面，，，
又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
（2）在直角梯形中，，

，．
又，，，，①
又平面平面，，平面，，②
由①②得平面，，③
，，，，④
由③④可得平面，，⑤
又，，平面，，⑥
由⑤⑥可得平面．
（3）過(guò)作，則平面，
過(guò)作，連結(jié)，
則為二面角的平面角，，
設(shè)，，
又，，，，
由得，
，
．




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