2020-2021學(xué)年湖南省岳陽市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）已知集合，3，，，，且滿足，則　　A． B．0 C．1 D．22．（5分）已知，為第二象限角，則　　A． B． C． D．3．（5分）“互聯(lián)網(wǎng)”時代全民閱讀的內(nèi)涵已多元化，在線讀書成為一種生活方式．某高校為了解本校學(xué)生閱讀情況，擬采用分層抽樣方法從該校四個年級中抽取一個容量為360的樣本進行調(diào)查，大一與大二學(xué)生占全校一半，大三學(xué)生與大四學(xué)生之比為，則大四學(xué)生應(yīng)抽取的學(xué)生為　　A．72 B．100 C．108 D．1204．（5分）如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為，則的函數(shù)圖象是　　A． B． C． D．5．（5分）設(shè)，，，，則　　A． B． C． D．6．（5分）當(dāng)生物體死亡后，它機體內(nèi)的碳14含量會按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院聯(lián)合北京大學(xué)對三星堆新發(fā)現(xiàn)坑的炭屑樣品使用碳14年代檢測方法進行了分析，發(fā)現(xiàn)碳14含量衰減為原來的，則該遺址距今約　　年．（參考數(shù)據(jù)：A．3300 B．3200 C．3100 D．30007．（5分）若，，，則　　A． B． C． D．8．（5分）碳是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個碳原子構(gòu)成，形似足球，又稱為足球烯．其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個面，且滿足：頂點數(shù)棱數(shù)面數(shù)，則其六元環(huán)的個數(shù)為　　A．12 B．20 C．32 D．60二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）在中，若，，，則的值可以是　　A． B． C． D．10．（5分）如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下面敘述正確的是　　A．這組數(shù)據(jù)是近似對稱的 B．?dāng)?shù)據(jù)中可能有極端大的值 C．?dāng)?shù)據(jù)中可能有異常值 D．?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同11．（5分）已知，且，則下列結(jié)論正確的是　　A． B． C． D．12．（5分）已知正三棱錐中，為的中點，，，則　　A． B． C．此正三棱錐的內(nèi)切球半徑為 D．此正三棱錐的外接球表面積三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）若為偶函數(shù)，則　　．14．（5分）已知，，且，則的最小值是 　　．15．（5分）袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，第二次摸到紅球的概率是　　．16．（5分）已知為的重心，且，，則　　，的最小值為 　　．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期以及單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，若，，求周長的取值范圍．18．（12分）夏天來了，又是一個冷藏飲料銷售旺季．某生活小超市據(jù)以往統(tǒng)計某天的偏溫差（超出常溫度數(shù)）和某種飲料的銷售量（瓶的情況及有關(guān)數(shù)據(jù)如表：偏溫差銷售量（瓶81114202326其中，，．（1）請用相關(guān)系數(shù)加以說明是否可用線性回歸模型擬合銷售量與偏溫差的關(guān)系；（2）建立關(guān)于的回歸方程（精確到，預(yù)測當(dāng)偏溫差升高時該種飲料的銷售量會有什么變化？（銷售量精確到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)：，回歸直線方程是．，．19．（12分）如圖，在三棱柱中，，，．（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積．20．（12分）在①，，成等比數(shù)列且，②，③，，，這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答本題．問題：已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且滿足 _______．（1）求；（2）若的前項和為，證明：．21．（12分）某企業(yè)參加項目生產(chǎn)的工人為1000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．根據(jù)現(xiàn)實的需要，從項目中調(diào)出人參與項目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元，項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤提高．（1）若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務(wù)工作？（2）在（1）的條件下，當(dāng)從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時，才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)的取值范圍．22．（12分）已知動點與兩個定點，的距離的比為，動點的軌跡為曲線．（1）求的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線上的動點分別作的兩條切線，、為切點），，交于點．（ⅰ）證明：直線過定點，并求該定點坐標(biāo)；（ⅱ）是否存在點，使的面積最大？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2020-2021學(xué)年湖南省岳陽市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）已知集合，3，，，，且滿足，則　　A． B．0 C．1 D．2【解答】解：因為，則，又集合，3，，，，所以或，解得或或，當(dāng)和時，不滿足集合的互異性，所以．故選：．2．（5分）已知，為第二象限角，則　　A． B． C． D．【解答】解：因為，可得，所以，，可得，因為為第二象限角，可得，，可得，所以．故選：．3．（5分）“互聯(lián)網(wǎng)”時代全民閱讀的內(nèi)涵已多元化，在線讀書成為一種生活方式．某高校為了解本校學(xué)生閱讀情況，擬采用分層抽樣方法從該校四個年級中抽取一個容量為360的樣本進行調(diào)查，大一與大二學(xué)生占全校一半，大三學(xué)生與大四學(xué)生之比為，則大四學(xué)生應(yīng)抽取的學(xué)生為　　A．72 B．100 C．108 D．120【解答】解：大一與大二學(xué)生占全校一半，大三學(xué)生與大四學(xué)生之比為，大四學(xué)生占全校人數(shù)的，故大四學(xué)生應(yīng)抽取的學(xué)生為：，故選：．4．（5分）如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為，則的函數(shù)圖象是　　A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，分析選項，選項符合，故選：．5．（5分）設(shè)，，，，則　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，則；，根據(jù)，得，解得，所以；．故選：．6．（5分）當(dāng)生物體死亡后，它機體內(nèi)的碳14含量會按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院聯(lián)合北京大學(xué)對三星堆新發(fā)現(xiàn)坑的炭屑樣品使用碳14年代檢測方法進行了分析，發(fā)現(xiàn)碳14含量衰減為原來的，則該遺址距今約　　年．（參考數(shù)據(jù)：A．3300 B．3200 C．3100 D．3000【解答】解：設(shè)該遺址距今約年，衰減率為，則有，則，故，由題意可得，，則，故，所以，則該遺址距今約3100年．故選：．7．（5分）若，，，則　　A． B． C． D．【解答】解：令在時單調(diào)遞增，，則，故選：．8．（5分）碳是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個碳原子構(gòu)成，形似足球，又稱為足球烯．其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個面，且滿足：頂點數(shù)棱數(shù)面數(shù)，則其六元環(huán)的個數(shù)為　　A．12 B．20 C．32 D．60【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)正五邊形為個，正六邊形為個，碳的頂點數(shù)為60，有32個面，由頂點數(shù)棱數(shù)面數(shù)，則棱長數(shù)為90，則有，解可得，即有20個六元環(huán)，故選：．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）在中，若，，，則的值可以是　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，利用余弦定理：，解得．故選：．10．（5分）如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下面敘述正確的是　　A．這組數(shù)據(jù)是近似對稱的 B．?dāng)?shù)據(jù)中可能有極端大的值 C．?dāng)?shù)據(jù)中可能有異常值 D．?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同【解答】解：因為中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的一般水平，平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)比平均數(shù)小很多，所以數(shù)據(jù)不是近似對稱的，選項錯誤．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，可能是數(shù)據(jù)中有異常值，即數(shù)據(jù)中可能有極端大的值，所以、正確；眾數(shù)不止一個，中位數(shù)和眾數(shù)是否相同，和平均數(shù)無關(guān)，所以正確．故選：．11．（5分）已知，且，則下列結(jié)論正確的是　　A． B． C． D．【解答】解：由，得，又，得；；，所以選項錯誤．猜想，證明：當(dāng)時，，等式成立，假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，有，即當(dāng)時等式也成立，所以選項正確．由題意知，所以選項錯誤；由，所以選項正確．故選：．12．（5分）已知正三棱錐中，為的中點，，，則　　A． B． C．此正三棱錐的內(nèi)切球半徑為 D．此正三棱錐的外接球表面積【解答】解：設(shè)正三棱錐的底面中心為，連接，則平面連接并延長，交于，則，，又，，平面，可得，，由三棱錐為正三棱錐，則，故正確；設(shè)，在中，，解得．，故正確；正三棱錐的表面積為，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則，得，故正確；對于，由分割補形法可得正三棱錐外接球的半徑，外接球的表面積為，故錯誤．故選：．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）若為偶函數(shù)，則　0　．【解答】解：為偶函數(shù)，可得，，所以．故答案為：0．14．（5分）已知，，且，則的最小值是 　8　．【解答】解：（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立），，，故的最小值是8，故答案為：8．15．（5分）袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，第二次摸到紅球的概率是　　．【解答】解：袋中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，第二次摸到紅球的概率是：．故答案為：．16．（5分）已知為的重心，且，，則　4　，的最小值為 　　．【解答】解：分別取和的中點，，連接，，為的重心，，，，，，，即，又，且，，，即；，的最小值為．故答案為：4；．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期以及單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，若，，求周長的取值范圍．【解答】解：（1），，令，，解得，，的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2），，為三角形的內(nèi)角，，由余弦定理可得，，，即，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，，，周長的取值范圍為，．18．（12分）夏天來了，又是一個冷藏飲料銷售旺季．某生活小超市據(jù)以往統(tǒng)計某天的偏溫差（超出常溫度數(shù)）和某種飲料的銷售量（瓶的情況及有關(guān)數(shù)據(jù)如表：偏溫差銷售量（瓶81114202326其中，，．（1）請用相關(guān)系數(shù)加以說明是否可用線性回歸模型擬合銷售量與偏溫差的關(guān)系；（2）建立關(guān)于的回歸方程（精確到，預(yù)測當(dāng)偏溫差升高時該種飲料的銷售量會有什么變化？（銷售量精確到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)：，回歸直線方程是．，．【解答】解：（1）由題意可得，，，，，，故，所以可以線性回歸方程模型擬合與的關(guān)系；（2）由題意，，故，則，所以關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)△時，△，預(yù)測當(dāng)偏溫差升高時該種飲料的銷售量會增加10瓶．19．（12分）如圖，在三棱柱中，，，．（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積．【解答】（1）證明：取的中點，連接，，，，，，，，，，即，又，、平面，平面，平面，平面平面，平面平面，平面平面．（2）解：由（1）知，平面，三棱柱的高為，而，，，四棱錐的體積．20．（12分）在①，，成等比數(shù)列且，②，③，，，這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答本題．問題：已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且滿足 _______．（1）求；（2）若的前項和為，證明：．【解答】解：（1）若選擇條件①：由，得，即①，又，，成等比數(shù)列，得，即②，由①②解得，．所以．若選擇條件②：由，得，兩式相減并整理得：，由于，所以，所以，即，令，得，解得，所以．若選擇條件③：由等差數(shù)列的前項和為，得，又數(shù)列是等差數(shù)列，得數(shù)列也是等差數(shù)列，所以，即，解得，故；，解得，所以．（2）證明：由，可得，所以，所以．21．（12分）某企業(yè)參加項目生產(chǎn)的工人為1000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．根據(jù)現(xiàn)實的需要，從項目中調(diào)出人參與項目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元，項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤提高．（1）若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務(wù)工作？（2）在（1）的條件下，當(dāng)從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時，才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)調(diào)出人參加項目從事售后服務(wù)工作，由題意可得，，即，又，所以，故最多調(diào)出500人參加項目從事售后服務(wù)工作；（2）由題意可知，，從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則對恒成立，即對恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，又，故實數(shù)的取值范圍為．22．（12分）已知動點與兩個定點，的距離的比為，動點的軌跡為曲線．（1）求的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線上的動點分別作的兩條切線，、為切點），，交于點．（?。┳C明：直線過定點，并求該定點坐標(biāo)；（ⅱ）是否存在點，使的面積最大？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)，由條件有，化簡整理得①．故曲線是以為圓心，2為半徑的圓．（2）如圖：直線為以為圓心，為半徑的圓與圓的公共弦所在的直線．，所以圓的方程為②．①②，整理得，即直線的方程為，故恒過定點．因為，所以點在以為直徑的圓周上，其坐標(biāo)滿足；因為，又，所以當(dāng)時，的面積最大；此時，由，，三點共線，得，即，，所以點坐標(biāo)為．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/14 16:59:23；用戶：13159259195；郵箱：13159259195；學(xué)號：39016604

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