2022-2023學(xué)年湖南省岳陽市高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  已知集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知為虛數(shù)單位，，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則(    )A.  B.  C.  D. 5.  的展開式中，常數(shù)項為(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 7.  蹴鞠又名蹴球，蹴有用腳踢的含義，鞠最早為外包皮革、內(nèi)充米糠的球。因而蹴鞠就是古人以腳踢皮球的活動，類似于今天的足球。年月日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄。已知某鞠表面上有四個點，，，，若四面體的體積為，經(jīng)過該鞠的中心，，，則該鞠的表面積為(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，，，則，，的大小關(guān)系為(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.  在中，，，分別為內(nèi)角，，所對的邊已知，的面積為，且，則(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知，且則下列結(jié)論一定正確的有(    )A.  B.
C. 有最大值 D. 有最小值11.  下列命題中，正確的是(    )A. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
B. “”是“，”的充分不必要條件
C. 用表示次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗中事件發(fā)生的概率，若，，則
D. 一組數(shù)據(jù)，，，的平均值為，則，，，的平均值為．12.  已知拋物線的焦點為，，為上兩個相異的動點，分別在點，處作拋物線的切線，，與交于點，則(    )A. 若直線過焦點，則點一定在拋物線的準(zhǔn)線上
B. 若點在直線上，則直線過定點
C. 若直線過焦點，則面積的最小值為
D. 若，則面積的最大值為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  數(shù)據(jù)：，，，，，，，，中的第百分位數(shù)是          ．14.  已知圓，過點的直線被該圓所截的弦長的最小值為          15.  設(shè)數(shù)列的前項的和為，且，則          ．16.  已知橢圓的兩個頂點分別為，，離心率為點為軸上一點，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點，，過作的垂線交于點，則與的面積之比為          四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．求常數(shù)的值求使成立的的取值集合． 18.  本小題分設(shè)為等差數(shù)列的前項和，且，．求數(shù)列的通項公式若，令，求數(shù)列的前項和． 19.  本小題分
如圖，在幾何體中，菱形所在的平面與矩形所在的平面互相垂直．
 若為線段上的一個動點，證明：平面若，，直線與平面所成角的正弦值為，求的長． 20.  本小題分為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊明星隊員對乙隊的每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為注：比賽結(jié)果沒有平局求甲隊明星隊員在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊比賽局，甲隊最終獲勝的概率；求甲乙兩隊比賽局，甲隊獲得最終勝利的概率；若已知甲乙兩隊比賽局，甲隊獲得最終勝利，求甲隊明星隊員上場的概率． 21.  本小題分已知雙曲線，四點，，，中恰有三點在雙曲線上．求的方程設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于，兩點若直線與直線的斜率的和為證明：過定點． 22.  本小題分已知函數(shù)．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；證明：，
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查交集運算，屬于基礎(chǔ)題．
化簡，，由交集運算即可求解．【解答】解：，，
則．  2.【答案】 【解析】【分析】本題考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．
利用共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)模的模長公式即可求解．【解答】解：由題意，得．  3.【答案】 【解析】【分析】本題考查投影向量，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：為在上的投影向量，故選C．  4.【答案】 【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．
求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為，即可得出的值．【解答】解：函數(shù)  ，求導(dǎo)得：，
因為在處的切線與直線垂直，
所以在處的切線斜率為，
解得．
故選D．  5.【答案】 【解析】【分析】本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
根據(jù)已知條件，結(jié)合二項式定理，即可求解．【解答】解：的展開式的通項為．
當(dāng)為常數(shù)時，，解得，
則；
當(dāng)為常數(shù)時，，解得，
則，
所以的展開式中常數(shù)項為．
   6.【答案】 【解析】【分析】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
已知等式去分母變形后，得到關(guān)系式，兩邊平方并利用完全平方公式化簡，整理求出的值，進(jìn)而求出的值，即可確定出的值．【解答】解：已知等式變形得：，即，
兩邊平方得：，即，
整理得：，即，
解得：或原式分母為，舍去，
將代入得：，即，
則．
故選：．  7.【答案】 【解析】【分析】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，屬于中檔題．
由題意畫出圖形，先求得球的半徑，再由球的表面積公式求解即可．【解答】解：如圖，取的中點，連接與球交于另一點，連接，，

易知為圓面的直徑，平面，，分別為，的中點，所以平面，，，即，在中，，，，
球的表面積為．
故選B．  8.【答案】 【解析】【分析】本題考查構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，屬于中檔題．
與可看作與，從而可構(gòu)造函數(shù)比大小，與可看作與，從而可構(gòu)造函數(shù)比大小．【解答】解：設(shè)，則，
令，則，
令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
因此在上單調(diào)遞增，
所以．
令，則，
所以，即．
設(shè)，
則，
因此在上單調(diào)遞減，
所以，
令，則，
所以，所以．
故．  9.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式，結(jié)合，可求，結(jié)合范圍，可求，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，余弦定理可求，即可得解．【解答】解：，
整理可得：，
可得，
為三角形內(nèi)角，，
可得，，故A，B正確，
，．
，且，
，可得，
由余弦定理可得，可得，故C正確，D錯誤．
故選：．  10.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查利用作差法比較大小，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．
利用作差法比較大小即可判斷，舉反例可判斷，利用基本不等式求最值即可判斷．【解答】解：對，，故，故A正確；
對，取，，則，顯然，故B錯誤；
對，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最大值為，故C正確；
對，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最小值為，故D錯誤．
故選AC．  11.【答案】 【解析】【分析】本題考查平均數(shù)、充分必要條件的判斷、二項分布的均值、二項分布的方差或標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)分布的概率，屬于基礎(chǔ)題．
利用正態(tài)分布的概率求出，即可判定；根據(jù)題意得出，求出，即可判定；利用二項分布的期望和方差公式，求出的值，即可判定；利用平均數(shù)的概念即可判定．【解答】解：選項，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，
，
．
所以，故A正確；
選項，，，
，，
，
是，的必要不充分條件，故B錯誤；
選項，因為隨機(jī)變量服從二項分布，，，
所以，，解得，故C正確；
選項，若數(shù)據(jù)，，，的平均值為，則故 D正確．  12.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于較難題．
設(shè)與拋物線相切的切線方程為，可得直線的方程為，，再逐項分析求解即可．【解答】解：設(shè)，，，與拋物線相切的切線方程為，
則化簡得．
由，可得，
將點坐標(biāo)代入方程，可得，，
所以過的切線方程為．
同理，過的切線方程為，
所以直線的方程為．
又，，
聯(lián)立可得．
因為在拋物線上，所以，
所以．
對于，若直線過焦點，則，故，
所以點一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；
對于，若點在直線上，則，
代入直線的方程得，解得，，所以直線過定點，故B正確；
對于，若直線過焦點，則，
直線的方程為，即，

，
點到直線的距離為，
所以面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C錯誤；
對于，

，
可得．
點到直線的距離為
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以面積的最大值為，故D錯誤．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查了一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)問題，是基礎(chǔ)題．
把該組數(shù)據(jù)從小到大排列，計算，從而找出對應(yīng)的第百分位數(shù)．【解答】解：該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：
，，，，，，，，．
且，
所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是．
故答案為：．  14.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線與圓相交弦長公式及圓心到直線的距離，屬于中檔題．
由相交弦長和圓的半徑及圓心到過的直線的距離之間的勾股關(guān)系，求出弦長的最小值，即圓心到直線的距離的最大時，而當(dāng)直線與垂直時最大，求出的最大值，進(jìn)而求出弦長的最小值．【解答】解：設(shè)圓心為，直線過點，與圓交于，兩點，則，半徑；
設(shè)圓心到直線的距離為，則相交弦長 ，
當(dāng)最大時最小，當(dāng)直線與所在的直線垂直時最大，
這時  ，
所以最小的弦長 ，
故答案為．  15.【答案】 【解析】【分析】本題考查數(shù)列的前項和及與的關(guān)系、裂項相消法求和，屬于基礎(chǔ)題．
由時，求出，得出，利用裂項相消法，即可求出結(jié)果．【解答】解：因為，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，上式也成立，
所以，
所以，
所以．
故答案為．  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查橢圓性質(zhì)和橢圓方程的求解，直線與直線的位置關(guān)系，圓錐曲線中的定值問題，屬于中檔題．
由根據(jù)橢圓的離心率公式可求得，從而求出，即可寫出橢圓方程分別求出直線與直線的方程，聯(lián)立可求得點的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得兩三角形面積之比．【解答】解：焦點在軸上，兩個頂點分別為點，，，
，，
 橢圓的方程為；
設(shè)，，可得，
直線的方程為：，

，，直線的方程：，
直線的方程：，
直線與直線的方程聯(lián)立可得 ，
整理為：，即，
，計算可得，
代入直線的方程可得．，則，
又．  17.【答案】解：．由，得，所以，
故當(dāng)時，，
解得．，，
，
則
所以的取值集合為． 【解析】本題考查三角恒等變換，正弦型函數(shù)的最值以及不等式求解，屬于中檔題．
先化簡，由題先得到，進(jìn)而得到，解得的值即可；
由題意得出，由正弦型函數(shù)的圖象得出，即可求出的取值集合．
 18.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
由題意，得
解得 ．
由已知
故，兩式相減，得，
所以 【解析】本題考查等差數(shù)列的通項的求解，錯位相減法求和，考查計算能力．屬中檔題．
利用已知條件根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式，建立關(guān)于數(shù)列首項和公差的方程組，求出數(shù)列的首項與公差，然后利用等差數(shù)列的通項公式求解即可；
利用錯位相減法求和
 19.【答案】證明：由題知，四邊形為矩形，所以，
又因為平面，平面，所以平面，
同理可證平面，又因為，，平面，
所以平面平面，又因為平面，所以平面．
解：因為平面平面，
且平面平面，，
平面，所以平面．
又因為底面為菱形，且，，
所以為等邊三角形，且，設(shè)，
取的中點為，連接，以為坐標(biāo)原點，以的方向為軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量，則
取，則，，即
設(shè)直線與平面所成角為，則
，，
化簡可得，解得或．
故BF的長可為或． 【解析】本題考查線面平行的判定及性質(zhì)，直線與平面所成角，屬于中檔題．
利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可求解．
設(shè)，取的中點為，連接，以為坐標(biāo)原點，以的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，再根據(jù)，列等式，化簡即可求解．
 20.【答案】解：設(shè)事件“甲乙兩隊比賽局甲隊最終獲勝”，
事件“甲隊第局獲勝”，其中，，，，相互獨立，
又甲隊明星隊員前四局不出場，故：，，，，，
，
所以
設(shè)為甲局獲得最終勝利，為前局甲隊明星隊員上場比賽，
則由全概率公式可知：
因為每名隊員上場順序隨機(jī)，故，
，
，，
所以
． 【解析】本題考查概率計算，考查相互獨立事件、全概率公式、貝葉斯公式和條件概率的應(yīng)用，屬于中檔題．
設(shè)事件“甲乙兩隊比賽局甲隊最終獲勝”，事件“甲隊第局獲勝”，其中，，，，得，利用即可求解
討論上場和不上場兩種情況，利用全概率公式即可求解
利用貝葉斯公式即可求解．
 21.【答案】解：易知雙曲線關(guān)于軸對稱，，關(guān)于軸對稱，故，都在雙曲線上，
若，，在雙曲線上，則，不滿足．
若，，在雙曲線上，則，滿足．
故雙曲線的方程為．
證明：設(shè)直線與直線的斜率分別為．
如果直線斜率不存在，則，不符合題設(shè)．
從而設(shè)直線：，，，，
聯(lián)立，整理，得，
，化簡得：．
則，，
則

化簡得：，
則或．
當(dāng)時，直線的方程為，
當(dāng)時，，直線過定點．又直線不經(jīng)過點，故不合題意；
當(dāng)時，直線的方程為，
當(dāng)時，，直線過定點． 【解析】本題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線中的定點問題，是中檔題．
根據(jù)雙曲線的對稱性以及的取值范圍，得，，在雙曲線上，從而求解；
由題意分析出直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，，與雙曲線方程聯(lián)立，利用利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程，結(jié)合已知條件能證明直線過定點．
 22.【答案】解：，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．欲證
只需證，只需證，
即證只需證，
由可知當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，不等式恒成立，
即恒成立，
，即，
同理，，，將上述不等式累加得：，又，不等式得證，
不等式得證． 【解析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)不等式，考查裂項相消法，考查分析與計算能力，屬于較難題．
直接求導(dǎo)，討論和時函數(shù)的單調(diào)性即可求解；先通過分析法將要證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證，再結(jié)合得到，由累加法結(jié)合放縮、裂項相消即可證明．
 

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