?2020-2021學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．
1．（5分）集合，，則的子集個(gè)數(shù)為　　
A．3 B．2 C．4 D．8
2．（5分）在中，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，，則的值為　　
A． B． C．14 D．
3．（5分）一盒子中有5個(gè)球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，則恰好一個(gè)白球一個(gè)紅球的概率是　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知橢圓的離心率為，則　　
A． B． C． D．
5．（5分）偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則、（2）、（3）的大小關(guān)系是　　
A．（2）（3） B．（3）（2）
C．（2）（3） D．（3）（2）
6．（5分）《九章算術(shù)》敘述了一個(gè)老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，兩鼠對穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問：何日相逢？各穿幾何？意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞進(jìn)度是前一天的2倍，小老鼠每天的進(jìn)度是前一天的一半．第3天結(jié)束后，兩只老鼠相距　　
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
7．（5分）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為　　
A． B． C．24 D．
8．（5分）動(dòng)漫作品《火影忍者》描述配合忍術(shù)結(jié)印的手勢有12種：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如從忍者學(xué)校畢業(yè)考核的分身術(shù)的一個(gè)要求是需要按正確的順序在5秒內(nèi)完成未巳寅結(jié)印手勢．漫畫描述的忍術(shù)都需要配合至少3個(gè)結(jié)印手勢且相鄰的手勢不相同，不同的手勢對應(yīng)不同的忍術(shù)．設(shè)某忍術(shù)需要個(gè)手勢，則　　

A．當(dāng)時(shí)，共有種不同的忍術(shù)
B．當(dāng)時(shí)，共有種忍術(shù)
C．當(dāng)時(shí)，共有1452種不同忍術(shù)
D．當(dāng)時(shí)的忍術(shù)種類是的忍術(shù)種類的12倍
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（5分）隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，全國居民人均消費(fèi)支出也逐步增加，已知2015年全國居民人均消費(fèi)支出為22000元，通過查閱國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)2020年全國居民人均消費(fèi)支出約為2015年的1.5倍，如圖分別為2015年和2020年全國居民的人均消費(fèi)支出及其構(gòu)成，則下列說法正確的是　　

A．2020年的全國人均教育文化娛樂支出金額比2015年的全國人均教育文化娛樂支出金額多
B．2015年和2020年全國人均衣食行支出金額無明顯變化
C．2020年全國人均居住和醫(yī)療衛(wèi)生支出金額總和比2015年除衣食行外的全國人均支出金額總和多
D．隨著人均消費(fèi)支出的增加，人們在居住方面投入越來越多
10．（5分）已知，為正數(shù)，且，那么下列結(jié)論中正確的有　　
A．的最小值是2 B．
C． D．
11．（5分）已知在正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的中點(diǎn)，過，的平面與底面所成的銳二面角為，則正方體被平面所截的截面形狀可能為　　

A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
12．（5分）著名的歐拉公式為：，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，它使用了幾個(gè)基本的數(shù)學(xué)常數(shù)描述了實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集的聯(lián)系．其廣義一般式是，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量坐標(biāo)為，則下列說法正確的是　　
A．
B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直，則
D．復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知，，則　?。?br /> 14．（5分）已知函數(shù)在，上的最大值為1，則函數(shù)在，處的切線方程為 　?。?br /> 15．（5分）某函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，且在遞減，在遞增，則此函數(shù)可以是 　?。▽懗鲆粋€(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即可）
16．（5分）已知圓與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且與圓相切，切點(diǎn)在劣弧上，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，　　；當(dāng)直線的斜率不確定時(shí)，的取值范圍是 　?。?br /> 四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為，，，且，．
（1）求角的大??；
（2）求面積的最大值．
18．（12分）已知數(shù)列滿足，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點(diǎn)、分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）若，且與底面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．

20．（12分）雜交水稻的育種理論由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全國各地農(nóng)業(yè)專家齊聚海南攻關(guān)雜交水稻育種，從此雜交水稻育種在袁隆平院士的理論基礎(chǔ)上快速發(fā)展．截至2021年5月22日，中國國家水稻數(shù)據(jù)中心收錄雜交水稻品種超1000種．如圖為部分水稻稻種的生育期天數(shù)的頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估算水稻稻種生育期天數(shù)的平均值和中位數(shù)；（保留三位有效數(shù)字）
（2）以頻率視作概率，對中國國家水稻中心收錄的所有稻種進(jìn)行檢驗(yàn)，規(guī)定：①檢驗(yàn)次數(shù)不超過5次；②若檢驗(yàn)出3個(gè)生育期超過第（1）問所求中位數(shù)的稻種則檢驗(yàn)結(jié)束．設(shè)檢驗(yàn)結(jié)束時(shí)，檢驗(yàn)的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．
21．（12分）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點(diǎn)，，求證：平行四邊形的面積為定值，并求出此定值．
22．（12分）設(shè)函數(shù)．
（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求的最大值．

2020-2021學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．
1．（5分）集合，，則的子集個(gè)數(shù)為　　
A．3 B．2 C．4 D．8
【解答】解：，，1，2，3，，
，1，，
的子集個(gè)數(shù)為：．
故選：．
2．（5分）在中，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，，則的值為　　
A． B． C．14 D．
【解答】解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，，
所以．
故選：．

3．（5分）一盒子中有5個(gè)球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，則恰好一個(gè)白球一個(gè)紅球的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：恰好一個(gè)白球一個(gè)紅球的概率是．
故選：．
4．（5分）已知橢圓的離心率為，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得，即，
，
，即，
，
．
故選：．
5．（5分）偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則、（2）、（3）的大小關(guān)系是　　
A．（2）（3） B．（3）（2）
C．（2）（3） D．（3）（2）
【解答】解：是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，
，
（3）（2），
即（3）（2）．
故選：．
6．（5分）《九章算術(shù)》敘述了一個(gè)老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，兩鼠對穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問：何日相逢？各穿幾何？意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞進(jìn)度是前一天的2倍，小老鼠每天的進(jìn)度是前一天的一半．第3天結(jié)束后，兩只老鼠相距　　
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)大老鼠每天挖墻的尺寸為數(shù)列，小老鼠每天挖墻的尺寸為數(shù)列，
兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列：其首項(xiàng)都為1，公比分別為2，，
第3天結(jié)束后，兩只老鼠共打洞的尺寸為，
則第3天結(jié)束后，兩只老鼠相距尺，
故選：．
7．（5分）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為　　
A． B． C．24 D．
【解答】解：的展開式中的通項(xiàng)公式為，
的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，
故選：．
8．（5分）動(dòng)漫作品《火影忍者》描述配合忍術(shù)結(jié)印的手勢有12種：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如從忍者學(xué)校畢業(yè)考核的分身術(shù)的一個(gè)要求是需要按正確的順序在5秒內(nèi)完成未巳寅結(jié)印手勢．漫畫描述的忍術(shù)都需要配合至少3個(gè)結(jié)印手勢且相鄰的手勢不相同，不同的手勢對應(yīng)不同的忍術(shù)．設(shè)某忍術(shù)需要個(gè)手勢，則　　

A．當(dāng)時(shí)，共有種不同的忍術(shù)
B．當(dāng)時(shí)，共有種忍術(shù)
C．當(dāng)時(shí)，共有1452種不同忍術(shù)
D．當(dāng)時(shí)的忍術(shù)種類是的忍術(shù)種類的12倍
【解答】解：根據(jù)題意，忍術(shù)都需要配合至少3個(gè)結(jié)印手勢且相鄰的手勢不相同，不同的手勢對應(yīng)不同的忍術(shù)，
若某忍術(shù)需要個(gè)手勢，則有種不同情況，即有種不同忍術(shù)；
據(jù)此依次分析選項(xiàng)：
對于，當(dāng)時(shí)，共有種不同的忍術(shù)，錯(cuò)誤；
對于，當(dāng)時(shí)，共有種不同的忍術(shù)，錯(cuò)誤；
對于，當(dāng)時(shí)，共有種不同的忍術(shù)，正確；
對于，當(dāng)時(shí)，有種不同的忍術(shù)，當(dāng)時(shí)，有種不同的忍術(shù)，
則當(dāng)時(shí)的忍術(shù)種類是的忍術(shù)種類的11倍，錯(cuò)誤；
故選：．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（5分）隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，全國居民人均消費(fèi)支出也逐步增加，已知2015年全國居民人均消費(fèi)支出為22000元，通過查閱國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)2020年全國居民人均消費(fèi)支出約為2015年的1.5倍，如圖分別為2015年和2020年全國居民的人均消費(fèi)支出及其構(gòu)成，則下列說法正確的是　　

A．2020年的全國人均教育文化娛樂支出金額比2015年的全國人均教育文化娛樂支出金額多
B．2015年和2020年全國人均衣食行支出金額無明顯變化
C．2020年全國人均居住和醫(yī)療衛(wèi)生支出金額總和比2015年除衣食行外的全國人均支出金額總和多
D．隨著人均消費(fèi)支出的增加，人們在居住方面投入越來越多
【解答】解：由題意知，2020年全國居民人均消費(fèi)支出為元，
選項(xiàng)，2020年的全國人均教育文化娛樂支出金額為元，
2015年的全國人均教育文化娛樂支出金額為元，由于，即選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)，2015年和2020年全國人均衣食行支出金額分別為元，元，由于，即選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，2020年全國人均居住和醫(yī)療衛(wèi)生支出金額總和為元，
2015年除衣食行外的全國人均支出金額總和為元，由于，即選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)，2015年在居住方面的投入為元，2020年在居住方面的投入為元，
由于，即選項(xiàng)正確．
故選：．
10．（5分）已知，為正數(shù)，且，那么下列結(jié)論中正確的有　　
A．的最小值是2 B．
C． D．
【解答】解：因?yàn)?，為正?shù)，且，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)?，所以等?hào)取不到，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)榍?，所以?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故選項(xiàng)正確；
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，且，都為正?shù)，
所以，
則，即，
故選項(xiàng)正確．
故選：．
11．（5分）已知在正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的中點(diǎn)，過，的平面與底面所成的銳二面角為，則正方體被平面所截的截面形狀可能為　　

A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【解答】解：如圖所示：
設(shè)正方體的棱長為，在上取一點(diǎn)使得平面與平面所成的銳二面角為，
因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，
所以，
連接交于點(diǎn)，連接，
所以，且為的中點(diǎn)，
，
所以，
所以為平面與平面所成的銳二面角為，
所以，
所以，
所以此時(shí)平面為平面，
所以平面為三角形，故正確；
在和上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使得，
取，的中點(diǎn)，，
則平面，
又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以又，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以為平面與平面所成的銳二面角為，
所以，
所以，
延長交于，延長交于，連接交于，交于，
連接，，則平面為平面，
所以平面為六邊形，故正確．
故選：．

12．（5分）著名的歐拉公式為：，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，它使用了幾個(gè)基本的數(shù)學(xué)常數(shù)描述了實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集的聯(lián)系．其廣義一般式是，該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量坐標(biāo)為，則下列說法正確的是　　
A．
B．若復(fù)數(shù)滿足，則
C．若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直，則
D．復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直
【解答】解：對于，，故正確；
對于，，，故正確；
對于，若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量相互垂直，對應(yīng)的向量坐標(biāo)為，
對應(yīng)的向量坐標(biāo)為，可得，則，，故錯(cuò)誤；
對于，復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量分別為，，則，可得兩向量相互垂直，故正確．
故選：．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知，，則　?。?br /> 【解答】解：因?yàn)椋?br /> 所以，，
則．
故答案為：．
14．（5分）已知函數(shù)在，上的最大值為1，則函數(shù)在，處的切線方程為 　?。?br /> 【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
因?yàn)?，，所以，在，為增函?shù)，
可得的最大值為，
所以在處的切線的斜率為1，
則切線的方程為．
故答案為：．
15．（5分）某函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，且在遞減，在遞增，則此函數(shù)可以是 ?。ù鸢覆晃ㄒ唬。▽懗鲆粋€(gè)滿足條件的函數(shù)解析式即可）
【解答】解：構(gòu)造二次函數(shù)，圖象開口向上，且對稱軸是．
則函數(shù)在遞減，在遞增，
且與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，．
令，
，
是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱．
且其圖象如下圖：

顯然函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，且在遞減，在遞增．
故答案為：（答案不唯一）．
16．（5分）已知圓與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且與圓相切，切點(diǎn)在劣弧上，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，　??；當(dāng)直線的斜率不確定時(shí)，的取值范圍是 　　．
【解答】解：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，
設(shè)，，，，
直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且與圓相切，
又圓的半徑為，
，
拋物線，
，
，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，
由韋達(dá)定理，可得，，
直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且與圓相切，
，即，
又由拋物線的定義，，，
，
不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，聯(lián)立圓與拋物線方程，解得，，
，
分別過點(diǎn)，的圓的切線斜率為，
，
，
，
，
，
，
的取值范圍是．
故答案為：，．
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為，，，且，．
（1）求角的大??；
（2）求面積的最大值．
【解答】解：（1）的內(nèi)角、、的對邊分別為，，，且，
利用正弦定理整理得：，
由于，
所以，
所以，
由于，
故．
（2）由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
所以，
則．
18．（12分）已知數(shù)列滿足，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解答】解：（1）數(shù)列滿足，
即為，
所以是等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為1，
則；
（2）當(dāng)時(shí)，，可得；
當(dāng)時(shí)，，又，
兩式相減可得，
即，
當(dāng)時(shí)，上式也成立．
所以，
，
所以．
19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點(diǎn)、分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）若，且與底面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．

【解答】（1）證明：四棱錐中，底面是正方形，所以；
又因?yàn)閭?cè)棱底面，平面，所以，
又因?yàn)椋移矫?，平面?br /> 所以平面；
又因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以平面；
（2）解：正方形中，，側(cè)棱底面，
所以是直線與底面所成的角；
所以；
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，，，
依題意知，，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，
由知，，，，
因?yàn)?，，且?br /> 所以平面，平面的法向量是，1，；
由，，，，1，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，
令，得，，0，，
所以，，
由二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．
20．（12分）雜交水稻的育種理論由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全國各地農(nóng)業(yè)專家齊聚海南攻關(guān)雜交水稻育種，從此雜交水稻育種在袁隆平院士的理論基礎(chǔ)上快速發(fā)展．截至2021年5月22日，中國國家水稻數(shù)據(jù)中心收錄雜交水稻品種超1000種．如圖為部分水稻稻種的生育期天數(shù)的頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估算水稻稻種生育期天數(shù)的平均值和中位數(shù)；（保留三位有效數(shù)字）
（2）以頻率視作概率，對中國國家水稻中心收錄的所有稻種進(jìn)行檢驗(yàn)，規(guī)定：①檢驗(yàn)次數(shù)不超過5次；②若檢驗(yàn)出3個(gè)生育期超過第（1）問所求中位數(shù)的稻種則檢驗(yàn)結(jié)束．設(shè)檢驗(yàn)結(jié)束時(shí)，檢驗(yàn)的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．
【解答】解：（1）由題意可知，水稻稻種生育期天數(shù)的平均值為：
；
設(shè)中位數(shù)為，則，
解得，
所以中位數(shù)為145；
（2）設(shè)從國家水稻中心收錄的所有稻種中抽取1個(gè)品種，該品種生育期超過中位數(shù)為事件，
則（A），
由題意可知，的可能取值為3，4，5，
所以，
，
，
所以的分布列為：

3
4
5




則．
21．（12分）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點(diǎn)，，求證：平行四邊形的面積為定值，并求出此定值．
【解答】解：（1）由雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，
得，解得，，，
所以雙曲線的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，
過點(diǎn)與漸近線平行的直線分別為，，方程分別為，，
聯(lián)立，解得，
同理聯(lián)立，解得，
又漸近線方程為，
則，
所以，
又點(diǎn)在雙曲線上，則，
所以，
所以平行四邊形的面積為定值，且定值為．
22．（12分）設(shè)函數(shù)．
（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求的最大值．
【解答】解：（1）由題意可知，的定義域?yàn)椋?br /> ，令，解得，
令，
則由題意可知，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
．令，可得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（e），
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，則，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
由對恒成立，
等價(jià)于當(dāng)恒成立，
即對恒成立，
令，則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又（8），
，
所以在上有唯一的零點(diǎn)，即，
當(dāng)時(shí)，，即，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，則單調(diào)遞增，
所以，
所以，又，
所以，
又，
所以的最大值為2．
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