?專題11 圓與圓的位置關(guān)系
要點　圓與圓的位置關(guān)系
圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.
1．幾何法：
位置
關(guān)系
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
圖示





d與r1、
r2的關(guān)系
d＞r1＋r2
d=r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d=|r1－r2|
d3＋2
【解析】由題意可得兩圓圓心坐標(biāo)和半徑長分別為(a,0)，和(0，b)，1，因為兩圓相離，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
7．（2020·伊美區(qū)第二中學(xué)高二期末）若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長為2，則a＝________.
【答案】1
【解析】兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝，又a>0，結(jié)合圖象(圖略)，再利用半徑、弦長的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知＝ ＝1?a＝1.
8．（2020·西藏山南二中高三月考）過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程是________．
【答案】x2＋y2－3x＋y－1＝0
【解析】設(shè)圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，則(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圓心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0.
9．（2020·四川高二期末）求與圓C：x2＋y2－2x＝0外切且與直線l：x＋y＝0相切于點M(3，－)的圓的方程．
【解析】圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，
圓心C(1,0)，半徑為1.
設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由題意可知解得
所以所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4.
10．（2020·福建莆田一中高二期中）已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圓C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)當(dāng)m＝1時，判斷圓C1和圓C2的位置關(guān)系；
(2)是否存在實數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)當(dāng)m＝1時，圓C1的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C1(1，－2)，半徑長為r1＝3，
圓C2的方程為(x＋1)2＋y2＝1，圓心為C2(－1,0)，半徑長為r2＝1，
兩圓的圓心距d＝ ＝2，
又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，
所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圓C1和圓C2相交．
(2)不存在實數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含．理由如下：
圓C1的方程可化為(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓心C1的坐標(biāo)為(m，－2)，半徑為3.
假設(shè)存在實數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含，
則圓心距d＝＜3－1，
即(m＋1)2＜0，此不等式無解．
故不存在實數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含．

11．（2020·全國高二課時練習(xí)）圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則(　　)
A．E＝－4，F(xiàn)＝8 B．E＝4，F(xiàn)＝－8
C．E＝－4，F(xiàn)＝－8 D．E＝4，F(xiàn)＝8
【答案】C
【解析】由題意聯(lián)立兩圓方程得4x＋Ey－4－F＝0，則＝－1，＝1，解得E＝－4，F(xiàn)＝－8，故選C.
12．（2020·四川省綿陽南山中學(xué)高二期中（文））若圓平分圓的周長，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．16 D．20
【答案】A
【解析】兩圓方程相減得，，此為相交弦所在直線方程，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，
∴，，
∵，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．
故選：A．
13.（多選）（2020·河北承德第一中學(xué)高二月考）圓與圓，下列說法正確的是（ ）
A．對于任意的，圓與圓始終相切
B．對于任意的，圓與圓始終有四條公切線
C．當(dāng)時，圓被直線截得的弦長為
D．P，Q分別為圓與圓上的動點，則的最大值為4
【答案】ACD
【解析】由已知，，等于兩圓半徑之和，兩圓始終相切，A正確，B錯誤；
時，，到已知直線的距離為，則弦長為，C正確；
由于，∴，共線時最大值．D正確．故選：ACD．
14．（2020·江蘇西安交大蘇州附中高二期中）已知圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心為O2(2,1)．
(1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程；
(2)若圓O1與圓O2交于A，B兩點，且|AB|＝2，求圓O2的方程．
【解析】(1)設(shè)圓O1、圓O2的半徑分別為r1，r2，
∵兩圓外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝ －2＝2(－1)，
∴圓O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)由題意，設(shè)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圓O1，O2的方程相減，即得兩圓公共弦AB所在直線的方程，為4x＋4y＋r－8＝0.
∴圓心O1(0，－1)到直線AB的距離為＝＝，解得r＝4或20.
∴圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

15．（2020·廈門市松柏中學(xué)高二其他模擬）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，且點，在圓上，
（1）判斷圓與圓的位置關(guān)系；
（2）設(shè)為圓上任意一點，.，與不共線，為的平分線，且交于，求證與的面積之比為定值.
【解析】（1）由于點，關(guān)于直線對稱點，，
故圓的方程為：.
把點，在圓上，可得，
故圓的方程為：.
可得圓，，，
根據(jù)，故兩圓相離.
（2）設(shè)，
則，
.
設(shè)點，
則.
；
；
，，即


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