專題09 圓的一般方程練習-2021-2022學年高二數(shù)學重難點手冊

這是一份專題09 圓的一般方程練習-2021-2022學年高二數(shù)學重難點手冊，共10頁。試卷主要包含了圓的一般方程的概念，圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑，故選D.，已知圓C，圓C等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?專題09 圓的一般方程
要點　圓的一般方程
1．圓的一般方程的概念：
當D2＋E2－4F>0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
2．圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑：
圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為(－，－)，半徑長為
【方法技巧】　
①圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點：x2、y2的系數(shù)相等且不為0；沒有xy項．
②對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的說明：
方程
條件
圖形
x2＋y2＋Dx＋
Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何圖形
D2＋E2－4F＝0
表示一個點(－，－)
D2＋E2－4F＞0
表示以(－，－)為圓心，
以為半徑的圓
【基礎(chǔ)自測】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圓．(　　)
(2)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)
【答案】（1）×（2）√
2．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
【答案】D
【解析】－＝2，－＝－3，∴圓心坐標是(2，－3)．故選D.
3．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為(　　)
A．k≤ B．k＝ C．k≥ D．k＜
【答案】D
【解析】方程表示圓?1＋1－4k＞0?k＜.故選D.
4．經(jīng)過圓x2＋2x＋y2＝0的圓心，且與直線x＋y＝0垂直的直線方程是________．
【答案】x－y＋1＝0
【解析】由題意知圓心坐標是(－1,0)，所以所求直線方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0.

題型一　圓的一般方程的概念
1．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
【答案】B
【解析】由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圓，則5－5k＞0，解得k＜1.故實數(shù)k的取值范圍是(－∞，1)．故選B.
2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________．
【答案】(－2，－4)，5
【解析】由題可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圓，故圓心為(－2，－4)，半徑為5.當a＝2時，方程不表示圓．
【方法技巧】
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法：
(1)由圓的一般方程的定義令D2＋E2－4F＞0，成立則表示圓，否則不表示圓．
(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解，應(yīng)用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解．
題型二　求圓的一般方程
【例1】已知△ABC的三個頂點為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標和外接圓半徑．
【解析】方法一　設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圓上，
∴∴
∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐標為(1，－1)，外接圓半徑為5.
方法二　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A為直角的直角三角形，
∴外心是線段BC的中點，
坐標為(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
【方法技巧】
待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略
1．如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.
2．如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.
【變式訓練】求經(jīng)過點A(－2，－4)且與直線x＋3y－26＝0相切于點B(8,6)的圓的方程．
【解析】設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標為(－，－).
∵圓與x＋3y－26＝0相切于點B，∴·(－)＝－1，
即E－3D－36＝0①.
∵(－2，－4)，(8,6)在圓上，∴2D＋4E－F－20＝0②，
8D＋6E＋F＋100＝0③.
聯(lián)立①②③，解得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30，
故所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
題型三　與圓有關(guān)的軌跡方程問題
【例2】已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
(2)直角邊BC中點M的軌跡方程．
【分析】(1)設(shè)出C點坐標，利用垂直關(guān)系直接由斜率之積為－1列出方程，注意A、B、C三點不能共線；
(2)設(shè)出M點坐標，利用中點關(guān)系，建立M點與C點坐標之間的關(guān)系，求出軌跡方程．
【解析】(1)方法一　設(shè)頂點C(x，y)，因為AC⊥BC，且A，B，C三點不共線，所以x≠3，且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
方法二　同法一得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法三　設(shè)AB中點為D，由中點坐標公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|＝|AB|＝2，由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，以2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)．
設(shè)C(x，y)，則直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．
(2)設(shè)點M(x，y)，點C(x0，y0)，
因為B(3,0)，M是線段BC的中點，
由中點坐標公式得x＝(x≠3，且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點C在圓(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)上運動，將x0，y0代入該方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(x≠3，且x≠1)．
【方法技巧】
用代入法求軌跡方程的一般步驟

【變式訓練】點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1,1)是圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．
(1)求線段AP的中點M的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點N的軌跡方程．
【解析】(1)設(shè)線段AP的中點為M(x，y)，
由中點公式得點P坐標為P(2x－2,2y)．
∵點P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故線段AP的中點M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)設(shè)線段PQ的中點為N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
設(shè)O為坐標原點，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故線段PQ的中點N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
【易錯辨析】忽視圓的條件致錯
【例3】已知定點A(a,2)在圓x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，則a的取值范圍為________．
【答案】(2，)
【解析】由題意知解得即2＜a＜.
【易錯警示】
易錯原因
糾錯心得
忽視了二元二次方程表示圓的條件D2＋E2－4F＞0，從而得到錯誤答案：a＞2.
對于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F＞0的前提下才表示圓，故求解本題在判定出點與圓的位置關(guān)系后，要驗證所求參數(shù)的范圍是否滿足D2＋E2－4F＞0



1．（2020·上海市松江二中高二期中）將圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直線是(　　)
A．x＋y－1＝0　　　　 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
【答案】C
【解析】要使直線平分圓，只要直線經(jīng)過圓的圓心即可，圓心坐標為(1,2)．A、B、C、D四個選項中，只有C選項中的直線經(jīng)過圓心，故選C.
2．（多選）（2020·山東萊州一中高二單元測試）已知直線l與圓相交于兩點，弦的中點為，則實數(shù)的取值可為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】圓的標準方程為：，故.
又因為弦的中點為，
故點在圓內(nèi)，所以即.
綜上，.故選：AB.
3．（2020·安徽省明光中學高二開學考試）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲線關(guān)于直線y＝x對稱，則必有(　　)
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
【答案】A
【解析】由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲線是圓，其圓心在直線y＝x上，故D＝E.
4．（2020·鹽城市大豐區(qū)新豐中學高二期中）已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于(　　)
A．π B．4π
C．8π D．9π
【答案】B
【解析】設(shè)動點P的軌跡坐標為(x，y)，則由|PA|＝2|PB|，知 ＝2，化簡得(x－2)2＋y2＝4，得軌跡曲線為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，該圓面積為4π.
5.（2020·江蘇省蘇州中學園區(qū)校高二開學考試）當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
【答案】C
【解析】直線(a－1)x－y＋a＋1＝0可化為(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)．
∴圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
6．（2020·武漢市鋼城第四中學高二月考）設(shè)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線且|PA|＝1，則P點的軌跡方程是________．
【答案】 (x－1)2＋y2＝2
【解析】設(shè)P(x，y)是軌跡上任一點，
圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為B(1,0)，
則|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.
7．（2020·忻州市第二中學校高二月考）已知圓C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB為圓C的一條直徑，點A(0,1)，則點B的坐標為________．
【答案】(2，－3)
【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圓心C(1，－1)．設(shè)B(x0，y0)，又A(0,1)，由中點坐標公式得解得所以點B的坐標為(2，－3)．
8．（2020·永昌縣第四中學高二期末）圓C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝________.
【答案】3
【解析】圓C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圓心坐標為，即(1,2)，故圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝＝＝3.
9．（2020·福建省武平縣第一中學高二月考）當實數(shù)m的值為多少時，關(guān)于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的圖形是一個圓？
【解析】要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的圖形是一個圓，需滿足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0，
所以m＝－3或m＝1.
①當m＝1時，方程為x2＋y2＝－，不合題意，舍去；
②當m＝－3時，方程為14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝，表示以原點為圓心，以為半徑的圓．
綜上，m＝－3時滿足題意．
10．（2020·江蘇省響水中學高二期中）點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1,1)是圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．
(1)求線段AP的中點的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點的軌跡方程．
【解析】(1)設(shè)線段AP的中點為M(x，y)，
由中點公式得點P坐標為P(2x－2,2y)．
∵點P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故線段AP的中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)設(shè)線段PQ的中點為N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
設(shè)O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故線段PQ的中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.

11．（2020?郫縣校級月考）圓x2+y2﹣4x+2y+c＝0與直線x＝0交于A，B兩點，圓心P，若△PAB是正三角形，則c的值是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圓x2+y2﹣4x+2y+c＝0化成標準方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣c，
∴圓心為P（2，﹣1），半徑r＝，
∵圓P與直線x＝0交于A，B兩點，△PAB是正三角形，
∴P到x＝0的距離等于半徑的倍，
可得2＝?，解之得c＝﹣故選B．

12.如圖，將平面直角坐標系中的縱軸繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)30°后，構(gòu)成一個斜坐標平面xOy．在此斜坐標平面xOy中，點P（x，y）的坐標定義如下：過點P作兩坐標軸的平行線，分別交兩軸于M、N兩點，則M在Ox軸上表示的數(shù)為x，N在Oy軸上表示的數(shù)為y．那么以原點O為圓心的單位圓在此斜坐標系下的方程為（　　）

A．x2+y2+xy﹣1＝0 B．x2+y2+xy+1＝0
C．x2+y2﹣xy﹣1＝0 D．x2+y2﹣xy+1＝0
【答案】A
【解析】過P作PA⊥x，PB⊥y，
設(shè)P（x，y）在直角坐標系下的坐標為P′（x0，y0），
∵∠BON＝30°，ON＝y(tǒng)，∴OB＝y(tǒng)，BN＝，
即y0＝y(tǒng)，x0＝x+，
∵P′（x0，y0）在單位圓x2+y2＝1上，∴x02+y02＝1，
即（y）2+（x+）2＝1，
整理得x2+y2+xy﹣1＝0，故選：A．

13.（2020·重慶市育才中學高二月考）公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（）在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知直角坐標系中，，，且滿足，則點的運動軌跡方程為____________，點到直線的最小距離為__________.
【答案】
【解析】（1），
化簡為；
（2）點到直線的距離的最小值是圓心到直線的距離減半徑，
即.
故答案為：；.
14．（2020·江蘇啟東中學高二期中）已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為，求圓的一般方程．
【解析】圓心C，∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半徑長r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圓心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.
則
故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

15．（2020·全國高二單元測試）在平面直坐標系xOy中有曲線Γ：x2+y2＝1（y＞0）．

（1）如圖1，點B為曲線Γ上的動點，點A（2，0），求線段AB的中點的軌跡方程；
（2）如圖1，點B為曲線Γ上的動點，點A（2，0），求三角形OAB的面積最大值，并求出對應(yīng)B點的坐標；
（3）如圖2，點B為曲線Γ上的動點，點A（2，0），將△OAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAC，求線段OC長度的最大值．
【解析】（1）設(shè)點B的坐標為（x0，y0），則y0＞0，設(shè)線段AB的中點為點M（x，y），
由于點B在曲線Γ上，則 x02+y02＝1，①
因為點M為線段AB的中點，則2x＝x0+2，2y＝y(tǒng)0，得 x0＝2x﹣2，y0＝2y，
代入①式得（2x﹣2）2+y2＝1，化簡得（x﹣1）2+y2＝，其中y＞0；
（2）設(shè)B（x0，y0），0＜y0≤1，三角形OAB的面積為?2y0＝y(tǒng)0，可得面積的最大值為1，且B（0，1）；
（3）如圖所示，易知點D（2，2），

結(jié)合圖形可知，點C在右半圓D：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上運動，
問題轉(zhuǎn)化為，原點O到右半圓D上一點C的距離的最大值，
連接OD并延長交右半圓D于點C'，當點C與點C'重合時，|OC|取最大值，且|OC|max＝|OD|+1＝2+1．