2022屆海南省瓊海市嘉積中學高三下學期四校聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知全集，集合，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用韋恩圖表達的集合運算直接計算作答.【詳解】依題意，圖中的陰影部分表示的集合是，而全集，，，所以.故選：D2．復(fù)數(shù)滿足，則（為的共軛復(fù)數(shù)）（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算及共軛復(fù)數(shù)概念可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以故選：D3．平面向量滿足，且，則（       ）A． B．13 C． D．21【答案】A【分析】由得到，由向量數(shù)量積運算法則求出，從而求出.【詳解】由得：，所以，其中，故.故選：A4．垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱．分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭物盡其用．進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經(jīng)濟、生態(tài)等幾方面的效益．已知某種垃圾的分解率與時間（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中，為非零常數(shù)）．若經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為，經(jīng)過24個月，這種垃圾的分解率為，那么這種垃圾完全分解（分解率為）至少需要經(jīng)過（       ）（參考數(shù)據(jù)）A．120個月 B．64個月C．52個月 D．48個月【答案】C【分析】根據(jù)題意得：，解方程得，進而解方程即可得答案.【詳解】依題設(shè)有，解得，，故．令，得，故.故選：C．【點睛】本題以垃圾分類為載體，要求考生掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、指數(shù)和對數(shù)運算，考查運算求解能力，體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件待定系數(shù)求得，進而利用對數(shù)換底公式求解即可.5．二項式的展開式中，的系數(shù)等于（       ）A．60 B． C．240 D．【答案】A【分析】寫出二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于3，即可求得答案.【詳解】展開式通項為，令，解得：，所以的系數(shù)等于, 故選：A6．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象求出A，最小正周期，進而求出，代入特殊點坐標，求出，從而求出函數(shù)解析式.【詳解】由圖可知，，所以，解得.故.因為圖象過點，所以，即，因為，所以，故故選：C7．已知定義在上的函數(shù)滿足如下條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；②對于任意；③當時，；若過點的直線與函數(shù)的圖象在上恰有4個交點，則直線的斜率的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件可知是周期為2的函數(shù)，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以為偶函數(shù)，即，又因為對于任意，所以，從而，即是周期為2的函數(shù)，結(jié)合當時，，可作出在的圖像以及直線的圖像，如下圖所示：當時，易知，則直線的斜率，過點的直線與函數(shù)的圖象在上恰有4個交點，則只需直線斜率的取值范圍是.故選：D.8．長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學生每天玩手機超過1，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機不超過1的學生中任意調(diào)查一名學生，則他近視的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合全概率公式列式求解作答.【詳解】令“玩手機時間超過的學生”，“玩手機時間不超過的學生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：利用全概率公式求隨機事件B的概率問題，把事件B分拆成兩個互斥事件與的和，再利用條件概率公式計算是解決問題的關(guān)鍵. 二、多選題9．設(shè)分別是雙曲線的左右焦點，過作軸的垂線與雙曲線交于兩點，若為正三角形，則（       ）A． B．雙曲線的離心率C．雙曲線的焦距為 D．的面積為【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對稱性及定義求出正的邊長，逐項計算判斷作答.【詳解】在正三角形中，由雙曲線的對稱性知，，，由雙曲線定義有：，因此，，，，即半焦距，則，A正確；雙曲線的離心率，B正確；雙曲線的焦距，C不正確；的面積為，D正確.故選：ABD10．下列命題中，正確的有（       ）A．的第75百分位數(shù)為96.B．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為1.C．已知經(jīng)驗回歸直線的斜率的估計值是，樣本點的中心為，則經(jīng)驗回歸直線的方程是.D．已知隨機變量，且，則.【答案】AD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可求得第75百分位數(shù)為96，判斷A;根據(jù)方差的計算公式求得數(shù)據(jù)的方差，判斷B;根據(jù)樣本中心點一定在回歸直線上，可判斷C;根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可判斷D.【詳解】對于A，，從小到大排序后第8個數(shù)是96，A正確.對于B, ，則的平均數(shù)為 ，其方差為，B錯誤;對于C,將時代入，錯誤.對于D,，，，P，D正確.故選：AD11．如圖，棱長為1的正方體中為線段上的動點（不含端點）則下列結(jié)論正確的是（       ）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱雉的體積為定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【分析】對于A選項， 建立坐標系，利用坐標法求解；對于B選項，由正方體的性質(zhì)可知平面，進而可判斷；對于C選項，利用等體積法求解即可判斷；對于D選項，分別討論所成的截面圖形即可判斷.【詳解】解：對于A選項，如圖1，建立空間直角坐標系，則，，所以，所以，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，所以，即直線與所成的角滿足，又因為，故，故直線與所成的角不可能是，故A選項錯誤；對于B選項，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以平面平面，故B選項正確；對于C選項，三棱雉的體積，是定值，故C選項正確；對于D選項，設(shè)的中點為，當點在線段（不包含端點）上時，此時平面截正方體所得的截面為梯形，如圖2；當點在點時，此時平面截正方體所得的截面正三角形；當點在線段（不包含端點）上時，此時平面截正方體所得的截面為等腰三角形，該三角形不可能為直角三角形，故D選項錯誤； 故選：BC12．已知，下列不等式恒成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】A選項，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)研究其單調(diào)性得到證明；B選項，構(gòu)造，通過求導(dǎo)研究其單調(diào)性，進行求解；C選項，構(gòu)造，通過求導(dǎo)研究其單調(diào)性，進行求解；D選項，利用中間值比大小.【詳解】令在內(nèi)單調(diào)遞增.時，，即A選項正確；令在內(nèi)單調(diào)遞增，，即，B選項正確；令，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，與大小不確定，C錯誤；當時，，D錯誤故選：AB 三、填空題13．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A={（正，反）}，寫出事件A的一個互斥事件___________.（用集合表示，寫出一個即可）【答案】{（正，正）【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件的定義直接寫出事件A的一個互斥事件作答.【詳解】同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有可能的結(jié)果為：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），其中事件{（正，正），{（反，正），{（反，反）與事件A都不可能同時發(fā)生，所以事件A的一個互斥事件可以是：{（正，正）.故答案為：{（正，正）14．若，，則的值等于________.【答案】【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，再由三角恒等變換可得，代入即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角恒等變換的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知球為正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面邊長為1，且球的表面積是，則該正三棱柱的體積為___________.【答案】【分析】先求得底面三角形外接圓的半徑，再求得三棱柱外接球的半徑，從而求得三棱柱的高，求得底面面積，結(jié)合棱柱的體積公式求得答案.【詳解】由題意可知：正三棱柱的外接球心在上下底面三角形外心（中心）連線的中點處，三角形邊長為1，故三角形的外接圓半徑為；由球的表面積為，可得，故外接球半徑，所以正三柱的高為，而底面正三角形面積，故三棱柱的體積，故答案為：四、雙空題16．已知是拋物線上一點，且位于第一象限，點到拋物線的焦點的距離為6，則___________；若過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，則這兩條切線的斜率之積為___________.【答案】          0.5【分析】由拋物線焦半徑列出方程，求出，進而求出，設(shè)出切線方程，聯(lián)立拋物線方程后用根的判別式求解.【詳解】由拋物線定義，到拋物線的焦點距離為，得，代入方程得，設(shè)過點得切線為，聯(lián)立拋物線得：，由，得，由韋達定理得：故答案為：，. 五、解答題17．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角A的大?。?/span>(2)若的面積為，且，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，得到，求出角A；（2）由面積公式得到，結(jié)合余弦定理求出從而求出周長.【詳解】(1)由正弦定理得：，即，，又，故.(2)由（1）知，，，，故的周長為18．①公比為2，且是與的等差中項；②且為遞增數(shù)列，在①②中任選一個，補充在下列橫線上并解答.已知等比數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，若___________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，記數(shù)列的前項和，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）選條件①，根據(jù)給定條件，利用等差中項的定義列式求出首項即可作答.選條件②，根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公比并判斷作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用裂項相消法求和推理作答.【詳解】(1)選條件①：因為是與的等差中項，即，依題意，，解得，所以數(shù)列的通項公式是.選條件②：設(shè)公比為，依題意，，解得或，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，于是得，所以數(shù)列的通項公式是.(2)由（1）知，則，因此，，于是有，因，則有，即有，所以.19．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面是棱的中點.(1)證明：平面；(2)若，且為棱上一點，與平面所成角的大小為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，連接，即可得到，從而得證；（2）依題意可得，如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設(shè)，利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得到方程，解得，即可得解；【詳解】(1)證明：如圖，連接交于點，連接，因為是的中點，是的中點，所以又平面，平面，所以平面(2)解：因為，所以，所以，故以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，故取，設(shè)，則因為直線與平面所成角的大小為，所以，即解得，故此時.20．2020年10月16日，是第40個世界糧食日.中國工程院院士袁隆平海水稻團隊迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，通過推廣種植海水稻，實現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當?shù)鼐用袷杖?/span>.某企業(yè)引進一條先進食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值為，其質(zhì)量指標等級劃分如表：質(zhì)量指標值質(zhì)量指標等級良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟效益并及時調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進行試生產(chǎn)，現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了1000件，將其質(zhì)量指標值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：(1)若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；(2)若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與利潤（單位：元）的關(guān)系如表：質(zhì)量指標值利潤（元）試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤達到最大（參考數(shù)值：）.【答案】(1)；(2)能盈利，.【分析】（1）由給定的頻率分布直方圖，求出抽1件產(chǎn)品是廢品的概率，再利用對立事件的概率公式計算作答.（2）求出每件產(chǎn)品的平均利潤的函數(shù)式，再借助導(dǎo)數(shù)求出最大值作答.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得，抽1件產(chǎn)品為廢品的頻率為，依題意，抽1件產(chǎn)品為廢品的概率為，設(shè)事件的概率為，則，所以事件A發(fā)生的概率.(2)由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與利潤元）的關(guān)系如下表所示，質(zhì)量指標值0利潤元每件產(chǎn)品的平均利潤：，求導(dǎo)得，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，當時，取最大值，所以生產(chǎn)該產(chǎn)品能夠?qū)崿F(xiàn)盈利，當時，每件產(chǎn)品的平均利潤達到最大.21．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)3.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的不等式即可作答.（2）將不等式等價變形，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，再探討函數(shù)的最小值即可推理作答.【詳解】(1)的定義域為，求導(dǎo)得：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)，，令，，則，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且，則在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，使，即，則當時，，，有在上單調(diào)遞減，當時，，，在上單調(diào)遞增，于是得，因此，，所以整數(shù)的最大值為3.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.22．如圖所示，已知圓，點，點為圓上的動點，線段的垂直平分線和半徑相交于點.(1)當點在圓上運動時，求點的運動軌跡的方程；(2)判斷直線和曲線的位置關(guān)系，并給出證明.【答案】(1)(2)直線與橢圓相切，證明見解析.【分析】（1）有橢圓定義可知點點的運動軌跡為橢圓，即可求出方程；（2）若，或，顯然直線與橢圓相切，若，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消化簡得到關(guān)于的一元二次不等式，而判別式，即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)點在線段的垂直平分線上，.又點在半徑上，且圓的半徑為.故當點在圓上運動時，點滿足，即點的運動軌跡為以為焦點的橢圓，且，，因此點的運動軌跡的方程為.(2)直線與橢圓相切，證明如下：若，此時或的方程為或，它們與橢圓相切，若或，此時的方程為或，它們與橢圓C相切，若，設(shè)點與點的中點為，直線的斜率為，則其垂直平分線的斜率為，直線的方程為，即          ①，又點在圓上，          ②，將②代入①得直線：，由，得，判別式，          ③將②代入③解得，所以直線與橢圓相切，綜上所述：直線與橢圓相切.

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