2022屆海南省瓊海市嘉積中學高三下學期第一次月考數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)，是虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，則（       ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】由題知，再根據(jù)乘法法則求解即可.【詳解】解：因為復數(shù)，是虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，所以，所以.故選：C2．已知集合，，則（       ）A．{1} B．{0} C．｛0，1} D．｛1，2}【答案】A【分析】解方程求出集合再進行交集運算即可求解.【詳解】因為集合，所以.故選：A.3．離心率為2的雙曲線的漸近線方程是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率和雙曲線的性質可知，由此即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】設雙曲線的半焦距為，由題意，雙曲線的離心率為，則，即，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：D.4．某種心臟手術，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.6，我們用0，1，2，3表示手術不成功，4，5，6，7，8，9表示手術成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為（       ）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】A【分析】由題可知10組隨機數(shù)中表示“3例心臟手術全部成功”的有2組，即求.【詳解】解：由題意，10組隨機數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術全部成功”的有： 569, 989，故2個，故估計“3例心臟手術全部成功”的概率為.故選：A.5．已知長方體的兩個底面是邊長為的正方形，長方體的一條體對角線與底面成角，則此長方體的外接球表面積為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】記該長方體為，為該長方體的一條體對角線，根據(jù)題中條件，求出體對角線的長度，再由長方體的外接球直徑等于其體對角線的長，即可求出外接球直徑，得出外接球的表面積.【詳解】記該長方體為，為該長方體的一條體對角線，其與底面所成角為，因為在長方體中，側棱底面，則為與底面所成角，即，因為長方體的兩個底面是邊長為的正方形，所以，則，所以，又長方體的外接球直徑等于其體對角線的長，即該長方體外接球的直徑為，所以此長方體的外接球表面積為.故選：A.6．如圖分別是甲?乙?丙三種品牌手表日走時誤差分布的正態(tài)分布密度曲線，則下列說法不正確的是（       ）A．三種品牌的手表日走時誤差的均值相等B．C．三種品牌的手表日走時誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙D．三種品牌手表中甲品牌的質量最好【答案】B【分析】根據(jù)三種品牌手表誤差的正態(tài)分布曲線的圖象，結合正態(tài)分布曲線的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質和圖象可得，三種品牌的手表日走時的誤差對應的正態(tài)分布曲線的對稱軸都是軸，所以三種品牌的手表日走時誤差的均值相等，所以A正確；乙品牌對應點的正態(tài)分布曲線在區(qū)間之間與圍成的面積與丙品牌對應點的正態(tài)分布曲線在區(qū)間之間與圍成的面積相等，所以B不正確；由正態(tài)分布曲線的形狀，可得，所以三種品牌的手表日走時誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙，所以C正確；由，可得甲種品牌手表的最穩(wěn)定，質量最好，所以D正確.故選：B.7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足.當時，則（       ）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由題可得函數(shù)的周期為4，結合條件可得，進而可求，即得.【詳解】∵定義在上的奇函數(shù)滿足，∴，∴，即函數(shù)的周期為4，又當時，，，∴，即，∴當時，，∴，∴.故選：C.8．已知直線分別與直線和曲線相交于點，，則線段長度的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設兩交點分別為，，可得，，長度，考查函數(shù)求最值即可得解.【詳解】已知直線與直線，曲線分別交點，，設，，則有，變形可得，又由，設，，則當時，，函數(shù)在為減函數(shù)，當時，，函數(shù)在為增函數(shù)，則有最小值，且，則，即線段長度的最小值是.故選：A.二、多選題9．有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為正實數(shù)．下列說法正確的是（       ）A．樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差B．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C．若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為D．若為樣本甲的平均數(shù)，則樣本乙的平均數(shù)為【答案】CD【分析】根據(jù)甲的極差、平均數(shù)、方差、中位數(shù)確定乙的相關數(shù)據(jù)特征，結合各選項的描述判斷正誤.【詳解】若甲的極差為，平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為，則乙的極差為，平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為，A：當甲的極差為0時，樣本甲、樣本乙的極差相等，錯誤；B：當甲的方差為0時，樣本甲、樣本乙的方差相等，錯誤；C：由上分析知：若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為，正確；D：由上分析知：若為樣本甲的平均數(shù)，則樣本乙的平均數(shù)為，正確；故選：CD10．在正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且平面，如圖所示，下列說法正確的是（        ） A．點的軌跡是一條線段B．與是異面直線C．三棱錐的體積為定值D．與不可能平行【答案】ABC【分析】取的中點，證明平面平面即可依次判斷4個選項.【詳解】分別取的中點，連接，如圖，平面，平面，平面，同理可得平面，又是平面內的兩條相交直線，平面平面，而平面，平面，得點的軌跡是一條線段，故A正確；并由此可知，當與重合時，與平行，故D錯誤；平面平面，和平面相交，與是異面直線，故B正確，，則點到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，故C正確.故選：ABC.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（       ）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的增區(qū)間為C．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象【答案】AD【分析】根據(jù)二倍角的正余弦公式可得，結合正弦型函數(shù)的性質依次判斷選項即可得出結果.【詳解】由.對于選項A，函數(shù)的最小正周期為，故A選項正確；對于選項B，令，可得，函數(shù)的增區(qū)間為，故B選項錯誤；對于C選項，由，可知點不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C選項錯誤；對于選項D，由，故D選項正確.故選：AD12．“0，1數(shù)列”在通信技術中有著重要應用，它是指各項的值都等于0或1的數(shù)列．設A是一個有限“0，1數(shù)列”，表示把中每個0都變?yōu)?/span>1，0，每個1都變?yōu)?/span>0，1，所得到的新的“0，1數(shù)列”，例如，則．設是一個有限“0，1數(shù)列”，定義，、2、3、．則下列說法正確的是（            ）A．若，則B．對任意有限“0，1數(shù)列”，則中0和1的個數(shù)總相等C．中的0，0數(shù)對的個數(shù)總與中的0，1數(shù)對的個數(shù)相等D．若，則中0，0數(shù)對的個數(shù)為【答案】BCD【分析】A選項，由得到，故A錯誤；B選項，由的定義即可作出判斷；C選項，由定義可進行推導出中的每一個，數(shù)對與中的，數(shù)對的關系，作出判斷；D選項，在B，C選項的分析基礎上，得到與中的，數(shù)對的遞推關系，從而利用累加法求出通項公式，得到中0，0數(shù)對的個數(shù).【詳解】若，則，，A錯誤；由的定義知，B正確；因為中的每一個，數(shù)對只能由中的一個，數(shù)對變來，且中的每一個，數(shù)對必生成一個中的，數(shù)對，C正確；記中的，數(shù)對與，數(shù)對的個數(shù)分別為，，由C選項知．又因為中的每一個，數(shù)對只能由中的一個或者一個，數(shù)對變來，且由B選項知，中有個，從而，所以，故，D正確，故選：BCD．【點睛】定義新數(shù)列的題目，要能正確理解題干定義，并能從中抽取到有用信息，轉化為熟悉的問題，比如本題中要能得到與中的，數(shù)對的遞推關系，轉化為熟悉的累加法求解通項公式.三、填空題13．已知向量，，若，則實數(shù)的值為______.【答案】1【分析】根據(jù)向量坐標的線性運算求出，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：，因為，所以，解得.故答案為：1.14．設O為坐標原點，拋物線的焦點為F，P為拋物線上一點，若，則的面積為____________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義求出點坐標，即可求出面積.【詳解】由題可得，設，則由拋物線定義可得，解得，代入拋物線方程可得，所以.故答案為：.15．將3封不同的信隨機放入2個不同的信箱中，共有種不同的放法，則在的展開式中，含項的系數(shù)為______．【答案】70【分析】先求出，再由二項式定理展開求解【詳解】由題意得：在展開式中，，當即時，該項為故答案為：7016．對于函數(shù)，若在定義域內存在實數(shù)滿足，則稱為“倒戈函數(shù)”，設函數(shù)是定義在上的“倒戈函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是____________；【答案】【分析】根據(jù)題目中“倒戈函數(shù)”的定義寫出實數(shù)m關于的表達式，根據(jù)的取值范圍，可以求出的取值范圍【詳解】因為函數(shù)是定義在上的“倒戈函數(shù)”，所以，即，即，令，則，所以，得：，當或時，，得： 故答案為：四、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且，，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的都成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)．【分析】（1）由等差數(shù)列的前項和公式，等比數(shù)列的性質列方程組求得，然后可得通項公式；（2）用裂項相消法求得和，然后由求得的范圍后可得的范圍．【詳解】(1)設等差數(shù)列公差為，由題意，，解得，所以；(2)由（1），所以，易知是遞增的且，不等式對任意的都成立，則，所以．18．從以下條件中任選一個，補充在下面問題的橫線中，并作答.①；②；③且為銳角.在中，內角，，的對邊分別為，，，面積為，若， ______，.(1)求角；(2)求的周長.注：如果選多個條件分別作答，則按第一個解答記分.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）選條件①②③分別利用正弦定理或面積公式求出的三角函數(shù)值；（2）選條件①②③，分別利用正弦定理和余弦定理求出的值，即可求得周長；【詳解】(1)選條件①∵，∴，又，∴，故選條件②∵，由正弦定理得：，又，∴，即，又，故.選條件③∵且，∴，即，又為銳角，故.(2)根據(jù)（1）的結果可得：∵且，∴由正弦定理得：，①又由余弦定理有：，即，∴，②由①②解得：，故的周長.19．如圖，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中點. (1)求證：平面；(2)已知，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）連接交于，連接，易得，再根據(jù)線面平行的判定即可證結論.（2）為中點，結合已知可構建以為原點，，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，設，寫出對應點坐標，并求出直線的方向向量和平面的法向量，由空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)由題設，連接交于，易知：是的中點，連接，∵是的中點，∴，又面，面，∴面.(2)底面是菱形，，即，若為中點，則，∴，故在直四棱柱中有、、，∴可構建以為原點，，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，設，∴，則，若是面的一個法向量，則，令，則，∴，故直線與平面所成角的正弦值.20．某企業(yè)從生產(chǎn)的一批零件中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質量指標值m（其中：），得到頻率分布直方圖，并依據(jù)質量指標值劃分等級如表所示： 質量指標值m150≤m<350100≤m<150或350≤m≤400等級A級B級 (1)根據(jù)頻率分布直方圖估計產(chǎn)品的質量指標值的分位數(shù)；(2)從樣本的B級零件中隨機抽3件，記其中質量指標值在[350，400]的零件的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(3)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用混裝的方式將所有的零件按500個一箱包裝，已知一個A級零件的利潤是10元，一個B級零件的利潤是5元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計每箱零件的利潤.【答案】(1)287.5(2)分布列為：0123 數(shù)學期望為(3)每箱零件的利潤是4750元【分析】（1）先確定分位數(shù)所在的區(qū)間，再設出分位數(shù)，列出方程，求出答案；（2）先求出的B級零件個數(shù)和質量指標值在[350，400]的零件個數(shù)，求出可能取值，并求出相對應的概率，求出分布列和期望值；（3）設出每箱零件中A級零件有個，每箱零件的利潤為元，得到Y與X的函數(shù)關系，先得到，進而估計出每箱零件的利潤.【詳解】(1)前三組的頻率和為（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6前四組的頻率和為0.3+0.008×50=0.7>0.6設分位數(shù)為，，解得287.5∴產(chǎn)品的質量指標值的分位數(shù)為287.5(2)，所以樣本的B級零件個數(shù)為10個，質量指標值在[350，400]的零件為5個，故可能取的值為0，1，2，3，相應的概率為：，，，隨機變量的分布列為0123 所以期望.(3)設每箱零件中A級零件有個，每箱零件的利潤為元，則級零件有個，由題意知：，由（2）知：每箱零件中B級零件的概率為，A級零件的概率為1-0.1=0.9所以， 所以，所以(元).所以每箱零件的利潤是4750元21．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：的左，右頂點分別為A、B，點F是橢圓的右焦點，，．(1)求橢圓C的方程；(2)不過點A的直線l交橢圓C于M、N兩點，記直線l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線l過定點，并求出定點的坐標．【答案】(1)；(2)證明見解析，(－5,0).【分析】(1)寫出A、B、F的坐標，求出向量坐標，根據(jù)向量的關系即可列出方程組，求得a、b、c和橢圓的標準方程；(2)設直線l的方程為y＝kx＋m，，．聯(lián)立直線l與橢圓方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，求出，根據(jù)即可求得k和m的關系，即可證明直線過定點并求出該定點.【詳解】(1)由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．∵，∴解得從而b2＝a2－c2＝3．∴橢圓C的方程；(2)設直線l的方程為y＝kx＋m，，．∵直線l不過點A，因此－2k＋m≠0．由得．時，，，∴．由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程為y＝kx＋5k，恒過定點(－5,0).22．已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)，)．(1)求的單調區(qū)間和極值；(2)設，若對任意的，都有恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)﹒【分析】(1)求f(x)的導數(shù)，根據(jù)a的范圍分類討論的正負，從而判斷f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)參變分離，得，求導討論的最小值即可.【詳解】(1)，x＞0，當時，－a≥0，，∴在上單調遞增，無極值；當時，令，得，當時，；當時，；∴在上單調遞減，在單調遞增，極小值為，無極大值.綜上，當時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間，無極值；當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.(2)∵對任意的，不等式恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，∴在上為增函數(shù)，又∵，，∴，使得，即，當時，，可得，∴在上單調遞減；當時，，可得，∴在上單調遞增，∴，由，可得，令，則，又由，∴在上單調遞增，∴，可得，∴，即，∴，∴，綜上所述，滿足條件的取值范圍是.【點睛】本題關鍵是參變分離不等式，將問題轉化為求在時的最小值，轉化為通過導數(shù)研究F(x)的單調性和最小值.在求解過程中，需要對導數(shù)二次求導，從而判斷導數(shù)的零點，該零點為隱零點，故需采用隱零點的討論方法求解.在處理方程時，還需要采用同構思想構造函數(shù)，達到簡化的目的. 

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