2021-2022學(xué)年重慶市四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知平面α上的兩個(gè)向量＝(2，3，1)，＝(5，6，4)，則平面α的一個(gè)法向量為（       ）A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)【答案】C【分析】利用平面的法向量的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再通過(guò)空間向量的數(shù)量積進(jìn)行求解.【詳解】顯然與不平行，設(shè)平面α的法向量為＝(x，y，z)，則，∴，即，分別驗(yàn)證各選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合.故選：C.2．已知過(guò)A（m，1）、B(－1，m)兩點(diǎn)的直線(xiàn)與過(guò)P（1，2）、Q(－5，0)兩點(diǎn)的直線(xiàn)垂直，則m=（       ）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】D【分析】利用直線(xiàn)垂直的斜率關(guān)系即求.【詳解】由題可知，∴，解得.故選：D.3．直線(xiàn)的一個(gè)方向向量是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)直線(xiàn)的斜率先得到直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線(xiàn)，求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，又因?yàn)?/span>與共線(xiàn)，所以的一個(gè)方向向量可以是，故選：A.4．如圖中的直線(xiàn)l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（       ）A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2【答案】D【分析】根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角大小判斷k1，k2，k3的大小關(guān)系即可.【詳解】直線(xiàn)l1的傾斜角α1是鈍角，故k1<0，直線(xiàn)l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角且α2>α3，∴0<k3<k2，綜上，k1<k3<k2，故選：D．5．方程表示的曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可知，方程表示的圓的圓心在直線(xiàn)上，即可解出．【詳解】因?yàn)?/span>，所以該方程表示圓心為的圓，而該方程表示的曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以圓心在直線(xiàn)上，即有．故選：A．6．已知圓，則過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程為（       ）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】利用切線(xiàn)與半徑垂直求出切線(xiàn)的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出切線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，所以，所以切線(xiàn)的斜率，所以所求切線(xiàn)的方程為，即，故選：A7．MA，MB，MC是從點(diǎn)M出發(fā)的三條射線(xiàn)，每?jī)蓷l射線(xiàn)的夾角均為60°，那么直線(xiàn)MC與平面MAB所成角的余弦值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)上一點(diǎn)作平面，則就是直線(xiàn)與平面所成的角．能證明點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，通過(guò)解直角三角形、，求出直線(xiàn)與平面所成角的余弦值．【詳解】解：在上任取一點(diǎn)并作平面，則就是直線(xiàn)與平面所成的角．過(guò)點(diǎn)作，，因?yàn)?/span>平面，則，．，，，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，即．設(shè)，在直角中，，，則．在直角中，，．則．即直線(xiàn)與平面所成角的余弦值是．故選：A8．已知二次函數(shù)交軸于兩點(diǎn)(不重合)，交軸于點(diǎn). 圓過(guò)三點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（       ）① 圓心在直線(xiàn)上；② 的取值范圍是；③ 圓半徑的最小值為；④ 存在定點(diǎn)，使得圓恒過(guò)點(diǎn).A．①② B．③④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)得圓心橫坐標(biāo)為1判斷①，根據(jù)二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)可得的取值范圍判斷②, 假設(shè)圓方程為，用待定系數(shù)法求解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍求圓半徑的取值范圍判斷③，再根據(jù)圓的方程的判斷是否過(guò)定點(diǎn)判斷④.【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，所以圓心在直線(xiàn)上，故①正確；因?yàn)槎魏瘮?shù)與軸有兩點(diǎn)不同交點(diǎn)，所以，即，故②錯(cuò)誤；不妨設(shè)在的左邊，則， 設(shè)圓方程為 ，則 ，解得 ，因?yàn)?/span>，所以即，故③錯(cuò)誤；由上得圓方程為，即，恒過(guò)點(diǎn)，故④正確.故選D.二、多選題9．過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程是（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】分兩種情況求解，過(guò)原點(diǎn)時(shí)和不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可求.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)方程為；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)可得，即.故選：AC.【點(diǎn)睛】直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上截距相等時(shí)，有兩種情況：一是直線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；二是直線(xiàn)斜率為.10．如果，，那么直線(xiàn)經(jīng)過(guò)（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【分析】把直線(xiàn)方程的一般式化為斜截式，從而可判斷直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的象限.【詳解】因?yàn)?/span>，故，故直線(xiàn)的斜截式方程為：，因?yàn)?/span>，，故，故直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一象限、第三象限、第四象限，故選：ACD.11．已知圓的一般方程為，則下列說(shuō)法正確的是（       ）A．圓的圓心為 B．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為10C．圓的半徑為5 D．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為8【答案】AC【分析】將圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓心和半徑，即可判斷AC是否正確，再令和，算出弦長(zhǎng)可判斷BD是否正確.【詳解】由圓的一般方程為，則圓，故圓心為，半徑為，則AC正確；令，得或，弦長(zhǎng)為6，故D不正確；令，得或，弦長(zhǎng)為8，故B不正確.故選：AC12．已知梯形，，，，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)；將沿著所在的直線(xiàn)翻折成四面體，翻折的過(guò)程中下列選項(xiàng)中正確的是（       ）A．不論何時(shí)，與都不可能垂直B．存在某個(gè)位置，使得平面C．直線(xiàn)與平面所成角存在最大值D．四面體的外接球的表面積的最小值為【答案】AD【分析】利用反證法可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分別取、的中點(diǎn)、，連接、，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)四面體的外接球心為，求出四面體外接球半徑的最小值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在梯形中，，，，，且，則，因?yàn)?/span>，由余弦定理可得，，，若，且，平面，平面，，事實(shí)上，矛盾，故不論何時(shí)，與都不可能垂直，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若平面，平面，則，所以，，而，，即，則、、無(wú)法構(gòu)成三角形，不合乎題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，則，，，則，，為的中點(diǎn)，則，，故平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，，設(shè)三棱錐的球心為，由可得，解得，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，四面體的外接球的表面積的最小值為，D選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，易知平面的一個(gè)法向量為，，而，即當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值，進(jìn)而可知直線(xiàn)與平面所成角無(wú)最大值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題13．直線(xiàn)的傾斜角是______．【答案】【分析】根據(jù)直線(xiàn)方程可得斜率，進(jìn)而可得傾斜角【詳解】解：由已知，則直線(xiàn)斜率，又傾斜角的范圍為.故直線(xiàn)的傾斜角是.故答案為：.14．已知圓C的圓心為，面積為，則圓C的一般方程為________．【答案】【分析】由圓的面積公式得出半徑，即可寫(xiě)出圓C的一般方程．【詳解】因?yàn)閳AC的面積為，所以由，即，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓C的一般方程為．故答案為：．15．二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線(xiàn)段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.【答案】【分析】先設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)?/span>，，所以，，根據(jù)空間向量得，兩邊平方代入數(shù)值即可求出答案.【詳解】設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)?/span>，，所以，由題意得，所以所以，所以，所以，即平面與平面的夾角為.故答案為：或.16．已知在平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)（2，1）.與x正半軸y正半軸分別相交A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△周長(zhǎng)的最小值是_____________.【答案】10【分析】設(shè)出直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距,再設(shè),把三角形的三邊用表示，然后利用萬(wàn)能公式化簡(jiǎn)，換元后由基本不等式求最值.【詳解】設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(a,0)，B(0,b)，其中a>0，b>0，設(shè)，則，△周長(zhǎng)=，令，則△周長(zhǎng)=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，周長(zhǎng)取最小值10.故答案為：10四、解答題17．求滿(mǎn)足下列條件的方程.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行；(2)圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1);(2).【分析】（1）由兩直線(xiàn)平行求出所求直線(xiàn)的斜率，再由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得答案;（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入兩點(diǎn)即可求出.【詳解】(1)所求直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則斜率為,又過(guò)點(diǎn) ,由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式可得 ，即.(2)根據(jù)題意,設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為: ，由于點(diǎn)和點(diǎn)在圓C上，則有①，②，解①②可得，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.18．某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹(shù)上摘下個(gè)芒果，其質(zhì)量（單位：）分別在，，，，，中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)?中位數(shù)，四舍五入精確到整數(shù)位；（2）現(xiàn)按分層陏機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量在，中的芒果中隨機(jī)抽取個(gè)，再?gòu)倪@個(gè)中隨機(jī)抽取個(gè)，求這個(gè)芒果來(lái)自不同質(zhì)量區(qū)間的概率.【答案】（1）275，263；（2）.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解； （2）利用分層陏機(jī)抽樣在中的芒果有2個(gè)，記為A，B，在中的芒果有3個(gè)，記為a，b，c，利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知：該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是275，設(shè)其中位數(shù)是x，則，解得；（2）利用分層陏機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量在，中的芒果中隨機(jī)抽取個(gè)，在中的芒果有2個(gè)，記為A，B，中的芒果有3個(gè)，記為a，b，c，從這個(gè)中隨機(jī)抽取個(gè)有共10種，這個(gè)芒果來(lái)自不同質(zhì)量區(qū)間的有：，共6種，所以這個(gè)芒果來(lái)自不同質(zhì)量區(qū)間的概率是.19．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分別DD1、BD、BB1是中點(diǎn).(1)證明：EFCF；(2)求EF與CG所成角的余弦值；(3)求CE的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，根據(jù)向量的數(shù)量積為0證明垂直即可；（2）利用向量法求異面直線(xiàn)所成角的余弦值；（3）根據(jù)向量的模計(jì)算兩點(diǎn)間的距離即可.【詳解】(1)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，,因?yàn)?/span>,所以，即EFCF.(2)由（1）知，所以，所以與所成角的余弦值是；(3)由（1）知，所以，即CE的長(zhǎng)為.20．在 中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為 .已知 （1）       求的值（2）       若 ，求的面積.【答案】（1）   （2）【分析】（1）正弦定理得邊化角整理可得，化簡(jiǎn)即得答案．（2）由（1）知，結(jié)合題意由余弦定理可解得 ，，從而計(jì)算出面積．【詳解】（1）由正弦定理得，所以 即 即有，即 所以（2）由（1）知，即，又因?yàn)?/span> ，所以由余弦定理得：，即，解得,所以，又因?yàn)?/span>，所以 ，故的面積為=.【點(diǎn)睛】正弦定理與余弦定理是高考的重要考點(diǎn)，本題主要考查由正余弦定理解三角形，屬于一般題．21．如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為CD中點(diǎn)，分別將△PAD, △PBC沿 PA,PB所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合于點(diǎn)O，如圖2．在三棱錐P-OAB中，E為PB中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：PO⊥AB;(II）求直線(xiàn)BP與平面POA所成角的正弦值；(Ⅲ）求二面角P-AO-E的大?。?/span>【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）. （Ⅲ）. 【分析】第一問(wèn)利用幾何體的特征可以得出相應(yīng)的線(xiàn)線(xiàn)垂直，之后利用線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)得出所要的結(jié)果；第二問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得線(xiàn)面角的正弦值；第三問(wèn)利用面的法向量所成角的余弦值求得角的大小，最后確定出二面角的大小.【詳解】（Ⅰ）在正方形中，為中點(diǎn)，,，所以在三棱錐中，，.因?yàn)?/span>，所以平面. 因?yàn)?/span>平面,所以.  （Ⅱ）取AB中點(diǎn)F，連接OF，取AO中點(diǎn)M，連接BM.過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線(xiàn)OG. 因?yàn)?/span>PO⊥平面OAB，所以PO⊥OF，PO⊥OG. 因?yàn)?/span>OA＝OB，F為AB的中點(diǎn)，所以OF⊥AB. 所以OF⊥OG.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.A，B，P，M(，，0)．因?yàn)?/span>BO＝BA，M為OA的中點(diǎn)，所以BM⊥OA.因?yàn)?/span>PO⊥平面OAB，PO?平面POA，所以平面POA⊥平面OAB. 因?yàn)槠矫?/span>POA∩平面OAB＝OA，BM?平面OAB，所以BM⊥平面POA.因?yàn)?/span>＝(，－，0)．所以平面POA的法向量＝.＝(1，－，1)．設(shè)直線(xiàn)BP與平面POA所成角為α，則.所以直線(xiàn)BP與平面POA所成角的正弦值為. （Ⅲ）由(Ⅱ)知，，.設(shè)平面的法向量為，則有 即令，則，. 即.所以.由題知二面角P－AO－E為銳角，所以它的大小為.22．已知線(xiàn)段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的中點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求曲線(xiàn)的方程，并判斷曲線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；（2）過(guò)軸上一點(diǎn)任作一直線(xiàn)（不與軸重合）與曲線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，連接，，恒有，求點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1），相離；（2）.【解析】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用是線(xiàn)段的中點(diǎn)，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，可得線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡，即曲線(xiàn)的方程，再利用題設(shè)寫(xiě)出圓的方程，利用兩圓圓心距與半徑和比較大小確定曲線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；（2）先由圖像分析，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，要滿(mǎn)足，可知點(diǎn)必在圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分類(lèi)討論兩種情況：①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，顯然有；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程，由題意知，要，即，聯(lián)立方程得：，化簡(jiǎn)得，再利用韋達(dá)定理代入，化簡(jiǎn)整理得，從而得到點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，即，又點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，化簡(jiǎn)得所以曲線(xiàn)的方程為：又圓的圓心為，設(shè)圓方程：又圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入圓方程得，所以圓方程：兩圓的圓心距所以曲線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是相離.（2）如圖所示，若點(diǎn)在圓外，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交的兩點(diǎn)在點(diǎn)的同側(cè)，有，所以點(diǎn)必在圓內(nèi).設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分類(lèi)討論斜率存在和不存在兩種情況：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由圓的對(duì)稱(chēng)性知必有；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程得：，化簡(jiǎn)整理得   設(shè)，則，,由題意知，，則直線(xiàn)MB，SB的傾斜角互補(bǔ)，即則將代入上式可得所以，化簡(jiǎn)整理得即，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的軌跡方程，圓與圓的位置關(guān)系，圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與圓相交的題型，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于難題. 

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四川省四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份四川省四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共18頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年重慶市四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2022-2023學(xué)年重慶市四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含答案，共16頁(yè)。試卷主要包含了98≤≤10，1毫米的概率為，04B，8毫米等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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