2021-2022學(xué)年重慶市第八中學(xué)校高一（藝術(shù)班）下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列統(tǒng)計(jì)中的數(shù)字特征，不能反映樣本離散程度的是（       ）A．眾數(shù) B．極差 C．方差 D．標(biāo)準(zhǔn)差【答案】A【分析】利用眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義直接求解．【詳解】解：對于A，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫眾數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中占比例最多的那個(gè)數(shù)，它不能能反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度大小，故A錯(cuò)誤；對于B，極差表示一組數(shù)據(jù)最大值與最小值的差，極差越大數(shù)據(jù)越分散，極差越小數(shù)據(jù)越集中，故極差能反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度大小，故B正確；對于C，方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立，即方差能反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度大小，故C正確；對于D，標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，標(biāo)準(zhǔn)差也能反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度大小，故D正確．故選：A．2．已知向量，，，且，，則A．3 B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，得到求出，再由向量模的坐標(biāo)表示，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，，且，，所以，解得：，即，，所以，因此.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的模，熟記向量模的坐標(biāo)表示，向量垂直的坐標(biāo)表示，以及向量共線的坐標(biāo)表示即可，屬于?？碱}型.3．某商家2021年4月至7月的商品計(jì)劃銷售額和實(shí)際銷售額如圖表所示：則下列說法正確的是（    ）A．4月至7月的月平均計(jì)劃銷售額為22萬元B．4月至7月的月平均實(shí)際銷售額為27萬元C．4月至7月的月實(shí)際銷售額的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25D．這4個(gè)月內(nèi)，總的計(jì)劃銷售額沒有完成【答案】C【分析】A.B.利用平均數(shù)公式求解判斷；C.利用中位數(shù)的定義求解判斷；D.根據(jù)平均計(jì)劃銷售額和平均實(shí)際銷售額大小比較判斷.【詳解】A.4月至7月的月平均計(jì)劃銷售額為，故錯(cuò)誤；B.4月至7月的月平均實(shí)際銷售額為，故錯(cuò)誤；C.4月至7月的月實(shí)際銷售額的中位數(shù)為，故正確；D.因?yàn)?/span>，可知這4個(gè)月內(nèi)，總的計(jì)劃銷售額已經(jīng)完成，故錯(cuò)誤；故選：C.4．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的值是A．2 B． C．4 D．   【答案】C【詳解】分析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為連接則四邊形是平行四邊形，根據(jù)橢圓的定義得到=2a得解.詳解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為連接因?yàn)?/span>OA=OB,OF=O,所以四邊形是平行四邊形.所以,所以=|AF|+=2a=4,故答案為:C點(diǎn)睛：（1）本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的掌握能力. (2)解答本題的關(guān)鍵是能觀察到對稱性，得到四邊形是平行四邊形，這一點(diǎn)觀察到了，后面就迎刃而解了.5．如圖在梯形中，，，設(shè)，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題中，由向量的線性運(yùn)算，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，又，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查用基底表示向量，熟記平面向量基本定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.6．已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（    ）A． B．9 C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，∴，解得，∴，連接交直線于點(diǎn)，連接，如圖，在直線上任取點(diǎn)C，連接，顯然，直線垂直平分線段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號，∴，故 的最小值為.故選：C7．已知某個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長和高的比為，若側(cè)棱長為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)上底面邊長為，則下底面邊長為，高為，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理求出側(cè)面等腰梯形的高為，最后根據(jù)梯形的面積公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)上底面邊長為，則下底面邊長為，高為，上底面正方形對角線長為，下底面正方形對角線長為，又側(cè)棱長為，所以，解得，所以側(cè)面等腰梯形的高為，所以該棱臺(tái)的側(cè)面積為.故選：A.8．已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（    ）．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到若圓上存在點(diǎn)，使得，則以為直徑的圓與圓有交點(diǎn).從而得到圓與圓內(nèi)切時(shí)，取得最大值，再求最大值即可.【詳解】圓，圓心，半徑.若圓上存在點(diǎn)，使得，則以為直徑的圓與圓有交點(diǎn).如圖所示：當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，取得最大值..故選：D 二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，則（    ）A．B．z的虛部為2C．D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由，對應(yīng)點(diǎn)位于第三象限，所以，z的虛部為-2，．故選：AD10．設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【分析】結(jié)合空間中直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判定，也可以通過舉例說明命題錯(cuò)誤.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>，所以，A正確；對于B，因?yàn)?/span>時(shí)，也可以平行，所以B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?/span>，所以，C正確；對于D，因?yàn)?/span>時(shí)，直線也可能在平面內(nèi)，所以D錯(cuò)誤；故選：AC.11．已知直線和圓，則下列說法正確的是（    ）．A．直線l恒過定點(diǎn)B．直線l與圓O相交C．當(dāng)時(shí)，直線l被圓O截得的弦長為2D．直線l被圓O截得的最短弦的長度為【答案】BD【分析】把直線方程變形為，即可求出直線過的定點(diǎn)，從而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷選項(xiàng)B；把代入直線方程，根據(jù)直線過圓心，可求出弦長為直徑，從而判斷選項(xiàng)C；根據(jù)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，直線l被圓O截得的弦最短，從而可判斷選項(xiàng)D.【詳解】直線整理得，故直線過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；由于點(diǎn)在圓O內(nèi)，故直線l與圓O相交，B正確；當(dāng)時(shí)，直線過圓心O，故直線l被圓O截得的弦為直徑，其長為4，C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，直線l被圓O截得的弦最短，此時(shí)的弦長為，故D正確．故選：BD．12．在邊長為4的正方形中，如圖1所示，，，分別為，，的中點(diǎn)，分別沿，及所在直線把，和折起，使，，三點(diǎn)重合于點(diǎn)，得到三棱錐，如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．B．三棱錐的體積為4C．三棱錐外接球的表面積為D．過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直可判斷A；根據(jù)三棱錐的等體積法結(jié)合體積公式可判斷B；求得三棱錐外接球的半徑，即可求得外接球的表面積，判斷C；將三棱錐補(bǔ)成長方體，確定最小截面為過點(diǎn)M垂直于球心O與M連線的圓，求得截面圓半徑，即可得截面的面積，判斷D.【詳解】對于A：由題意知平面 ，所以 平面，平面，所以 ，故A正確；對于B：,因?yàn)?/span>M為的中點(diǎn)，所以,故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?/span>兩兩垂直，故三棱錐的外接球半徑和長寬高分別為的長方體的外接球半徑相等，故其外接球半徑,故外接球表面積，故C正確；對于D：將三棱錐補(bǔ)成如圖所示長方體，，設(shè)長方體外接球球心為O，即為三棱錐的外接球球心過點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面為圓，最小截面為過點(diǎn)M垂直于球心O與M連線的圓，,此時(shí)截面圓半徑為 此時(shí)截面圓的面積為 ，所以過點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的最小值為，故D正確,故選：ACD 三、填空題13．某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高一年級的學(xué)生數(shù)為18，則抽取的樣本容量為________.【答案】45【分析】計(jì)算出高一年級學(xué)生人數(shù)占全部年級人數(shù)的比例，根據(jù)其抽取的人數(shù)，可求得結(jié)果.【詳解】由題意得;高一年級學(xué)生人數(shù)占比為 ，故根據(jù)按年級用分層抽樣的方法抽取若干人，抽取的高一年級的學(xué)生數(shù)為18，則抽取的樣本容量為 ，故答案為：4514．已知非零向量滿足，則與的夾角為__________.【答案】【分析】直接把兩邊同時(shí)平方化簡即得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以.所以與的夾角為.故答案為：15．在一個(gè)由三個(gè)元件構(gòu)成的系統(tǒng)中，已知元件正常工作的概率分別是，，，且三個(gè)元件正常工作與否相互獨(dú)立，則這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為______．【答案】【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一個(gè)能正常工作的概率，繼而求得這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率.【詳解】由題意可知都不工作的概率為，所以至少有一個(gè)能正常工作的概率為，故這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為，故答案為：16．過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為_____．【答案】【詳解】試題分析：設(shè)A ，B ，則①，②，∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴，∵直線AB的方程是，∴，∵過點(diǎn)M（1，1）作斜率為的直線與橢圓C：（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，∴①②兩式相減可得，即．【解析】橢圓的簡單性質(zhì)  四、解答題17．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，．(1)求的大小；(2)求的面積【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的內(nèi)角和求得角，再由三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）在中，，，，由正弦定理得即，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以（2）因?yàn)?/span>，所以，所以的面積為.18．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)見解析(2)見解析 【分析】（1）連接，易得，根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，平面，則有，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證.【詳解】（1）證明：連接，則與互相平分，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2）證明：連接，在正方體中，，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.19．2022年4月16日，神舟13號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，這趟神奇之旅意義非凡，尤其是“天宮課堂”在廣大學(xué)生心中引起強(qiáng)烈反響，激起了他們對太空知識的濃厚興趣．某中學(xué)在進(jìn)行太空知識講座后，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行筆試，并記錄下他們的成績，將數(shù)據(jù)分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖(1)求這部分學(xué)生成績的中位數(shù)、平均數(shù)（同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)為了更好的了解學(xué)生對太空知識的掌握情況，學(xué)校決定在成績高的第 組中用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，進(jìn)行第二輪面試，最終從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加市太空知識競賽，求90分（包括90分）以上的同學(xué)恰有1人被抽到的概率．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖按照中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算方法即可求得答案；（2）確定第 組中的人數(shù)，從而求得5名學(xué)生中每組抽取的人數(shù)，列舉出抽取兩人的所有情況，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)中位數(shù)為x,平均數(shù)為,因?yàn)榍叭齻€(gè)矩形面積為，故，解得；.（2）人，人,即第五組有30人，第六組有20人,人，人，即需從第五組抽取3人，從第六組抽取兩人,設(shè)從抽取的5人中抽取2人，設(shè)五組的三人為 ，第六組的兩人為 ,則共有抽法為，共10種，其中恰有一人得分為90及以上的抽法有6種，故90分（包括90分）以上的同學(xué)恰有1人被抽到的概率．20．已知圓C的圓心C在直線上，且圓C過，兩點(diǎn)，(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作圓C的切線l，求切線l的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出線段的中垂線方程，和直線，即求得圓心坐標(biāo)，接著求得半徑，可得答案；（2）設(shè)切線的方程，利用圓心到切線的距離等于半徑，即可求得答案.【詳解】（1）∵，∴線段的中垂線斜率為.又線段的中點(diǎn)為，∴線段的中垂線方程為，即.由可得,即，∴半徑為，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題知，切線l的斜率存在，設(shè)切線l的斜率為k，則，即.∴，解得，,∴l的方程為或.21．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD ，故AB⊥PD ，從而AB⊥平面PAD．又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取.設(shè)是平面的法向量，則即可取.則，所以二面角的余弦值為.【名師點(diǎn)睛】高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.22．已知橢圓的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓S上，過的直線l交橢圓S于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓S標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知條件，列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案；（2）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理及求出的面積，然后利用均值不等式即可求出的面積的最大值.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓S的半焦距為，由題意解得∴橢圓S的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：由（1）得，設(shè)，代入，得，設(shè)，則，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，故的面積的最大值為. 

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