甘肅省武威市涼州區(qū)2021-2022學(xué)年八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題（本題共10小題，共30分）化簡的結(jié)果正確的是A.  B.  C.  D. 若二次根式有意義，則的取值范圍是A.  B.  C.  D. 下列二次根式中，與是同類二次根式的是A.  B.  C.  D. 將一個直角三角板和一把直尺按如圖所示的方式擺放，若，則的度數(shù)為A.
B.
C.
D. 下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，若一直角三角形兩邊長為和，則第三邊長為A.  B.  C. 或 D. 不確定如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是A. 當(dāng)時，它是菱形
B. 當(dāng)時，它是菱形
C. 當(dāng)時，它是矩形
D. 當(dāng)時，它是正方形
 如圖，在中，，是的垂直平分線，，，則A.
B.
C.
D. 是整數(shù)，正整數(shù)的最小值是A.  B.  C.  D. 下列給出的條件中，不能判斷四邊形是平行四邊形的是， B. ，
C. ， D. ，二．填空題（本題共9小題，共32分）如果，那么的值是______ ．______．______．如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動其中的一張，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形，這個四邊形是______ ．
  如果一個直角三角形斜邊上的中線與斜邊所成的銳角為，那么這個直角三角形的較小內(nèi)角的度數(shù)為______．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，正方形，，的面積分別是，，，則正方形的面積是_____．
  若直角三角形的兩直角邊長分別為和，則斜邊上的中線長為______．如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為，則的值為______ ．
如圖，在平行四邊形中，于，于，，且，則平行四邊形的周長等于______．三．解答題（本題共6小題，共58分）計(jì)算
；
；
．  如圖，在?中，點(diǎn)，分別在、上，且，連接，交于點(diǎn)求證：．
在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題，尺規(guī)作圖：過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線．
已知：如圖，直線及其外一點(diǎn)求作：的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)．
小云的作法如下：
在直線上任取一點(diǎn)，連接．
以為圓心，線段的長度為半徑作弧，交直線于點(diǎn)．
分別以、為圓心，線段的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)．
作直線直線即為所求如圖．
請證明：直線．
若，，求四邊形的周長．如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)，，求證：四邊形是菱形．


  如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)，是外角的平分線，，垂足為點(diǎn)．
求證：四邊形為矩形；
當(dāng)滿足什么條件時，四邊形為正方形？給出證明．
  如圖，在長方形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以秒的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒：
______用的代數(shù)式表示
當(dāng)為何值時，≌？
當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動，同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以 秒的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，是否存在這樣的值，使得與全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：原式
．
故選：．
根據(jù)計(jì)算即可．
本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：．
 2.【答案】【解析】解：由題意得：，
解得：，
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
 3.【答案】【解析】解：、，與不是同類二次根式；
B、與不是同類二次根式；
C、，與是同類二次根式；
D、，與不是同類二次根式；
故選：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．
本題考查的是同類二次根式的概念、二次根式的化簡，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．
 4.【答案】【解析】解：如圖，

兩直線平行，內(nèi)錯角相等，
對頂角相等，
，
．
故選：．
由兩直線平行，內(nèi)錯角相等及三角形內(nèi)角和作答．
本題考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．
 5.【答案】【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，故正確；
B、，符合勾股定理的逆定理，故錯誤；
C、，符合勾股定理的逆定理，故錯誤；
D、，符合勾股定理的逆定理，故錯誤．
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形．
本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
 6.【答案】【解析】解：當(dāng)是直角邊時，則第三邊；
當(dāng)是斜邊時，則第三邊．
綜上所述，第三邊的長是或．
故選：．
由于直角三角形的斜邊不能確定，故應(yīng)分是直角邊或是斜邊兩種情況進(jìn)行討論．
本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．
 7.【答案】【解析】【分析】
此題主要考查學(xué)生對正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此題涉及到的知識點(diǎn)較多，學(xué)生答題時容易出錯．
根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形．
【解答】
解： 、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形 是平行四邊形，當(dāng) 時，它是菱形，故 A 選項(xiàng)正確；
B 、 四邊形 是平行四邊形，設(shè) 和 交于 點(diǎn)， ， ， ， ，
， 四邊形 是菱形，故 B 選項(xiàng)正確；
C 、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故 C 選項(xiàng)正確；
D 、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng) 時，它是矩形，不是正方形，故 D 選項(xiàng)錯誤；
綜上所述，符合題意是 選項(xiàng)；
故選： ．   8.【答案】【解析】解：是的垂直平分線，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故選：．
根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半得出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)得出，那么．
本題考查了含度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出與的長度是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】【解析】解：是整數(shù)，
正整數(shù)的最小值為，
故選B
根據(jù)為整數(shù)，為正整數(shù)，確定出的最小值即可．
此題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．
 10.【答案】【解析】解：平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．能判斷，
平行四邊形判定定理，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；能判斷；
平行四邊形判定定理，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；能判定；
平行四邊形判定定理，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
平行四邊形判定定理，一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形；
故選：．
直接根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．
此題是平行四邊形的判定，解本題的關(guān)鍵是掌握和靈活運(yùn)用平行四邊形的個判斷方法．
 11.【答案】【解析】解：，
，
故答案為：．
根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．
本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 12.【答案】【解析】【分析】
本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡： 也考查了絕對值的意義．
根據(jù)簡 得到原式 ，然后根據(jù)絕對值的意義去絕對值即可．
【解答】
解：原式 ．
故答案為 ．   13.【答案】【解析】解：原式．
故答案為：．
先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案．
此題考查了二次根式的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．
 14.【答案】菱形【解析】解：過點(diǎn)分別作，邊上的高為，，
四邊形是用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起而組成的圖形，
，，
四邊形是平行四邊形對邊相互平行的四邊形是平行四邊形；
，，
兩紙條相同，紙條寬度相同，
，
，
四邊形是菱形，
故答案為：菱形．
首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的等積轉(zhuǎn)換可得鄰邊相等，則四邊形為菱形．所以根據(jù)菱形的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形．菱形的面積底高．
 15.【答案】【解析】解：如圖，是斜邊上的中線，
，
，
斜邊上的中線與斜邊所成的銳角為，即，
，
解得，
另一個銳角，
這個直角三角形的較小內(nèi)角的度數(shù)為．
故答案為：．
作出圖形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到等腰三角形，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．
本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．
 16.【答案】【解析】【分析】
此題主要考查了勾股定理．

根據(jù)勾股定理有 ， ， ，等量代換即可求正方形 的面積．

【解答】
解：根據(jù)勾股定理可知，

，
，
，
．
正方形 的面積
故答案為： ．   17.【答案】【解析】解：直角三角形兩直角邊長為和，
斜邊，
此直角三角形斜邊上的中線的長．
故答案為：．
根據(jù)勾股定理可求得直角三角形斜邊的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．
此題主要考查勾股定理及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理，熟記直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
 18.【答案】【解析】【分析】
本題考查了數(shù)軸和實(shí)數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，能求出 的長是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可得出答案．
【解答】
解：如圖：

由勾股定理得： ，
即 ，
，
故答案為 ．   19.【答案】【解析】解：，
，
，
，，
設(shè)，則，
在中，根據(jù)勾股定理可得：
，
同理：，
平行四邊形的周長．
故答案為：．
由于，于，，得的度數(shù)，在平行四邊形中，證得與是等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問題．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意證得與是等腰直角三角形是關(guān)鍵．
  20.【答案】解：原式

；
原式
；
原式
．【解析】根據(jù)二次根式的乘法法則和除法法則運(yùn)算；
先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘除法法則和乘法公式是解決問題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
在和中，
，
≌，
．【解析】利用證得≌后即可證得結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證得和全等，難度不大．
 22.【答案】證明：由作法得，，
四邊形為菱形，
，
即直線．
解：與相交于點(diǎn)，如圖，
四邊形為菱形，
，，
在中，，
四邊形的周長．【解析】利用基本作圖得到，，則可判斷四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到結(jié)論；
與相交于點(diǎn)，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，然后利用勾股定理計(jì)算出，從而得到四邊形的周長．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握種基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線也考查了菱形的判定與性質(zhì)．
 23.【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，
四邊形是菱形．【解析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及菱形判定方法，正確掌握相關(guān)四邊形判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
直接利用平行四邊形的判定方法得出四邊形是平行四邊形，再利用矩形的性質(zhì)以及菱形的判定方法得出答案．
 24.【答案】證明：在中，，，
，
是外角的平分線，
，
，
又，，
，
四邊形為矩形．
當(dāng)滿足時，四邊形是一個正方形．
理由：，
，
，
，
，
四邊形為矩形，
矩形是正方形．
當(dāng)時，四邊形是一個正方形．【解析】根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知，，所以求證，可以證明四邊形為矩形．
根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當(dāng)，由已知可得，，由的結(jié)論可知四邊形為矩形，所以證得，四邊形為正方形．
本題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．
 25.【答案】；
當(dāng)時，≌，
當(dāng)時，，
，
在和中，
，
≌；



當(dāng)，時，≌，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：；
當(dāng)，時，≌，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：．
綜上所述：當(dāng)或時與全等．【解析】解： 點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)，以 秒的速度沿 向點(diǎn) 運(yùn)動，點(diǎn) 的運(yùn)動時間為 秒時， ，
則 ；

見答案；

見答案．
【分析】
根據(jù) 點(diǎn)的運(yùn)動速度可得 的長，再利用 即可得到 的長；
當(dāng) 時， ≌ ，根據(jù)三角形全等的條件可得當(dāng) 時，再加上 ， 可證明 ≌ ；
此題主要分兩種情況 當(dāng) ， 時， ≌ ；當(dāng) ， 時， ≌ ，然后分別計(jì)算出 的值，進(jìn)而得到 的值．
此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形全等的條件，找準(zhǔn)對應(yīng)邊．   

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