?2022年天津中考數(shù)學(xué)終極押題密卷
一．選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）
1．（3分）（2021?東麗區(qū)二模）計(jì)算（﹣4）+6的值是（　?。?br /> A．﹣10 B．﹣2 C．10 D．2
2．（3分）（2021?河北區(qū)一模）計(jì)算2sin60°的值為（　　）
A．3 B．32 C．1 D．12
3．（3分）（2022?南開區(qū)一模）電影《長(zhǎng)津湖》講述了參加抗美援朝戰(zhàn)爭(zhēng)的志愿軍戰(zhàn)士在長(zhǎng)津湖戰(zhàn)役中不畏嚴(yán)寒、保家衛(wèi)國(guó)的故事，讓無數(shù)影迷感動(dòng)落淚．電影獲得了巨大成功，并以5770000000元取得中國(guó)電影票房冠軍．其中5770000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010
4．（3分）（2022?河西區(qū)一模）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形，下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（3分）（2021?東麗區(qū)二模）如圖，是由4個(gè)小立方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
6．（3分）（2021?河北區(qū)一模）估計(jì)23的值在（　　）
A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
7．（3分）（2022?南開區(qū)一模）計(jì)算2x-1x-1+x1-x的結(jié)果為（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．3xx-1 D．x+1x-1
8．（3分）（2022?河西區(qū)一模）如圖，四邊形OBCD是正方形，O，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，0），（0，6），點(diǎn)C在第一象限，則兩對(duì)角線OC，BD的交點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（6，3） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，6）
9．（3分）（2021?東麗區(qū)二模）方程組y=4x-3-x+y=6的解是（　　）
A．x=3y=9 B．x=3y=3 C．x=1y=1 D．x=95y=215
10．（3分）（2021?河北區(qū)一模）若兩個(gè)點(diǎn)（x1，﹣2），（x2，4）均在反比例函數(shù)y=k-4x的圖象上，且x1＞x2，則k的值可以是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
11．（3分）（2022?南開區(qū)一模）如圖，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB方向移動(dòng)，以AC為邊向右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則下列結(jié)論不一定成立的是（　　）

A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
12．（3分）（2022?河西區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0，c＞2）經(jīng)過點(diǎn)（3，0），其對(duì)稱軸是直線x＝1．有下列結(jié)論：
①abc＜0；
②關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝1有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
③a＜-23．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
13．（3分）（2021?東麗區(qū)二模）計(jì)算a6÷a3的結(jié)果等于　 　．
14．（3分）（2021?晉中模擬）計(jì)算：（23+3）（23-3）＝　 ?。?br /> 15．（3分）（2022?南開區(qū)一模）一個(gè)不透明的布袋里裝有除編號(hào)外都相同的3個(gè)球，編號(hào)分別為1、2、3．從中任意摸出一個(gè)球，記下編號(hào)后放回，攪勻，再任意摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率是 　 　．
16．（3分）（2015?天津）如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，則DE的長(zhǎng)為　 　．

17．（3分）（2020?河南）如圖，在邊長(zhǎng)為22的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為 　 ?。?br />
18．（3分）（2021?河北區(qū)一模）如圖1，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．
（Ⅰ）線段AB的長(zhǎng)為　 ?。?br /> （Ⅱ）點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+5PB最短時(shí)，請(qǐng)你在圖2所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出點(diǎn)P的位置（保留畫圖痕跡），并簡(jiǎn)要說明畫圖的方法（不要求證明）　 　．

三．解答題（共7小題，滿分66分）
19．（8分）（2022?南開區(qū)一模）解不等式組3-2(x-2)≤9①3x-24＜1②．
請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　 ?。?br /> （Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

（Ⅳ）原不等式組的解集為 　 ?。?br />
20．（8分）（2022?河西區(qū)一模）為了解某學(xué)校九年級(jí)學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間的情況，隨機(jī)抽查了該學(xué)校九年級(jí)部分同學(xué)，對(duì)其每周平均課外閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（Ⅰ）該校抽查九年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為 　 　，圖①中的m值為 　 　；
（Ⅱ）求統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)．
21．（10分）（2021?東麗區(qū)二模）已知，△DBC內(nèi)接于⊙O，DB＝DC．
（Ⅰ）如圖①，過點(diǎn)B作射線BE交⊙O于點(diǎn)A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度數(shù)．
（Ⅱ）如圖②，分別過點(diǎn)B、點(diǎn)D作⊙O的切線相交于點(diǎn)E，若∠E＝30°，求∠BDC的度數(shù)．

22．（10分）（2021?河北區(qū)一模）小明測(cè)量一古塔的高度．首先，小明在古塔前方C處測(cè)得塔頂端A點(diǎn)的仰角為22°，然后，小明往古塔方向前進(jìn)30米至E處，測(cè)得塔頂端A點(diǎn)的仰角為31°，已知，小明的眼睛距離地面的高度CD＝EF＝1.7m．已知點(diǎn) B、E、C在一條直線上，AB⊥BC，EF⊥BC，CD⊥BC，測(cè)量示意圖如圖所示，請(qǐng)幫小明求出該古塔的高度AB（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

23．（10分）（2022?南開區(qū)一模）甲、乙兩車從A地出發(fā)，沿同﹣路線駛向B地，甲車先出發(fā)勻速駛向B地．甲車出發(fā)40min后乙車出發(fā)，乙車勻速行駛一段時(shí)間后，在途中的貨站裝貨耗時(shí)半小時(shí)，由于滿載貨物，為了行駛安全，速度減少了50km/h，結(jié)果乙車與甲車同時(shí)到達(dá)B地，甲、乙兩車離A地的距離y（km）與乙車行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（Ⅰ）圖中a＝　 ?。?br /> （Ⅱ）①A、B兩地的距離為 　 　km；甲車行駛?cè)趟玫臅r(shí)間為 　 　h；甲的速度是 　 　km/h；點(diǎn)C的坐標(biāo)為 　 ??；
②直接寫出線段CF對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
③當(dāng)乙剛到達(dá)貨站時(shí)，甲距離B地還有 　 　km．
（Ⅲ）乙車出發(fā) 　 　小時(shí)在途中追上甲車；
（Ⅳ）乙出發(fā) 　 　小時(shí)，甲乙兩車相距50km．

24．（10分）（2022?河西區(qū)一模）如圖，將一張矩形紙片ABCD放入平面直角坐標(biāo)系中，A（0，0），B（8，0），D（0，6），P為AD邊上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折，折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′正好落在邊DC上時(shí)，求A'C的長(zhǎng)和A'的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，A′B與DC相交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅲ）如圖③，若沿BP翻折后PA'與CD相交于點(diǎn)E，恰好EA'＝ED，BA′與CD相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（直接寫出答案）


25．（10分）（2021?東麗區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）的對(duì)稱軸為x＝1，且過點(diǎn)（1，12），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直線AB：y＝﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)或x軸上，求△PAB面積的最小值；
（3）對(duì)于拋物線y＝ax2+bx，是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），當(dāng)m≤x≤n時(shí)，y的取值范圍是3m≤y≤3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說明理由．

2022年天津中考數(shù)學(xué)終極押題密卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）
1．（3分）（2021?東麗區(qū)二模）計(jì)算（﹣4）+6的值是（　?。?br /> A．﹣10 B．﹣2 C．10 D．2
【考點(diǎn)】有理數(shù)的加法．
【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．
【分析】絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．
【解答】解：（﹣4）+6＝2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加法，在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用哪一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”．
2．（3分）（2021?河北區(qū)一模）計(jì)算2sin60°的值為（　　）
A．3 B．32 C．1 D．12
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．
【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．
【解答】解：2sin60°＝2×32=3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
3．（3分）（2022?南開區(qū)一模）電影《長(zhǎng)津湖》講述了參加抗美援朝戰(zhàn)爭(zhēng)的志愿軍戰(zhàn)士在長(zhǎng)津湖戰(zhàn)役中不畏嚴(yán)寒、保家衛(wèi)國(guó)的故事，讓無數(shù)影迷感動(dòng)落淚．電影獲得了巨大成功，并以5770000000元取得中國(guó)電影票房冠軍．其中5770000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．57.7×108 B．5.77×108 C．5.77×109 D．5.77×1010
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：5770000000＝5.77×109．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．（3分）（2022?河西區(qū)一模）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形，下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：選項(xiàng)B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
5．（3分）（2021?東麗區(qū)二模）如圖，是由4個(gè)小立方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（　　）

A． B．
C． D．
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖．
【專題】投影與視圖；空間觀念．
【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
【解答】解：從上邊看，是一行三個(gè)小正方形．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，熟記三視圖的定義是解答本題的關(guān)鍵．
6．（3分）（2021?河北區(qū)一模）估計(jì)23的值在（　?。?br /> A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大?。?br /> 【分析】把23平方，然后確定平方在哪兩個(gè)整數(shù)的平方之間即可．
【解答】解：∵（23）2＝12，9＜12＜16，
∴3＜23＜4．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估計(jì)無理數(shù)的大小，常用的方法是根據(jù)平方，用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．
7．（3分）（2022?南開區(qū)一模）計(jì)算2x-1x-1+x1-x的結(jié)果為（　　）
A．1 B．﹣1 C．3xx-1 D．x+1x-1
【考點(diǎn)】分式的加減法．
【專題】計(jì)算題；分式；運(yùn)算能力．
【分析】根據(jù)分式加法的計(jì)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式=2x-1x-1-xx-1
=2x-1-xx-1
=x-1x-1
＝1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的加法，解題關(guān)鍵是熟知分式加法的計(jì)算法則．
8．（3分）（2022?河西區(qū)一模）如圖，四邊形OBCD是正方形，O，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，0），（0，6），點(diǎn)C在第一象限，則兩對(duì)角線OC，BD的交點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（6，3） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，6）
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【專題】平面直角坐標(biāo)系；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由題意懇求接B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)可求解．
【解答】解：∵四邊形OBCD是正方形，O，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，0），（0，6），點(diǎn)C在第一象限，
∴C（6，6），B（6，0），
∵正方形OBCD的兩對(duì)角線OC，BD的交點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，求解B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）（2021?東麗區(qū)二模）方程組y=4x-3-x+y=6的解是（　?。?br /> A．x=3y=9 B．x=3y=3 C．x=1y=1 D．x=95y=215
【考點(diǎn)】解二元一次方程組．
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】把①代入②得出﹣x+4x﹣3＝6，求出x，把x＝3代入①求出y即可．
【解答】解：y=4x-3①-x+y=6②，
把①代入②，得﹣x+4x﹣3＝6，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得y＝12﹣3＝9，
所以方程組的解是x=3y=9，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
10．（3分）（2021?河北區(qū)一模）若兩個(gè)點(diǎn)（x1，﹣2），（x2，4）均在反比例函數(shù)y=k-4x的圖象上，且x1＞x2，則k的值可以是（　?。?br /> A．2 B．4 C．5 D．6
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；推理能力．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k﹣4＜0，解得即可．
【解答】解：∵兩個(gè)點(diǎn)（x1，﹣2），（x2，4）中的﹣2＜4，x1＞x2，
∴反比例函數(shù)y=k-4x的圖象經(jīng)過第二、四象限，
∴k﹣4＜0，
解得k＜4．
觀察各選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．解題的關(guān)鍵是推知該反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限．
11．（3分）（2022?南開區(qū)一模）如圖，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB方向移動(dòng)，以AC為邊向右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則下列結(jié)論不一定成立的是（　　）

A．∠OBD＝120° B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
【專題】圖形的全等；推理能力．
【分析】由“SAS”可證△AOC≌△ABD，可得OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，可得∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，可證OA∥BD，由OB＝OC+BC可得出AB＝CB+BD，即可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，
∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，
∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，
∴OA∥BD，
故選項(xiàng)A，B，都不符合題意，
∵OC＝BD，
∴OB＝BC+OC＝BC+DB，
∵OB＝AB，
∴CB+BD＝AB，
故C選項(xiàng)不符合題意，
∵∠OAB＝∠CAD＞∠BAD，
∴AB不平分∠OAD，
故選項(xiàng)D符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明△AOC≌△ABD是本題的關(guān)鍵．
12．（3分）（2022?河西區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0，c＞2）經(jīng)過點(diǎn)（3，0），其對(duì)稱軸是直線x＝1．有下列結(jié)論：
①abc＜0；
②關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝1有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
③a＜-23．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)；根的判別式．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．
【分析】由拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1可得ab＜0，由c＞2可判斷①，將（3，0）代入解析式可得0＝9a+3b+c，將b＝﹣2a代入0＝9a+3b+c可得a與c的關(guān)系，可判斷③，由a＜0可得拋物線開口向下，可判斷②．
【解答】解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，即ab＜0，
∵c＞2，
∴abc＜0，①正確．
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，0），
∴0＝9a+3b+c，
將b＝﹣2a代入0＝9a+3b+c得3a+c＝0，
∴a=-c3，
∵c＞2，
∴a＜-23，拋物線開口向下，
∴拋物線與直線y＝1有2個(gè)交點(diǎn)，
∴方程ax2+bx+c＝1有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，②③正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
13．（3分）（2021?東麗區(qū)二模）計(jì)算a6÷a3的結(jié)果等于　a3　．
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法．
【分析】直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則求出答案．
【解答】解：a6÷a3＝a3．
故答案為：a3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
14．（3分）（2021?晉中模擬）計(jì)算：（23+3）（23-3）＝　3?。?br /> 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．
【專題】計(jì)算題．
【分析】利用平方差公式計(jì)算．
【解答】解：原式＝（23）2﹣32
＝12﹣9
＝3．
故答案為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
15．（3分）（2022?南開區(qū)一模）一個(gè)不透明的布袋里裝有除編號(hào)外都相同的3個(gè)球，編號(hào)分別為1、2、3．從中任意摸出一個(gè)球，記下編號(hào)后放回，攪勻，再任意摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率是 　59　．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法．
【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．
【分析】先列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：

1
2
3
1
1+1＝2
1+2＝3
1+3＝4
2
2+1＝3
2+2＝4
2+3＝5
3
3+1＝4
3+2＝5
3+3＝6
由表格可知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的有5種結(jié)果，
所以兩次摸出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率為59，
故答案為：59．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
16．（3分）（2015?天津）如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，則DE的長(zhǎng)為　3.6?。?br />
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．
【分析】根據(jù)平行線得出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵AD＝3，DB＝2，
∴AB＝AD+DB＝5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵AD＝3，AB＝5，BC＝6，
∴35=DE6，
∴DE＝3.6．
故答案為：3.6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是求出相似后得出比例式，題目比較典型，難度適中．
17．（3分）（2020?河南）如圖，在邊長(zhǎng)為22的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為 　1?。?br />
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．
【專題】矩形 菱形 正方形；圖形的相似；推理能力．
【分析】方法一：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝22，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝CF=2，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．
方法二：設(shè)DF，CE交于O，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到BE＝CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根據(jù)勾股定理得到CE＝DF=(22)2+(2)2=10，點(diǎn)G，H分別是EC，PC的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：方法一：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝22，
∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴AE＝CF=12×22=2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF=2，
∴AP＝AD﹣PD=2，
∴PE=AP2+AE2=(2)2+(2)2=2，
∵點(diǎn)G，H分別是EC，CP的中點(diǎn)，
∴GH=12EP＝1；
方法二：設(shè)DF，CE交于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF=(22)2+(2)2=10，
∵點(diǎn)G，H分別是EC，PC的中點(diǎn)，
∴CG＝FH=102，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴CFDF=OFCF，
∴CF2＝OF?DF，
∴OF=CF2DF=(2)210=105，
∴OH=31010，OD=4105，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴OFOC=OCOD，
∴OC2＝OF?OD，
∴OC=105×4105=2105，
∴OG＝CG﹣OC=102-2105=1010，
∴HG=OG2+OH2=110+910=1，
故答案為：1．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
18．（3分）（2021?河北區(qū)一模）如圖1，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．
（Ⅰ）線段AB的長(zhǎng)為　17　；
（Ⅱ）點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+5PB最短時(shí)，請(qǐng)你在圖2所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出點(diǎn)P的位置（保留畫圖痕跡），并簡(jiǎn)要說明畫圖的方法（不要求證明）　取格點(diǎn)M，連接CM，取CM的中點(diǎn)J，連接AJ，取格線的中點(diǎn)K，連接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，點(diǎn)P即為所求作　．

【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；勾股定理．
【專題】作圖題；幾何直觀．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）取格點(diǎn)M，連接CM，取CM的中點(diǎn)J，連接AJ，取格線的中點(diǎn)K，連接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，點(diǎn)P即為所求作．
【解答】解：（Ⅰ）線段AB的長(zhǎng)=42+12=17．
故答案為：17．

（Ⅱ）如圖，點(diǎn)P即為所求作．

步驟：取格點(diǎn)M，連接CM，取CM的中點(diǎn)J，連接AJ，取格線的中點(diǎn)K，連接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，點(diǎn)P即為所求作．
此時(shí)AP+5BP=5（AP5+PB）=5（PI+PB）=5BI．
故答案為：取格點(diǎn)M，連接CM，取CM的中點(diǎn)J，連接AJ，取格線的中點(diǎn)K，連接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，點(diǎn)P即為所求作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
三．解答題（共7小題，滿分66分）
19．（8分）（2022?南開區(qū)一模）解不等式組3-2(x-2)≤9①3x-24＜1②．
請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣1?。?br /> （Ⅱ）解不等式②，得 　x＜2?。?br /> （Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

（Ⅳ）原不等式組的解集為 　﹣1≤x＜2?。?br />
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．
【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x＜2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

（Ⅳ）原不等式組的解集為﹣1≤x＜2．
故答案為：x≥﹣1，x＜2，﹣1≤x＜2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
20．（8分）（2022?河西區(qū)一模）為了解某學(xué)校九年級(jí)學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間的情況，隨機(jī)抽查了該學(xué)校九年級(jí)部分同學(xué)，對(duì)其每周平均課外閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（Ⅰ）該校抽查九年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為 　40　，圖①中的m值為 　25??；
（Ⅱ）求統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)．
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．
【分析】（1）用平均課外閱讀時(shí)間為1小時(shí)除以它所占的比例即可求出總?cè)藬?shù)，再根據(jù)各比例之和為1即可求出m；
（2）根據(jù)表中信息可直接求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)均為3小時(shí)．
【解答】解：（1）該校抽查九年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為4÷10%＝40（人），
∵10%+20%+37.5%+m%+7.5%＝1，
∴m＝25；
故答案為：40，25．
（2）從圖表中可知，課外閱讀時(shí)間為3小時(shí)所占的比例最大，故眾數(shù)為3小時(shí)，
從圖②可知，中位數(shù)為3小時(shí)，
平均數(shù)為1×4+8×2+15×3+10×4+3×540=3（小時(shí)），
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)均為3小時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能結(jié)合兩圖找出關(guān)鍵信息．
21．（10分）（2021?東麗區(qū)二模）已知，△DBC內(nèi)接于⊙O，DB＝DC．
（Ⅰ）如圖①，過點(diǎn)B作射線BE交⊙O于點(diǎn)A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度數(shù)．
（Ⅱ）如圖②，分別過點(diǎn)B、點(diǎn)D作⊙O的切線相交于點(diǎn)E，若∠E＝30°，求∠BDC的度數(shù)．

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．
【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．
【分析】（Ⅰ）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠DAB+∠C＝180°，得出∠C＝∠EAD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DBC＝∠C＝75°，則可得出答案；
（Ⅱ）連接OB，OD，由切線的性質(zhì)得出∠OBE＝90°，∠ODE＝90°，求出∠BOD＝150°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DBC＝∠C＝75°，則可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＝75°，
∴∠C＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°；
（Ⅱ）連接OB，OD，

∵EB，ED與⊙O相切于點(diǎn)B，D，
∴OB⊥EB，OD⊥ED，
∴∠OBE＝90°，∠ODE＝90°，
∵∠OBE+∠E+∠ODE+∠BOD＝360°，∠E＝30°，
∴∠BOD＝150°，
∴∠C=12∠BOD＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；熟練掌握切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
22．（10分）（2021?河北區(qū)一模）小明測(cè)量一古塔的高度．首先，小明在古塔前方C處測(cè)得塔頂端A點(diǎn)的仰角為22°，然后，小明往古塔方向前進(jìn)30米至E處，測(cè)得塔頂端A點(diǎn)的仰角為31°，已知，小明的眼睛距離地面的高度CD＝EF＝1.7m．已知點(diǎn) B、E、C在一條直線上，AB⊥BC，EF⊥BC，CD⊥BC，測(cè)量示意圖如圖所示，請(qǐng)幫小明求出該古塔的高度AB（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．
【分析】過D作DM⊥AB于M，在Rt△AMD中，由銳角三角函數(shù)定義可得MF，再在Rt△AMF中，由銳角三角函數(shù)定義可得AM，進(jìn)而可得古塔的高度AB．
【解答】解：如圖，過D作DM⊥AB于M，

∵CD＝EF＝1.7m，
∴點(diǎn)F在DM上，MB＝1.7m，MF＝BE，F(xiàn)D＝CE＝30m，
在Rt△AMD中，tan∠ADM=AMDM=tan22°≈0.40，
即AMMF+30≈0.40，
∴MF=52AM﹣30，
在Rt△AMF中，tan∠AFM=AMMF=tan31°≈0.60，
∴MF≈53AM，
∴52AM﹣30=53AM，
∴AM＝36（m），
∴AB＝AM+MB＝36+1.7≈38（m），
答：古塔的高度AB約為38m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．
23．（10分）（2022?南開區(qū)一模）甲、乙兩車從A地出發(fā)，沿同﹣路線駛向B地，甲車先出發(fā)勻速駛向B地．甲車出發(fā)40min后乙車出發(fā)，乙車勻速行駛一段時(shí)間后，在途中的貨站裝貨耗時(shí)半小時(shí)，由于滿載貨物，為了行駛安全，速度減少了50km/h，結(jié)果乙車與甲車同時(shí)到達(dá)B地，甲、乙兩車離A地的距離y（km）與乙車行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（Ⅰ）圖中a＝　4.5??；
（Ⅱ）①A、B兩地的距離為 　460　km；甲車行駛?cè)趟玫臅r(shí)間為 　233　h；甲的速度是 　60　km/h；點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ?。?，40）??；
②直接寫出線段CF對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
③當(dāng)乙剛到達(dá)貨站時(shí)，甲距離B地還有 　180　km．
（Ⅲ）乙車出發(fā) 　43　小時(shí)在途中追上甲車；
（Ⅳ）乙出發(fā) 　3或92　小時(shí)，甲乙兩車相距50km．

【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意可知；
（Ⅱ）①結(jié)合圖象，根據(jù)“路程÷時(shí)間＝速度”先求出甲的速度，再求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可；
②根據(jù)甲的速度可知k的值，根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)可知b的值，從而確定函數(shù)表達(dá)式；
③當(dāng)x＝4時(shí)，用總路程﹣甲離開A地的距離即可；
（Ⅲ）先求出乙車的速度，設(shè)乙車出發(fā)xh在途中追上甲車，根據(jù)“乙車的路程﹣甲車的路程＝40”列方程求解即可；
（Ⅳ）設(shè)乙車出發(fā)x小時(shí)，甲乙兩車相距50km，分兩種情況：①乙到達(dá)貨站前；②乙車在貨站時(shí)，分別列方程求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵4+0.5＝4.5，
∴a＝4.5，
故答案為：4.5；
（Ⅱ）①根據(jù)圖象可知，A、B兩地的距離為460km；
∵7+4060=233，
∴甲車行駛?cè)趟脮r(shí)間為233h，
甲的速度是：460÷233=60（km/h），
60×4060=40，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)（0，40），
故答案為：460，233，60，（0，40）；
②根據(jù)甲的速度可知k＝60，
根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)可知b＝40，
∴線段CF對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：y＝60x+40；
③當(dāng)x＝4時(shí)，460﹣40﹣4×60＝180，
∴當(dāng)乙剛到達(dá)貨站時(shí)，甲距離B地還有180km，
故答案為：180；
（Ⅲ）設(shè)乙車出發(fā)時(shí)的速度是vkm/h，
根據(jù)題意，得4v+（7﹣4.5）（v﹣50）＝460，
解得v＝90，
設(shè)乙車出發(fā)xh在途中追上甲車，
根據(jù)題意，得90x﹣60x＝40，
解得x=43，
∴乙車出發(fā)43h在途中追上甲車；
故答案為：43．
（Ⅳ）設(shè)乙車出發(fā)x小時(shí)，甲乙兩車相距50km，
①乙到達(dá)貨站前，根據(jù)題意，得90x﹣60x﹣40＝50，
解得x＝3，
②乙在貨站時(shí)，90×4＝360，
360﹣60x﹣40＝50，
解得x=92，
∴乙車出發(fā)3小時(shí)或92小時(shí)，甲乙兩車相距50km，
故答案為：3或92．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解圖象上各點(diǎn)的含義，求出甲乙各自的速度以及根據(jù)等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．
24．（10分）（2022?河西區(qū)一模）如圖，將一張矩形紙片ABCD放入平面直角坐標(biāo)系中，A（0，0），B（8，0），D（0，6），P為AD邊上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折，折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′正好落在邊DC上時(shí)，求A'C的長(zhǎng)和A'的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，A′B與DC相交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅲ）如圖③，若沿BP翻折后PA'與CD相交于點(diǎn)E，恰好EA'＝ED，BA′與CD相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（直接寫出答案）


【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【專題】平面直角坐標(biāo)系；矩形 菱形 正方形；應(yīng)用意識(shí)．
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出A'B＝AB＝8，再利用勾股定理求出A'C，然后求出A'D確定A'點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）先證ED＝EB，再利用勾股定理求出DE，即可確定E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)ASA證△EFA'≌△PED（ASA），令PD＝y(tǒng)，則FB＝A'B﹣A'F＝8﹣y，F(xiàn)C＝DC﹣DE﹣EF＝CD﹣PA'＝8﹣（6﹣y）＝2+y，利用勾股定理求出y值，然后求出AP即可確定P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，由題知AD＝BC＝6，AB＝DC＝8，
由折疊知，A'B＝AB＝8，
在Rt△BCA'中，∠C＝90°，
由勾股定理得，A'B2＝A'C2+BC2，
∴A'C=82-62=27，
∴A'D＝8﹣27，
∴A'（8﹣27，6）；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC，
由折疊知，∠ABD＝∠A'BD，
∴∠BDC＝∠A'BD，
∴ED＝EB，
設(shè)DE＝x，則EB＝x，EC＝8﹣x，
在Rt△ECB中，EB2＝EC2+BC2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得x=254，
∴DE=254，
∴E（254，6）；
（3）∵∠A'EF＝∠DEP，EA'＝ED，∠A'＝∠PDE＝90°，
∴△EFA'≌△PED（ASA），
∴EF＝PE，A'F＝PD，
令PD＝y(tǒng)，則FB＝A'B﹣A'F＝8﹣y，F(xiàn)C＝DC﹣DE﹣EF＝CD﹣PA'＝8﹣（6﹣y）＝2+y，
∵BC＝6，
由勾股定理得，F(xiàn)B2＝FC2+BC2，
即（8﹣y）2＝（2+y）2+62，
解得y=65，
∴AP＝6-65=245，
∴P（0，245）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查四邊形的綜合題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）（2021?東麗區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）的對(duì)稱軸為x＝1，且過點(diǎn)（1，12），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直線AB：y＝﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)或x軸上，求△PAB面積的最小值；
（3）對(duì)于拋物線y＝ax2+bx，是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），當(dāng)m≤x≤n時(shí)，y的取值范圍是3m≤y≤3n，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；數(shù)據(jù)分析觀念．
【分析】（1）將函數(shù)的對(duì)稱軸和點(diǎn)（1，12）代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）△PAB面積S＝S△PHA+S△PHB=12×PH×OA，即可求解；
（3）根據(jù)函數(shù)的增減性確定當(dāng)x＝m時(shí)，y=-12m2+m＝3m；當(dāng)x＝n時(shí)，y=-12n2+n＝3n，即可求解．
【解答】解：（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1=-b2a，即b＝﹣2a，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2﹣2ax，
將（1，12）代入上式并解得：a=-12，
故拋物線的表達(dá)式為：y=-12x2+x；

（2）過點(diǎn)P作PH∥y軸交BA于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)P（x，-12x2+x），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），
△PAB面積S＝S△PHA+S△PHB=12×PH×OA=12（﹣x+3+12x2﹣x）×3=34x2﹣3x+92，
∵34＞0，故S有最小值，當(dāng)x＝2時(shí)，S的最小值為32；

（3）存在，理由：
y=-12x2+x=-12（x﹣1）2+12≤12，
∴如果存在m、n，則必須3n≤12，即n≤16，
當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝m時(shí)，y=-12m2+m＝3m，解得：m＝﹣4或0（舍去0）；
當(dāng)x＝n時(shí)，y=-12n2+n＝3n，解得：n＝﹣4或0（舍去﹣4）；
故m＝﹣4，n＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（3），綜合性強(qiáng)，難度較大．

考點(diǎn)卡片
1．有理數(shù)的加法
（1）有理數(shù)加法法則：
①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．
②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．
③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．
（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”．）
（2）相關(guān)運(yùn)算律
交換律：a+b＝b+a； 結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
2．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)
（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】
（2）規(guī)律方法總結(jié)：
①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．
②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．
3．估算無理數(shù)的大小
估算無理數(shù)大小要用逼近法．
思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．
4．同底數(shù)冪的除法
同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）
①底數(shù)a≠0，因?yàn)?不能做除數(shù)；
②單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是1，而不是0；
③應(yīng)用同底數(shù)冪除法的法則時(shí)，底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．
5．分式的加減法
（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．
（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．
說明：
①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．
②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡(jiǎn)單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來說的．
6．二次根式的混合運(yùn)算
（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．
②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．
（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．
（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
7．解二元一次方程組
（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①?gòu)姆匠探M中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．
（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用x=ay=b的形式表示．
8．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
9．在數(shù)軸上表示不等式的解集
用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：
一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；
二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．
【規(guī)律方法】不等式解集的驗(yàn)證方法
　　某不等式求得的解集為x＞a，其驗(yàn)證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內(nèi)取一個(gè)數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．
10．解一元一次不等式組
（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．
（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．
（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．
方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．
解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．
11．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)
1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．
2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．
3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．
12．一次函數(shù)的應(yīng)用
1、分段函數(shù)問題
分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．
2、函數(shù)的多變量問題
解決含有多變量問題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)．
3、概括整合
（1）簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．
（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．
13．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，
①圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k；
②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③在y＝k/x圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．
14．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br /> 當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。?br /> ②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)．（簡(jiǎn)稱：左同右異）
③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
15．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a，4ac-b24a）．
①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x=-b2a成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x=x1+x22．
16．拋物線與x軸的交點(diǎn)
求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．
17．二次函數(shù)綜合題
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題
解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題
從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．
18．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
19．等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質(zhì)
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．
20．等邊三角形的性質(zhì)
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．
（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
22．正方形的性質(zhì)
（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（2）正方形的性質(zhì)
①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；
②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．
④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．
23．四邊形綜合題
四邊形綜合題．
24．圓周角定理
（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．
25．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．
26．切線的性質(zhì)
（1）切線的性質(zhì)
①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．
（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：
如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．
（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用
由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．
27．作圖—復(fù)雜作圖
復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．
解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
28．軸對(duì)稱圖形
（1）軸對(duì)稱圖形的概念：
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．
（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．
（3）常見的軸對(duì)稱圖形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
29．相似三角形的判定與性質(zhì)
（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．
30．特殊角的三角函數(shù)值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．
31．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．
32．簡(jiǎn)單組合體的三視圖
（1）畫簡(jiǎn)單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖．
（2）視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一個(gè)平面上．
（3）畫物體的三視圖的口訣為：
主、俯：長(zhǎng)對(duì)正；
主、左：高平齊；
俯、左：寬相等．
33．條形統(tǒng)計(jì)圖
（1）定義：條形統(tǒng)計(jì)圖是用線段長(zhǎng)度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長(zhǎng)短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來．
（2）特點(diǎn)：從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較．
（3）制作條形圖的一般步驟：
①根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線．
②在水平射線上，適當(dāng)分配條形的位置，確定直條的寬度和間隔．
③在與水平射線垂直的射線上，根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長(zhǎng)度表示多少．
④按照數(shù)據(jù)大小，畫出長(zhǎng)短不同的直條，并注明數(shù)量．
34．加權(quán)平均數(shù)
（1）加權(quán)平均數(shù)：若n個(gè)數(shù)x1，x2，x3，…，xn的權(quán)分別是w1，w2，w3，…，wn，則x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做這n個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)．
（2）權(quán)的表現(xiàn)形式，一種是比的形式，如4：3：2，另一種是百分比的形式，如創(chuàng)新占50%，綜合知識(shí)占30%，語(yǔ)言占20%，權(quán)的大小直接影響結(jié)果．
（3）數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”，要突出某個(gè)數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權(quán)”，權(quán)的差異對(duì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生直接的影響．
（4）對(duì)于一組不同權(quán)重的數(shù)據(jù)，加權(quán)平均數(shù)更能反映數(shù)據(jù)的真實(shí)信息．
35．中位數(shù)
（1）中位數(shù)：
將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（2）中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點(diǎn)”，不易受極端值影響，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息．
（3）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的移動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其趨勢(shì)．
36．眾數(shù)
（1）一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
（2）求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，若幾個(gè)數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時(shí)眾數(shù)就是這多個(gè)數(shù)據(jù)．
（3）眾數(shù)不易受數(shù)據(jù)中極端值的影響．眾數(shù)也是數(shù)據(jù)的一種代表數(shù)，反映了一組數(shù)據(jù)的集中程度，眾數(shù)可作為描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量．．
37．列表法與樹狀圖法
（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．
（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．
（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．



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