回歸教材重難點05 解直角三角形的實際應用解三角形的實際應用是初中《直角三角形的邊角關系》章節(jié)的重點內(nèi)容，其中主要在解直角三角形中考查的頻率比較高。在中考數(shù)學中，主要是以實際應用的考法出現(xiàn)。通過熟練的掌握正弦、余弦、正切的意義，提升數(shù)學學科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。本考點是中考五星高頻考點，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度中等。1.銳角三角函數(shù)的定義：銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對邊比鄰邊. 2.特殊角的三角函數(shù)值的計算3.解直角三角形的應用（坡度坡腳問題）（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式．
（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為：i=h/l=tanα．
（3）在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．1．（2021·山東青島·中考真題）某校數(shù)學社團開展“探索生活中的數(shù)學”研學活動，準備測量一棟大樓的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡的長是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測得路燈項端處的俯角是．試求大樓的高度．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】96米【分析】延長AE交CD延長線于M，過A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長，即可求解．【詳解】延長交于點，過點作，交于點，由題意得，，∴四邊形為矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大樓的高度約為96米.【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
2．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）在一次課外活動中，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹的高度．如圖所示，測得斜坡的坡度，坡底的長為8米，在處測得樹頂部的仰角為，在處測得樹頂部的仰角為，求樹高．（結果保留根號）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于點F，設DF=x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長，在直角△DCE中表示出CE的長，然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值，進而求得CD的長．【詳解】解：作于點，設米，在中，，則（米，∵，且AE=8∴ ∴ 在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，則米．答：的高度是米．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
3．（2021·甘肅蘭州·中考真題）避雷針是用來保護建筑物、高大樹木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學要測量垂直于地面的大樓頂部避雷針的長度（，，三點共線），在水平地面點測得，，點與大樓底部點的距離，求避雷針的長度．（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】【分析】根據(jù)，然后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，即，解得：m，∵，∴，即，解得：m，∴m ．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，正確構造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問題是解答此題的關鍵．4．（2021·遼寧盤錦·中考真題）如圖，小華遙控無人機從點A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在點A測得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6米，且，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）【答案】38米
【分析】過作于，易證，得，則，再由銳角三角函數(shù)求出，然后在中，由銳角三角函數(shù)定義求出的長即可．【詳解】解：過作于，如圖所示：則，，，，由題意得：，，，，，，，，在中，，，在中，，，即無人機飛行的距離約是．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，相似三角形的應用等知識，正確作出輔助線構造直角三角形，證明是解題的關鍵．5．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】68.5m
【分析】過A作AE⊥CD，垂足為E．分別在Rt△AEC和Rt△AED中，由銳角三角函數(shù)定義求出CE和DE的長，然后相加即可．【詳解】解：如圖，過A作AE⊥CD，垂足為E．則AE＝50m，在Rt△AEC中，CE＝AE?tan28°≈50×0.53＝26.5（m），在Rt△AED中，DE＝AE?tan40°≈50×0.84＝42（m），∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．答：鐵塔CD的高度約為68.5m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題，求出CE、DE的長是解題的關鍵．6．（2022·重慶·模擬預測）如圖，重慶是著名的山城，為了測量坡度為的斜坡BC上的建筑物AB的高度，一個數(shù)學興趣小組站在山腳點C處沿水平方向走了6米到達點D，再沿斜坡DF行走26米到達點F，再向前走了20米到達一個比較好的測量點G，在G點測量得建筑物底部B的仰角為26.5°，建筑物頂部A的仰角為30°，已知斜坡DF的坡度為1：2.4，測量員的身高忽略不計，A，B，C，D，E，F，G，H在同一平面內(nèi)，AB⊥CD于點H，DE⊥FG于點E．(1)求點G到山腳C的水平距離；(2)求建筑物AB的高度．（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，）
【答案】(1)點G到山腳C的水平距離是50米；(2)建筑物AB的高度約是8.5米【分析】(1)連接BG，分別過點H、C作HN⊥EG于點N，CM⊥EG于點M，根據(jù)坡比可得DE和EF的長度，再由MG=ME+EF+FG來求解；(2)根據(jù)坡度比，由的正切得出BH的長度，再根據(jù)的正切可得到AB的值．【詳解】(1)解：如圖，連接BG，分別過點H、C作HN⊥EG于點N，CM⊥EG于點M，由題意可得，CD＝6米，DF＝26米，FG＝20米．∵HN⊥EG，CM⊥EG，斜坡DF的坡度為1：2.4，DF＝26米，∴設DE＝x米，則EF＝2.4米，由勾股定理可得x2+（2.4x）2＝262，解得x＝10，∴DE＝10米，EF＝24米．∵ME＝CD＝6米，∴MG＝ME+EF+FG＝6+24+20＝50（米），答：點G到山腳C的水平距離是50米；(2)解：∵HN⊥EG，CM⊥EG，∴HN＝CM＝DE＝10米，設BH＝x．∵斜坡BC的坡度為，∴HC＝x米，∴NG＝MN+MG＝HC+MG＝x+50，HN＝x+10．∵∠BGN＝26.5°，∴tan26.55°＝＝0.5，解得x＝45，即BN＝45+10＝55（米），NG＝60+50＝110（米）．∵∠AGN＝30°，∴tan30°＝，解得AB≈8.5，
答：建筑物AB的高度約是8.5米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，坡度坡角問題．解題的關鍵是添加輔助線構成直角三角形．7．（2021·河南·模擬預測）2021年4月4日，中國海軍組織遼寧艦航母編隊在臺灣周邊海域進行訓練．包括遼寧艦在內(nèi)的6艘解放軍軍艦沿沖繩本島與宮古島之間海域南下，向太平洋駛去，并在該區(qū)域設立禁飛禁航區(qū)，如圖，該區(qū)域為不規(guī)則四邊形，點A在點B正西200km處，點D在點A正北方，且在點B的西偏北60°方向上，點C在點B的北偏東24°方向且距點B為300km，則這片禁飛禁航區(qū)的面積是多少？（參考數(shù)據(jù)；sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，1.732）【答案】這片禁飛禁航區(qū)的面積約為83180km2【分析】觀察圖形，禁航區(qū)的面積等于△ABD與△CDB面積之和．如圖，過C點作CE⊥BD于E，利用銳角三角函數(shù)分別解Rt△ABD和Rt△BCE，根據(jù)得到的邊長求出三角形面積相加即可．【詳解】解：如圖，過C點作CE⊥BD于E，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝200km，∴∠BDA＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AD＝200（km），BD＝2AB＝400（km），∴S△ABDAB?AD200×20020000×1.732＝34640（km2），在Rt△BCE中，∠CBE＝24°+30°＝54°，∴CE＝CB?sin54°≈300×0.809＝242.7（km），∴S△CDBBD?CE400×242.7＝48540（km2），∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD≈34640+48540＝83180（km2），即這片禁飛禁航區(qū)的面積約為83180km2．
【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)解直角三角形、方位角、求不規(guī)則圖形面積等知識點，根據(jù)題目中描述的方位角得到圖中三角形相應角的度數(shù)是解題的基礎，熟練掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法是解題的關鍵．8．（2021·海南·海口市第十四中學模擬預測）如圖，2020年5月5日，我國載人空間站工程研制的長征五號運載火箭在海南文昌首飛成功．運載火箭從地面O處發(fā)射，當火箭到達A時，地面D處的雷達站測得AD＝5000米，仰角為30°，3秒后，火箭直線上升到點B處，此時地面C處的雷達站測得B處的仰角為45°．若C、D兩處相距460米．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求火箭從A到B處的平均速度（結果精確到米/秒）；(2)求地面C處的雷達站測得BC的距離．【答案】(1)457米/秒；(2)（2500460）米【分析】（1）在兩個直角三角形中求出AO、BO，進而計算出AB，最后求出速度即可；（2）根據(jù)線段的和差和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】(1)設AB＝x米，在Rt△AOD中，sin30°，∴OD5000＝2500（米），在Rt△OBC中，tan45°1，即x+2500＝2500460，解得：x≈1370，∴火箭從A到B處的平均速度為457米/秒，答：火箭從A到B處的平均速度為457米/秒；(2)由（1）知，OD＝2500（米），∵CD＝460米，∴OC＝OD﹣CD＝（2500460）米，∵∠OCB＝45°，∴OB＝OC＝（2500460）米，
故地面C處的雷達站測得BC的距離為（2500460）=（2500460）米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，解決問題的關鍵是抽象出直角三角形，利用直角三角形解決問題．9．（2021·山東青島·一模）如圖，為固定電線桿CM，其自身需植入地下1.5米，且由兩根互相垂直的拉線AC與BC協(xié)助固定．A、D、B在同一直線上．(1)若電線桿地面上部分CD高為h米，∠CAB＝α，請用h與α三角函數(shù)的代數(shù)式表示BC的長度為 　     　；(2)若∠CAB＝25°，電線桿CM為11.5米，求兩處固定點A、B之間的距離是多少？（結果精確到1米）（sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈）【答案】(1)；(2)27米【分析】（1）證明∠BCD＝∠CAB，再根據(jù)求解即可；（2）分別求出AD，DB，可得結論．【詳解】(1)解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAB＝α，在Rt△BCD中，，∴．故答案為：．(2)解：∵CM＝11.5米，DM＝1.5米，∴CD＝10（米），在Rt△ADC中，，∴（米），在Rt△CDB中，，∴（米），∴（米）．故兩處固定點A、B之間的距離是27米．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，靈活運用解直角三角形的方法是解決本題的關鍵．10．（2021·山東東營·二模）小明與小華在一次數(shù)學實踐活動中，想要測量他們家對面商業(yè)大廈的高MN，如圖所示，小明爬到居民樓窗臺B處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)為60°，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)．于是，他倆又上了幾層樓來到窗臺C處測得大廈底部M
的俯角∠2的度數(shù)為30°，已知A，B，C三點共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝18m，BC＝6m，試求商業(yè)大廈的高MN．【答案】90m【分析】過點作于點，過點作于點，可得四邊形和四邊形均為矩形，，再通過解直角三角形，即可求得．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，，，，四邊形和四邊形均為矩形，，，在中，，，，在中，，，由矩形性質(zhì)可知：，
． 答：商業(yè)大廈的高為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．11．（2021·江蘇·沭陽縣懷文中學二模）脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋頂A的仰角為35°，此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達點D時，又測得屋檐E點的仰角為60°，房屋的頂層橫梁EF＝12m，EFCB，AB交EF于點G（點C，D，B在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）(1)求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；(2)求房屋的高AB（結果精確到1m）．【答案】(1)4.2m；(2)14m【分析】（1）根據(jù)題意得到AG⊥EF，EG=EF，∠AEG=∠ACB=35°，解直角三角形即可得到結論；（2）過E作EH⊥CB于H，設EH=x，解直角三角形即可得到結論．【詳解】（1）∵房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG=EF，∠AEG=∠ACB=35°，在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°，∵tan∠AEG=tan35°= ，EG=6，∴AG=6×0.7=4.2（米）；答：屋頂?shù)綑M梁的距離AG約為4.2米；(2)過E作EH⊥CB于H，
設EH=x，在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°，∵tan∠EDH= ，∴ ，在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°，∵ ，∴ ，∵CH-DH=CD=8米，∴，解得：x≈9.52（米），∴AB=AG+BG=9.52+4.2=13.72≈14（米），答：房屋的高AB約為14米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，軸對稱圖形，解題的關鍵是借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形． 
 

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