2021-2022學(xué)年江蘇省鹽城中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為（          ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，即可求出z的虛部.【詳解】，其虛部為.故選：A．2．在△ABC中，，，，，則（          ）A． B．5 C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦的倍角公式，求得，結(jié)合余弦定理列出方程，即可求解.【詳解】由，可得，又由，，，根據(jù)余弦定理得，即，解得或（舍去）．故選：B．3．如圖所示，在中，，，若，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法、減法、數(shù)乘，利用基底表示所求向量即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：B4．若，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，，則“”是“”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】從充分性及必要性兩個(gè)角度分析.【詳解】當(dāng)，時(shí)，由線面平行性質(zhì)定理可在平面內(nèi)找到一條直線與平行，則有，進(jìn)而可推出，即在前提下，“”是“”的充分條件；當(dāng)，時(shí)，有或兩種情況，即在前提下，“”不是“”的必要條件.綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．設(shè)，，，則（          ）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】B【分析】利用三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由題意得，，，因?yàn)檎液瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以.故選：B.6．在矩形ABCD中，已知，，，，則（          ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算,求出的長度,然后用基地向量表示,即可求解.【詳解】，，，所以，，又.故選:A7．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，當(dāng)角A最大時(shí)，則（          ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合余弦定理可得時(shí),角A最大，即有 ，由此化簡，結(jié)合同角的三角函數(shù)的關(guān)系式，求得答案.【詳解】由題意得，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí),角A最大,此時(shí)，故，而,所以，故選：B．8．在四邊形ABCD中，，，，，則四邊形ABCD面積的最大值為（          ）A． B． C． D．【答案】B【分析】在三角形，由余弦定理求出，又因?yàn)樵谌切?/span>中，，，所以三角形為等邊三角形，所以=，代入化簡即可求出四邊形ABCD面積的最大值.【詳解】在三角形，由余弦定理得：，所以，在三角形中，，，所以三角形為等邊三角形，，，.故選：B． 二、多選題9．已知向量，，則（          ）A． B．向量在向量上的投影向量是C． D．向量在向量上的投影向量是【答案】BC【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A；由投影向量的計(jì)算公式可判斷B、D；由模長的計(jì)算公式可判斷C.【詳解】，，A錯(cuò)誤；，，故，B正確；，所以，C正確；，故，所以向量在向量上的投影向量是，D錯(cuò)誤.故選：BC．10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則（          ）A．若A＝30°，b＝4，a＝3，則△ABC有兩解B．若，則△ABC為直角三角形C．若，則△ABC為銳角三角形D．若a2－b2＝bc，則A＝2B【答案】ABD【分析】對(duì)A，由正弦定理可判斷；對(duì)B，化簡可得可判斷；對(duì)C，由正弦定理化角為邊，再由余弦定理可判斷；對(duì)D，由正弦定理結(jié)合余弦定理可判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?/span>，所以△ABC有兩解，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?/span>，所以，，，故，故B正確；對(duì)C，由可得，則，所以，故C為鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，所以，所以，所以，，，所以，即，故D正確.故選：ABD．11．如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)P是內(nèi)部（不包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若，則線段AP長度的可能取值為（          ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用線面垂直得線線垂直，從而確定點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)平面幾何的知識(shí)求距離的最大、最小值，判斷選項(xiàng)即可.【詳解】取中點(diǎn)O，在正方體中，，是的中點(diǎn)，，同理，面，又點(diǎn)P是內(nèi)部（不包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，一定在線段上運(yùn)動(dòng)在中，，，故，，故A到OC的距離，故，故選BC．12．已知對(duì)任意角，均有公式．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足，面積滿足．記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，則下列等式或不等式一定成立的是（          ）A．  B．C．  D．【答案】ACD【分析】將根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系化簡得，進(jìn)而根據(jù)任意角，均有公式，得到.再聯(lián)合正弦定理和面積公式，即可求解.【詳解】,且,故,因此可得: ,對(duì)任意角，均有公式,,所以，D正確；（R為△ABC外接圓半徑），由故，從而，C正確；，B錯(cuò)誤；，A正確.故選:ACD． 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)，則的最大值是___________.【答案】3【分析】由已知中，且，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，可得當(dāng)與反向時(shí)，取最大值，由此求出滿足條件的值，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，易得當(dāng)與反向時(shí)，取最大值又，即當(dāng)時(shí)，滿足條件此時(shí)故答案為：．14．國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，直角三角形中較小的銳角為，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得大、小正方形的邊長分別為和，得到，其中，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，進(jìn)而求得，利用，即可求解．【詳解】由小正方形的面積為，大正方形的面積為，可得大、小正方形的邊長分別為和，又由為直角三角形中較小的銳角為，可得，其中，即，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以．故答案為：.15．如圖，在圓錐SO中，AB為底面圓的直徑，SO＝AO＝3，P為SB上的點(diǎn)，，D為底面圓周上的點(diǎn)，，則異面直線SA與PD所成角的余弦值為_________．【答案】【分析】在BA上取點(diǎn)，使得，則即為直線SA與PD所成角，即可求出.【詳解】在BA上取點(diǎn)，使得，連接，此時(shí)，所以即為直線SA與PD所成角．在中，，，，由余弦定理得，，過P作，在△BHD中，，，，由余弦定理得，在Rt△PHD中，，，所以．在中，，，，所以．故答案為：.16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，S為△ABC的面積，點(diǎn)M是△ABC的外接圓圓O上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為_________．【答案】【分析】由題目條件可得，由正弦定理和面積公式可求得當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，取AB中點(diǎn)Q，，要求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值減,代入即可求出答案.【詳解】由題得，即，即，所以，所以．由，所以，當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)．取AB中點(diǎn)Q，，由圖知，連接QO并延長交圓于點(diǎn)時(shí)，故MQ取最大值，所以． 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足（a＞0，a∈R），且，其中為虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求cos∠ABC．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，得到，進(jìn)而得到為實(shí)數(shù)求解.（2）化簡得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而得到向量 和的坐標(biāo)，然后利用向量的夾角公式求解.【詳解】(1)解：因?yàn)?/span>，所以，則，，，所以，所以，又，所以，所以．(2)，，所以，，，所以，，．18．已知向量，，．(1)若時(shí)，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求出，進(jìn)行弦化切，代入求解；（2）由求出，得到，利用和差角公式直接求解．【詳解】(1)（1）時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以，，．(2)因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以，所以，所以.所以，．所以．19．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．(1)求角A；(2)若，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)以A為的直角三角形，理由見解析【分析】（1）利用正弦定理，邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式，可求得，即得答案；（2）利用利用正弦定理，邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式求得，討論B的取值，可確定答案.【詳解】(1)因?yàn)?/span>，由正弦定理得，即，即，所以，即，，，所以，，所以．(2)因?yàn)?/span>，由正弦定理得，所以，即，即，所以，，所以，所以或，所以或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,所以△ABC是以A為的直角三角形．20．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，，E是線段PC上的一點(diǎn)，．(1)試確定實(shí)數(shù)，使平面BED，并給出證明；(2)當(dāng)時(shí)，證明：PC⊥平面BED．【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）作輔助線，連接AC，可證明當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，使平面BED，即得答案.（2）證明平面PAC，即證明，再通過證明△PAC與△OEC相似，證明，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明PC⊥平面BED．【詳解】(1)連接AC，且，若平面BED，因?yàn)?/span>平面PAC，平面平面，所以，又因?yàn)?/span>O為AC中點(diǎn)，所以E為PC中點(diǎn)，即．當(dāng)時(shí)，E為PC中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>O為AC中點(diǎn)，所以，平面BED，平面BED，所以平面BED．(2)連接OE，因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，所以，在菱形ABCD中，，又因?yàn)?/span>，所以平面PAC，平面PAC，所以，在直角三角形PCA中，，，，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，故△PAC與△OEC相似，所以，又因?yàn)?/span>，，OE，平面BED，所以平面BED．21．如圖，某公園有一塊等腰直角三角形的空地ABC，AB＝AC＝2km．為迎接“五一”觀光游，現(xiàn)對(duì)該地塊進(jìn)行改造，在邊界BC上選擇中點(diǎn)D，修建觀賞小徑，點(diǎn)E、F分別在邊界AB、AC上（不含端點(diǎn)），且，在區(qū)域BDE和區(qū)域CDE內(nèi)種植郁金香，區(qū)域AEDF內(nèi)種植牡丹．設(shè)．(1)當(dāng)，求區(qū)域BDE的面積；(2)求區(qū)域AEDF的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理可求，利用公式可求面積.（2）利用正弦定理可求，利用面積公式可求，利用換元法可求其范圍.【詳解】(1)，在△BDE中，，，由正弦定理得：，解得，所以．(2)由題意知，在△BDE中，由正弦定理得：，所以，在△CDF中，同理可得．所以，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，故，故，設(shè)，任意，則有，因?yàn)?/span>，故，故即，故在為減函數(shù)，同理在為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有，所以．22．在△ABC中，已知．(1)若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，，求；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)化簡，得到，進(jìn)而求出(2)根據(jù)余弦定理，把，整理得，進(jìn)而根據(jù)等量代換和基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?/span>D為AB的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以．(2)設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，因?yàn)?/span>，得，則，因?yàn)?/span>，且，所以，，即有，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“＝”，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

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