2021-2022學(xué)年廣西南寧市第三中學(xué)五象校區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)全集為，集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合B的補(bǔ)集，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故，故選:B.2．某大學(xué)共有名學(xué)生，為了了解學(xué)生課外圖書閱讀量情況，該校隨機(jī)地從全校學(xué)生中抽取名，統(tǒng)計(jì)他們每年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，由此來(lái)估計(jì)全體學(xué)生當(dāng)年的閱讀書籍?dāng)?shù)量的情況，下列估計(jì)中正確的是（       ）（注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）A．眾數(shù)為 B．平均數(shù)為C．中位數(shù)為 D．該校讀書不低于本的人數(shù)約為人【答案】B【分析】對(duì)于A，由圖可知眾數(shù)在中，對(duì)于B，利用加權(quán)平均數(shù)公式求解即可，對(duì)于C，由圖知中位數(shù)在，然后列方程可求得結(jié)果，對(duì)于D，由頻率分布直方圖求出該校讀書不低于本的頻率之和，從而可求出該校讀書不低于本的人數(shù)【詳解】A：由圖知：眾數(shù)在，故眾數(shù)為，錯(cuò)誤；B：平均數(shù)為，正確；C：由圖知：中位數(shù)在，所以，解得，錯(cuò)誤；D：由圖知：該校讀書不低于本的頻率之和為，所以該校讀書不低于本的人數(shù)約為人.故選：.3．已知平面向量、滿足：，，，（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】由題意可得.故選：A.4．北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，搭載神州十三號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)遙十三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預(yù)定時(shí)間精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射，約582秒后，神州十三號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功．據(jù)測(cè)算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度(單位：)和燃料的質(zhì)量(單位：)、火箭的質(zhì)量(除燃料外)(單位：)的函數(shù)關(guān)系是．當(dāng)火箭的最大速度達(dá)到時(shí)，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量之比約為（       ）(參考數(shù)據(jù)：)A．314 B．313 C．312 D．311【答案】B【分析】根據(jù)題意將代入即可得解.【詳解】由題意將代入，可得，，..故選：B.5．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線與直線垂直得到，從而求出離心率.【詳解】雙曲線的漸近線為，易知與直線垂直，所以.故選：A.6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為（   ）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】由三視圖得到該幾何體為一個(gè)四棱錐，其中底面為直角梯形，結(jié)合三視圖中的數(shù)量關(guān)系和幾何體的結(jié)構(gòu)特征，即可求解.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)四棱錐，其中底面為直角梯形，側(cè)棱底面，且，如圖所示，在直角中，可得，所以，所以四棱錐最長(zhǎng)的棱為.故選：C.7．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分、必要性的定義，結(jié)合特殊數(shù)列判斷題設(shè)條件間的充分、必要性是否成立，即可得答案.【詳解】等比數(shù)列，，，，滿足公比，但不是遞增數(shù)列，充分性不成立．  為遞增數(shù)列，但不成立，即必要性不成立，所以“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D．8．實(shí)數(shù)x，y滿足條件則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得選項(xiàng)．【詳解】解：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，由，解得，目標(biāo)函數(shù)化為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值，所以的取值范圍是，故選：C．9．已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，進(jìn)而求出，再利用二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】聯(lián)立， 解得，故選：C10．已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，是切點(diǎn)，是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求得的最小值，進(jìn)而可求得四邊形面積的最小值.【詳解】解：如下圖所示：由已知得圓心，圓的半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可得，由勾股定理得，當(dāng)取最小值時(shí)，最小，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，，由切線長(zhǎng)定理得，又，，，所以，四邊形面積.故選：C.11．四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上且，，則球O的表面積為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，根據(jù)題中的數(shù)據(jù)證明平面平面，并找出球心的位置，列出等式求出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，設(shè)和的外心分別為，分別過(guò)點(diǎn)作平面和平面的垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為外接球球心.由題意可知，和都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.為的中點(diǎn)，,且平面平面,平面平面易得，，平面,平面∥AM同理可得∥DM，則四邊形為菱形，，菱形為正方形，平面，平面所以外接圓半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了外接球表面積的計(jì)算，找出球心位置，并計(jì)算外接球的半徑是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力.12．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)，都有，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由已知得在區(qū)間單調(diào)遞減， 為偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，由此可將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，求解即可.【詳解】解：令，則當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，又，所以為偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，又，即，所以，即，得或，故選：C.二、填空題13．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是______．【答案】【分析】由函數(shù)解析求出斜率及切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】由，則，，，所以切線方程為．故答案為：14．已知平面向量，，若，則k的值為___________.【答案】【分析】依題意可得，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得的值即可．【詳解】解：平面向量，，所以，，，若，則，即，，解得，故答案為：．15．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)的值最小時(shí)，的面積為_______．【答案】．【分析】根據(jù)橢圓定義得出，進(jìn)而對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式得出的最小值，并求出的值，進(jìn)而求出面積.【詳解】由橢圓定義可知，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”.又，所以.所以，由勾股定理可知：，所以.故答案為：.16．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在上的值域是，則______.【答案】【解析】根據(jù)平移關(guān)系求出，結(jié)合函數(shù)圖象求解.【詳解】由題知，作出函數(shù)大致圖象函數(shù)在上先增后減，且，若函數(shù)在上的值域是，必，結(jié)合圖象：則，.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三角函數(shù)平移得到新函數(shù)，根據(jù)值域求定義域端點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合利于解題.三、解答題17．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝12，S4＝40.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）an＝4n；（2）Tn＝2－－.【解析】（1）假設(shè)公差d，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和，得到a1，d，然后可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的條件，可得，進(jìn)一步可得，然后使用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3＝12，S4＝40則，解得a1＝4，d＝4， ∴an＝4＋4(n－1)＝4n.（2），. ∴，①，②①－②得∴Tn＝2－－.【點(diǎn)睛】本題主要考查錯(cuò)位相減法求和，掌握常用的求和方法：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)相消法，公式法等，屬基礎(chǔ)題.18．設(shè)函數(shù)(1)求的最小正周期和的最大值；(2)已知銳角的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.【答案】(1)的最小正周期為，的最大值為1(2)【分析】（1）直接根據(jù)的表達(dá)式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據(jù)求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可【詳解】(1)已知則的最小正周期為：則的最大值為：(2)由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：19．為防控新冠疫情，某市組織市民打疫苗，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該市在某一周接種人數(shù)預(yù)約情況（單位：萬(wàn)人）如下表所示：接種人數(shù)/星期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第一針接種人數(shù)2.03.54.06.56.011.0a第二針接種人數(shù)0.21.41.21.51.22.82.2 規(guī)定星期一為第1天，設(shè)該周第天第一針接種人數(shù)為，這周樣本數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)為，方差為，第二針接種人數(shù)為，這周樣本數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)為，方差為.(1)若，計(jì)算、（保留1位小數(shù)），、（保留2位小數(shù)）；(2)在（1）的條件下，若每天疫苗接種預(yù)約人數(shù)超過(guò)6萬(wàn)人，則稱該日“接種繁忙”，現(xiàn)隨機(jī)在該周選擇一天去接種疫苗，求接種日為“接種繁忙”的概率；(3)若關(guān)于具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，試預(yù)測(cè)周日第一針的接種人數(shù)（保留1位小數(shù)）.附：（其中為前6天第一針接種人數(shù)的平均值）【答案】(1)(2)(3)11.0【分析】（1）直接根據(jù)題中數(shù)據(jù)套用平均數(shù)和方差的公式即可算出答案. （2）分析出接種繁忙與不繁忙即可算出概率（3）先算出，求出回歸方程，代入數(shù)據(jù)可預(yù)測(cè)周日第一針的接種人數(shù)【詳解】(1)由，故：則：由：則：；(2)由題意，在周四、周五、周六、周日均為“接種繁忙”、在周一、周二、周三均不是“接種繁忙”，故所求概率為：(3)由題意，可設(shè)對(duì)應(yīng)線性回歸方程為：由，又前6項(xiàng)對(duì)應(yīng)的平均數(shù)，由即：故：故關(guān)于i的線性回歸方程為：故：故a的值估計(jì)為11.0.20．如圖，在直三棱柱中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn). (1)求證：；(2)若平面平面，求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理并結(jié)合中位線定理即可證明問(wèn)題；（2）在平面內(nèi)，過(guò)A作于F，然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，進(jìn)而得到，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明DE⊥平面，最后得到線線垂直.【詳解】(1)在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以BC.在中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，故BC∥DE，所以.又平面，平面，所以平面.(2)如圖，在平面內(nèi)，過(guò)A作于F，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面＝，所以平面.又平面，所以.在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以.又，所以DE⊥平面，則.21．已知拋物線：，點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)若直線：交拋物線于M?N兩點(diǎn)，交直線：于點(diǎn)P，記直線AM，AP，AN的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列.【答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為(2)證明見解析【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程中求出，從而可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）兩直線方程聯(lián)立求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)，，再將直線方程代入拋物線方程中，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)證明【詳解】(1)將代入，得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.(2)由得：.設(shè)，，由得：，則，所以.又，所以，所以，即，，成等差數(shù)列.22．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【答案】(1)，無(wú)極大值(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而求得函數(shù)極值；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由零點(diǎn)存在定理可知其在區(qū)間上存在零點(diǎn)，根據(jù)其單調(diào)性，判斷其正負(fù)，確定函數(shù)的最小值，令最小值大于等于 ，求得答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，( ),顯然在上是遞增的，且，故時(shí)，，時(shí)，，∴在上遞減，上遞增，∴，無(wú)極大值.(2)由可知： ，而，在上單調(diào)遞增， 且，，（這是因?yàn)?/span> ,） ，∴存在唯一的使，即，且當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，∴令 ,解得或，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及用導(dǎo)數(shù)解決不等式成立時(shí)的參數(shù)的范圍問(wèn)題，一般思路是求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而求得極值或最值，難點(diǎn)在于用導(dǎo)數(shù)求解不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍時(shí)，要巧妙的應(yīng)用零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)行整體代換，這樣就可以求出零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而解決問(wèn)題. 

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