?2020-2021學(xué)年浙江省金華市十校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，下列選項(xiàng)正確的是（　?。?br /> A．1∈A B．{﹣1}∈A C．?∈A D．0∈A
2．（5分）關(guān)于函數(shù)y＝sinx+cosx，以下說法正確的是（　?。?br /> A．在區(qū)間上是增函數(shù)
B．在區(qū)間上存在最小值
C．在區(qū)間上是增函數(shù)
D．在區(qū)間上存在最大值
3．（5分）現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（5分）四名同學(xué)各擲骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并分別對(duì)每位同學(xué)擲得的點(diǎn)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，在四名同學(xué)以下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，可以判斷出該同學(xué)所擲骰子一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1的是（　?。?br /> A．平均數(shù)為4，中位數(shù)為5 B．平均數(shù)為5，方差為2.4
C．中位數(shù)為4，眾數(shù)為5 D．中位數(shù)為4，方差為2.8
5．（5分）通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述所用的時(shí)間．若用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示學(xué)生的接受能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：min），長(zhǎng)期的實(shí)驗(yàn)和分析表明，f（x）與x有以下關(guān)系：f（x）則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散
B．講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強(qiáng)一點(diǎn)
C．講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)
D．需要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師可以在學(xué)生的注意力至少達(dá)到55以上的情況下完成
6．（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何？”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝8，EF＝6，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分別為7和3，且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（　?。?br />
A．84 B．66 C．126 D．105
7．（5分）在△ABC中，過中線AD的中點(diǎn)E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，（m＞0，n＞0），則（　?。?br /> A．m+n為定值 B．m?n為定值
C．4m+n的最小值為 D．m+4n的最小值為6
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，稱函數(shù)f（x）為“D函數(shù)”，則下列函數(shù)為“D函數(shù)”的是（　?。?br /> A．f（x）＝3x
B．f（x）＝ex+lnx
C．f（x）＝x2﹣2x
D．f（x）＝sinx﹣cosx+sinx?cosx
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
（多選）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)P是其所在平面內(nèi)一點(diǎn)，（　　）
A．若，則點(diǎn)P在△ABC的中位線上
B．若3，則P為△ABC的重心
C．若a2+b2＞c2，則△ABC為銳角三角形
D．若ccosB＝bcosC，則△ABC是等腰三角形
（多選）10．（5分）甲、乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，記事件A為“兩個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則（　?。?br /> A．事件A、B是相互獨(dú)立事件
B．事件B、C是互斥事件
C．P（A）＝P（B）＝P（C）
D．P（ABC）
（多選）11．（5分）下列四個(gè)函數(shù)中，滿足對(duì)任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c）的是（　?。?br /> A．f（x）＝1+2sin2x B．f（x）＝2x
C．f（x） D．f（x）＝ln（x+1）
（多選）12．（5分）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱AD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF，則（　　）
A．四棱錐B1﹣BEDF的體積為定值
B．四面體D1DEF表面積為定值
C．異面直線B1E和AF所成角為90°
D．二面角D1﹣EF﹣B1始終小于60°
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）（i）（i）＝　 ?。?br /> 14．（5分）已知某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取n名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動(dòng)，其中高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為12，則n＝　 ?。?br /> 15．（5分）已知||＝2||＝2，?1，則與的夾角為 　 　．
16．（5分）在四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，DE⊥平面ABFE，AE＝DE，P為側(cè)棱AE上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角H﹣BC﹣A與二面角P﹣CD﹣B的大小相等．則PA的長(zhǎng)為 　 ?。?br />
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期及圖象的對(duì)稱中心；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域．
18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量（3，1），（2，﹣1），（a，b），其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）若與的夾角不超過45°，求的取值范圍．
19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求證：PC⊥PD；
（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的余弦值．

20．（12分）一家保險(xiǎn)公司決定對(duì)推銷員實(shí)行目標(biāo)管理，即給推銷員確定一個(gè)具體的銷售目標(biāo)．確定的銷售目標(biāo)是否合適，直接影響到公司的經(jīng)濟(jì)效益．如果目標(biāo)定的過高，多數(shù)推銷員完不成任務(wù)，會(huì)使推銷員失去信心；如果目標(biāo)定的太低，將不利于挖掘推銷員的工作潛力．該保險(xiǎn)公司隨機(jī)抽取50名保險(xiǎn)推銷員，統(tǒng)計(jì)了其2020年的月均推銷額（單位：萬元），將數(shù)據(jù)按照[12，14），[14，16），…，[22，24]分成6組，制成頻率分布直方圖如下，其中[14，16）組比[12，14）組的頻數(shù)多4．

（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a和b的值；
（Ⅱ）為調(diào)動(dòng)推銷員的積極性，公司設(shè)計(jì)了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案．方案一：獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額進(jìn)入前60%的員工；方案二：獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額達(dá)到或超過平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）的員工．你認(rèn)為哪種方案更好？
21．（12分）在一大型倉(cāng)庫(kù)里，存有大量的原料臺(tái)球，其大小均勻，按紅色與白色分為兩堆，每種顏色中又有塑料和木頭兩種材質(zhì)，對(duì)球進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得抽樣數(shù)據(jù)如表：
紅色
白色
塑料球
木質(zhì)球
塑料球
木質(zhì)球
68個(gè)
136個(gè)
153個(gè)
51個(gè)
（Ⅰ）分別估計(jì)等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有紅色球中隨機(jī)抽取1個(gè)得到塑料球的概率，等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有白色球中隨機(jī)抽取1個(gè)得到塑料球的概率；
（Ⅱ）等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有紅色球中依次隨機(jī)抽取2個(gè)，等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有白色球中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)這3個(gè)球中恰有2個(gè)塑料球的概率．
22．（12分）函數(shù)f（x）＝|2x+a﹣9|，g（x）＝﹣x2+（5﹣a）x+2a，其中a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，求函數(shù)f（g（x）﹣7）的值域；
（Ⅱ）若不存在x∈R，使得f（x）＞6和g（x）＞6同時(shí)成立，求a的取值范圍．

2020-2021學(xué)年浙江省金華市十校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，下列選項(xiàng)正確的是（　?。?br /> A．1∈A B．{﹣1}∈A C．?∈A D．0∈A
【解答】解：1∈A，所以A正確；{﹣1}?A，所以B不正確；??A，所以C不正確；0?A，所以D不正確．
故選：A．
2．（5分）關(guān)于函數(shù)y＝sinx+cosx，以下說法正確的是（　　）
A．在區(qū)間上是增函數(shù)
B．在區(qū)間上存在最小值
C．在區(qū)間上是增函數(shù)
D．在區(qū)間上存在最大值
【解答】解：∵y＝sinx+cosx，
∴函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為，
∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，
當(dāng) 時(shí)，y取得最小值，故在區(qū)間上不存在最小值，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，y取得最大值，故在區(qū)間上不存在最大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：C．
3．（5分）現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，
基本事件總數(shù)n15，
取出的鞋都是左腳包含的基本事件個(gè)數(shù)m3，
則取出的鞋都是左腳的概率是P．
故選：D．
4．（5分）四名同學(xué)各擲骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并分別對(duì)每位同學(xué)擲得的點(diǎn)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，在四名同學(xué)以下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，可以判斷出該同學(xué)所擲骰子一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1的是（　?。?br /> A．平均數(shù)為4，中位數(shù)為5 B．平均數(shù)為5，方差為2.4
C．中位數(shù)為4，眾數(shù)為5 D．中位數(shù)為4，方差為2.8
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，1，2，5，6，6符合條件，故A錯(cuò)，
對(duì)于選項(xiàng)B，若平均數(shù)為5且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，則只能為1，6，6，6，6，此時(shí)方差為4，故B對(duì)，
對(duì)于選項(xiàng)C，1，2，4，5，5符合條件，故C錯(cuò)，
對(duì)于選項(xiàng)D，1，4，4，5，6符合條件，故D錯(cuò)，
故選：B．
5．（5分）通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述所用的時(shí)間．若用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示學(xué)生的接受能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：min），長(zhǎng)期的實(shí)驗(yàn)和分析表明，f（x）與x有以下關(guān)系：f（x）則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散
B．講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強(qiáng)一點(diǎn)
C．講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)
D．需要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師可以在學(xué)生的注意力至少達(dá)到55以上的情況下完成
【解答】解：由題意，f（x）
當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）＝﹣0.1x2+2.6x+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9，
故函數(shù)f（x）在（0，10]上單調(diào)遞增，最大值為f（10）＝59.9；
當(dāng)10＜x≤16時(shí)，f（x）＝59，故f（x）為常數(shù)函數(shù)，
當(dāng)16＜x≤30時(shí)，f（x）＝﹣3x+107，故f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）＜f（16）＝59，
則講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散，
故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)閒（5）＝﹣0.1×（5﹣13）2+59.9＝59.9﹣6.4＝53.5，
f（20）＝﹣3×20+107＝47＜53.5，
所以講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強(qiáng)一點(diǎn)，
故選項(xiàng)B正確；
由選項(xiàng)A的分析可知，講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，
故選項(xiàng)C正確；
當(dāng)0＜x≤10時(shí)，令f（x）＝55，
則﹣0.1×（x﹣13）2＝﹣4.9，所以（x﹣13）2＝49，
解得x＝20或x＝6，
又0＜x≤10，故x＝6，
當(dāng)16＜x≤30時(shí)，令f（x）＝55，則﹣3x+107＝55，
解得x，
因此學(xué)生達(dá)到（或超過）55的接受能力的時(shí)間為6，
所以需要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師不可以在學(xué)生的注意力至少達(dá)到55以上的情況下完成，
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：D．
6．（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何？”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的三角形圍成的五面體．在圖1所示羨除中，AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝8，EF＝6，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分別為7和3，且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互相垂直．按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（　?。?br />
A．84 B．66 C．126 D．105
【解答】解：按圖2中的分割方式，中間為直三棱柱，
直三棱柱的底面為直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為7和3，直三棱柱的高為6，
則直三棱柱的體積；
兩側(cè)為全等的兩個(gè)四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，
直角梯形的面積S，四棱錐的高為h＝3，
則兩個(gè)四棱錐的體積．
∴該“羨除”的體積為V＝V1+V2＝63+21＝84．
故選：A．
7．（5分）在△ABC中，過中線AD的中點(diǎn)E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，（m＞0，n＞0），則（　　）
A．m+n為定值 B．m?n為定值
C．4m+n的最小值為 D．m+4n的最小值為6
【解答】解：由題意可得m，∴（m ），
同理可得（n）．
由于、共線，∴，且λ＜0．
∴（m ）λ[（n）]，
∴mλ，λ（n）
故 m，n，
∴m+n，m?n均與λ取值有關(guān)，故AB錯(cuò)誤；
4m+n＝1﹣λ（﹣λ）2，當(dāng)且僅當(dāng)λ時(shí)成立，故C正確；
m+4n（）2，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝﹣2時(shí)成立，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，稱函數(shù)f（x）為“D函數(shù)”，則下列函數(shù)為“D函數(shù)”的是（　?。?br /> A．f（x）＝3x
B．f（x）＝ex+lnx
C．f（x）＝x2﹣2x
D．f（x）＝sinx﹣cosx+sinx?cosx
【解答】解：∵對(duì)任意x1∈I，都存在x2∈I，使得f（x1）+f（x2）＝0，∴函數(shù)f（x）的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（x）＝3x的值域?yàn)椋?，+∞），故A錯(cuò)誤，
f（x）＝ex+lnx的值域?yàn)椋ī仭蓿?∞），故B正確，
f（x）＝x2﹣2x的值域?yàn)閇﹣1，+∞），故C錯(cuò)誤，
f（x）＝sinx﹣cosx+sinx?cosx＝sinx﹣cosx（sinx﹣cosx）2+（sinx﹣cosx），
∵sinx﹣cosx，∴f（x）≤1，故D錯(cuò)誤，
故選：B．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
（多選）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)P是其所在平面內(nèi)一點(diǎn)，（　?。?br /> A．若，則點(diǎn)P在△ABC的中位線上
B．若3，則P為△ABC的重心
C．若a2+b2＞c2，則△ABC為銳角三角形
D．若ccosB＝bcosC，則△ABC是等腰三角形
【解答】解：對(duì)于A，由，
得，即（）＝﹣1010（），
設(shè)AC的中點(diǎn)為E，BC的中點(diǎn)為F，可得1010，
則P、E、F三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在△ABC的中位線上，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)BC中點(diǎn)為G，由3，得，
∴，即P為△ABC的重心，故B正確；
對(duì)于C，取a＝3，b＝5，c＝4，滿足a2+b2＞c2，但a2+c2＝b2，△ABC為直角三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由ccosB＝bcosC，得sinCcosB＝sinBcosC，∴sin（C﹣B）＝0，
∵0＜C＜π，0＜B＜π，∴﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B＝0，即B＝C，△ABC為等腰三角形，故D正確．
故選：ABD．
（多選）10．（5分）甲、乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，記事件A為“兩個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則（　?。?br /> A．事件A、B是相互獨(dú)立事件
B．事件B、C是互斥事件
C．P（A）＝P（B）＝P（C）
D．P（ABC）
【解答】解：甲、乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，
基本事件總數(shù)n＝6×6＝36，
記事件A為“兩個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，
則事件A包含的基本事件有18個(gè)，分別為：
（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），
（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），
∴P（A），
事件B為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，
則事件B包含的基本事件有18個(gè)，分別為：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），
（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
∴P（B），
事件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，
則事件C包含的基本事件有18個(gè)，分別為：
（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4），
（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），
∴P（C），
事件AB包含的基本事件有9個(gè)，分別為：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），
P（AB），
∵P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A、B是相互獨(dú)立事件，故A正確；
事件B與C能同時(shí)發(fā)生，故事件B與C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；
P（A）＝P（B）＝P（C），故C正確；
ABC包含的基本事件有9個(gè)，分別為：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），
∴P（ABC）．故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）11．（5分）下列四個(gè)函數(shù)中，滿足對(duì)任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c）的是（　?。?br /> A．f（x）＝1+2sin2x B．f（x）＝2x
C．f（x） D．f（x）＝ln（x+1）
【解答】解：若f（x）＝1+2sin2x，則f（a+b+c）＝1+2sin2（a+b+c），
f（a）+f（b）+f（c）＝1+2sin2a+1+2sin2b+1+2sin2c＝3+2sin2a+2sin2b+2sin2c，
故1+2sin2（a+b+c）≤3≤3+2sin2a+2sin2b+2sin2c，
故對(duì)任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故A正確，
若f（x）＝2x，令a＝b＝c＝1，f（a+b+c）＝f（3）＝8，f（a）+f（b）+f（c）＝2+2+2＝6，故B錯(cuò)誤，
若f（x），則f（a+b+c），f（a）+f（b）+f（c），
且（）2﹣（）2＝（a+b+c）﹣（a+b+c+222）＜0，故，
故對(duì)任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故C正確，
若f（x）＝ln（x+1），則f（a+b+c）＝ln（a+b+c+1），
f（a）+f（b）+f（c）＝ln（a+1）+ln（b+1）+ln（c+1）＝ln[（a+1）?（b+1）?（c+1）]＝ln（a+b+c+1+abc+ab+ac+bc），
故ln（a+b+c+1）＜ln（a+b+c+1+abc+ab+ac+bc），
故對(duì)任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）≤f（a）+f（b）+f（c），故D正確，
故選：ACD．
（多選）12．（5分）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱AD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF，則（　?。?br /> A．四棱錐B1﹣BEDF的體積為定值
B．四面體D1DEF表面積為定值
C．異面直線B1E和AF所成角為90°
D．二面角D1﹣EF﹣B1始終小于60°
【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)樗倪呅蜝EDF的面積為S＝SABCD﹣S△ABE﹣S△BCF＝1FC＝1（AE+BF）＝1（定值）．
∴四棱錐B1﹣BEDF的體積為定值，故正確；
對(duì)于B，過D作DH⊥EF，連接D1H，則D1H⊥EF，設(shè)AE＝DF＝x，則DH，
∴D1H，S，
∴四面體D1DEF表面積為Sx×11，∴四面體D1DEF表面積為定值，故正確．
對(duì)于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE＝x，則E（1﹣x，0，0），F(xiàn)（0，x，0），B1（1，1，1），A（1，0，0），
則，，
∴x﹣x+0＝0，∴異面直線B1E和AF所成角為90°，故正確；
對(duì)于D，當(dāng)AE＝DF時(shí)，可得二面角D1﹣EF﹣D就是∠DHD1，二面角B1﹣EF﹣B就是∠BHB1，
則tan∠DHD1＝2，tan∠bHb1，
tan（∠DHD1+∠BHB1），
此時(shí)二面角D1﹣EF﹣B1的正切值為，故錯(cuò)．
故選：ABC．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）（i）（i）＝　5?。?br /> 【解答】解：（i）（i）．
故答案為：5．
14．（5分）已知某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取n名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動(dòng)，其中高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為12，則n＝　28?。?br /> 【解答】解：某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．
采用分層抽樣的方法從中抽取n名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動(dòng)，
其中高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為12，
則n12，
解得n＝28．
故答案為：28．
15．（5分）已知||＝2||＝2，?1，則與的夾角為 　　．
【解答】解：||＝2||＝2，?1，||
設(shè)與的夾角為θ，則cosθ，
θ∈[0，π]，
所以θ．
故答案為：．
16．（5分）在四棱臺(tái)ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，DE⊥平面ABFE，AE＝DE，P為側(cè)棱AE上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角H﹣BC﹣A與二面角P﹣CD﹣B的大小相等．則PA的長(zhǎng)為 　?。?br />
【解答】解：∵DE⊥平面ABFE，
∴DE⊥AB，
又AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADHE，
過點(diǎn)P作PM⊥AD，過點(diǎn)H作HN⊥AD，則PM⊥平面ABCD，HN⊥平面ABCD，
過點(diǎn)N作NK⊥BC，則∠PDM為二面角P﹣CD﹣B的平面角，∠HKN為二面角H﹣BC﹣A的平面角，
又AE＝DE，
∴∠PAD＝45°，，
由題意，，
設(shè)PA＝x，則，
∴，解得．
故答案為：．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期及圖象的對(duì)稱中心；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域．
【解答】解：（I），
所以最小正周期為，所有的周期為kπ，k∈Z且k≠0；
令，得，所以對(duì)稱中心為；
（II）因?yàn)?，所以，?br /> 所以f（x）的值域?yàn)閇﹣1，2]．
18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量（3，1），（2，﹣1），（a，b），其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）若與的夾角不超過45°，求的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)橄蛄浚?，1），（2，﹣1），（a，b），
則，
因?yàn)椋?br /> 則0，
故a+2b＝5，則（a+1）+2b＝6，
所以（）


，
當(dāng)且僅當(dāng)且a+2b＝5，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為；
（Ⅱ）因?yàn)椋?，﹣1），（a，b），
則，
因?yàn)榕c的夾角不超過45°，
則，
即，
令，則t＞0，
所以，
故，解得，
又t＞0，
所以的取值范圍為．
19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求證：PC⊥PD；
（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因?yàn)锽C∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，
則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．
因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，
由已知，得CF＝BC﹣BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP．
所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為．
20．（12分）一家保險(xiǎn)公司決定對(duì)推銷員實(shí)行目標(biāo)管理，即給推銷員確定一個(gè)具體的銷售目標(biāo)．確定的銷售目標(biāo)是否合適，直接影響到公司的經(jīng)濟(jì)效益．如果目標(biāo)定的過高，多數(shù)推銷員完不成任務(wù)，會(huì)使推銷員失去信心；如果目標(biāo)定的太低，將不利于挖掘推銷員的工作潛力．該保險(xiǎn)公司隨機(jī)抽取50名保險(xiǎn)推銷員，統(tǒng)計(jì)了其2020年的月均推銷額（單位：萬元），將數(shù)據(jù)按照[12，14），[14，16），…，[22，24]分成6組，制成頻率分布直方圖如下，其中[14，16）組比[12，14）組的頻數(shù)多4．

（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a和b的值；
（Ⅱ）為調(diào)動(dòng)推銷員的積極性，公司設(shè)計(jì)了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案．方案一：獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額進(jìn)入前60%的員工；方案二：獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額達(dá)到或超過平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）的員工．你認(rèn)為哪種方案更好？
【解答】解：（1）∵由頻率分布直方圖的性質(zhì)，圖中所有小矩形的面積之和等于1，
又∵[14，16）組比[12，14）組的頻數(shù)多4，
∴，解得a＝0.03，b＝0.07．
（2）方案一，獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額進(jìn)入前60%的員工，
∵樣本容量為50，
∴能獲得獎(jiǎng)勵(lì)員工人數(shù)為50×60%＝30，
方案二，獎(jiǎng)勵(lì)月均推銷額達(dá)到或超過平均數(shù)，
根據(jù)頻率分布直方圖，可得月均推銷額的平均數(shù)為（0.03×2×13+0.07×2×15+0.12×2×17+0.14×2×19+0.1×2×21+0.04×2×23）＝18.32，
月均推銷額低于18萬的頻率為2×（0.03+0.07+0.12）＝0.44，
∵本次抽樣樣本容量為50名保險(xiǎn)推銷員，
∴月均推銷額低于18萬的人數(shù)為50×0.44＝22，
∴月均推銷額高于18萬的人數(shù)比小于28，
綜上所述，對(duì)比兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案，應(yīng)選方案一，更多人員獲得獎(jiǎng)勵(lì)．
21．（12分）在一大型倉(cāng)庫(kù)里，存有大量的原料臺(tái)球，其大小均勻，按紅色與白色分為兩堆，每種顏色中又有塑料和木頭兩種材質(zhì)，對(duì)球進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得抽樣數(shù)據(jù)如表：
紅色
白色
塑料球
木質(zhì)球
塑料球
木質(zhì)球
68個(gè)
136個(gè)
153個(gè)
51個(gè)
（Ⅰ）分別估計(jì)等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有紅色球中隨機(jī)抽取1個(gè)得到塑料球的概率，等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有白色球中隨機(jī)抽取1個(gè)得到塑料球的概率；
（Ⅱ）等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有紅色球中依次隨機(jī)抽取2個(gè)，等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有白色球中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)這3個(gè)球中恰有2個(gè)塑料球的概率．
【解答】解：（Ⅰ）等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有紅色球中隨機(jī)抽取1個(gè)，
基本事件總數(shù)n1＝68+136＝204，
其中得到塑料球包含的基本事件個(gè)數(shù)m1＝68，
∴得到塑料球的概率為P1，
等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有白色球中隨機(jī)抽取1個(gè)，
基本事件總數(shù)n2＝153+51＝204，
其中得到塑料球包含的基本事件個(gè)數(shù)m2＝153，
∴得到塑料球的概率為P2．
（Ⅱ）等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有紅色球中依次隨機(jī)抽取2個(gè)，
等可能地從倉(cāng)庫(kù)所有白色球中隨機(jī)抽取1個(gè)，
基本事件總數(shù)n4120902，
這3個(gè)球中恰有2個(gè)塑料球包含的基本事件個(gè)數(shù)：
m1531122，
∴估計(jì)這3個(gè)球中恰有2個(gè)塑料球的概率為P．
22．（12分）函數(shù)f（x）＝|2x+a﹣9|，g（x）＝﹣x2+（5﹣a）x+2a，其中a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，求函數(shù)f（g（x）﹣7）的值域；
（Ⅱ）若不存在x∈R，使得f（x）＞6和g（x）＞6同時(shí)成立，求a的取值范圍．
【解答】解：（ I ）∵g（x）為偶函數(shù)，∴g（﹣x）＝g（x），解得a＝5，
∴g（x）＝﹣x2+10，
g（x） 的值域?yàn)椋ī仭蓿?0]，∴g（x）﹣7∈（﹣∞，3]．
而
∴f（g（x）﹣7）的值域?yàn)閇0，4]．
（II）根據(jù)題意，即f（x）?6和g（x）?6解集的并集為 R．
先解 g（x）?6，得（x﹣2）（x+a﹣3）?0（*）．
①當(dāng)a＝1時(shí)，（*）式顯然成立，原命題成立；
②當(dāng)a＜1時(shí)，（*）式解集為（﹣∞，2]?[3﹣a，+∞），
只需當(dāng)2＜x＜3﹣a時(shí)，|2x+a﹣9|?6即可．
解得3﹣2x?a?15﹣2x，即﹣1?a?15﹣23﹣a，即得a∈[﹣1，1）．
③當(dāng)a＞1時(shí)，（*）式解集為（﹣∞，3﹣a]∪[2，+∞），
只需當(dāng)3﹣a＜x＜2時(shí)，|2x+a﹣9|?6即可．
解得3﹣2x?a?15﹣2x，即3﹣23﹣a?a?15﹣22，即得a∈（1，11]．
綜上a的取值范圍為[﹣1，11]．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/5/26 10:14:34；用戶：高中數(shù)學(xué)；郵箱：sdgs@xyh.com；學(xué)號(hào)：28144983

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