1．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），（1，3），則直線l的斜率為（ ）
A．B．C．﹣3D．3
2．（5分）在等差數(shù)列{an}中，若a4+a8＝16，則a6＝（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
3．（5分）拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．xB．x＝﹣1C．yD．y＝﹣1
4．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是線段BD1中點(diǎn)，若，
則x+y+z＝（ ）
A．B．1C．D．3
5．（5分）空間中兩條不同的直線m，n和平面α，則下列命題中正確的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥α，則m∥nB．若m∥α，n∥α，則m∥n
C．若m⊥n，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n∥α，則m⊥α
6．（5分）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）圖象是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知三棱錐S﹣ABC中，SC＝2，AB＝2，E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，EF＝1，則EF與AB所成的角大小為（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在數(shù)列{an}，{bn}中，滿足，且bn＜bn+1，若b100＝am（m∈N*），則m＝（ ）
A．5050B．5100C．10050D．10100
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）
（多選）9．（5分）如圖，一縷陽(yáng)光從圓形的窗孔射入，在水平地面上形成橢圓形光斑（輪廓為橢圓），若光線與水平地面所成的角為α（0°＜α＜90°），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．橢圓的離心率e＝sinα
B．橢圓的離心率e＝csα
C．橢圓的離心率e隨α的增大而減小
D．橢圓的離心率e隨α的增大而增大
（多選）10．（5分）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且m，n∈N*，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．若m+n為偶數(shù)，則am?an＞0
B．若m+n為奇數(shù)，則am?an＞0
C．若m?n為偶數(shù)，則am?Sn＞0
D．若m?n為奇數(shù)，則am?Sn＞0
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）（a≠0）的極大值點(diǎn)為x＝a，則（ ）
A．a(chǎn)2＜b2
B．a(chǎn)2＜ab
C．若f'（x1）＝f'（x2）＝0，則x1+x2＞0
D．若f'（x1）＝f'（x2）＝0，則x1x2＞0
（多選）12．（5分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，，P是該正四棱柱表面或內(nèi)部一點(diǎn)，直線PB，PC與底面ABCD所成的角分別記為α，β，且sinβ＝2sinα，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與棱BC的交點(diǎn)為Q，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．Q為BC中點(diǎn)
B．線段PA1長(zhǎng)度的最小值為5
C．存在一點(diǎn)P，使得PQ∥平面AB1D1
D．若P在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1表面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
13．（5分）已知，若，則k＝ ．
14．（5分）已知圓C1：x2+y2＝1與圓C2：x2+y2+2x﹣4y＝0，則圓心距|C1C2|＝ ．
15．（5分）我國(guó)南北朝著名數(shù)學(xué)家祖暅提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．即夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截，若截得的兩個(gè)截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．在數(shù)學(xué)上運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式時(shí)，構(gòu)造了一個(gè)底面半徑與高都為R的圓柱內(nèi)挖掉一個(gè)等高的圓錐的幾何體（如圖所示），則該幾何體的體積為 ．
16．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)M，滿足|MF1|＝λ|MF2|（λ），且，則該雙曲線離心率的取值范圍是 ．
17．（5分）在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)一般性辯論上，習(xí)近平主席表示，中國(guó)將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．某地2020年共發(fā)放汽車(chē)牌照12萬(wàn)張，其中燃油型汽車(chē)牌照10萬(wàn)張，電動(dòng)型汽車(chē)2萬(wàn)張，從2021年起，每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車(chē)牌照按前一年的50%增長(zhǎng)，燃油型汽車(chē)牌照比前一年減少0.5萬(wàn)張，同時(shí)規(guī)定，若某年發(fā)放的汽車(chē)牌照超過(guò)15萬(wàn)張，以后每年發(fā)放的電動(dòng)車(chē)牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．那么從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車(chē)牌照數(shù)為 萬(wàn)張．
18．（5分）已知函數(shù)f（x）＝xa﹣ax（x＞0且a＞0）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
四、解答題（本大題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
19．（10分）已知圓C的圓心為點(diǎn)（1，2），且與x軸相切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求直線l：2x﹣y+2＝0被圓C所截得的弦長(zhǎng)．
20．（10分）已知三棱柱ABC﹣DEF中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD，∠DAB＝∠DAC．
（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）若二面角A﹣BC﹣E的大小為135°，求直線DB與平面BEFC所成角的大?。?br>21．（12分）已知函數(shù)，x∈[0，π]．注：e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），求證：|f'（x）|≤1．
22．（14分）已知數(shù)列{nan}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足：b1＝2，nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）dn，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）（?。┤鬱n＝1，記cn＝an+1bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
（ⅱ）若dn＝2n+1，證明：．
23．（14分）如圖，橢圓E1：的右焦點(diǎn)為F（，0），橢圓E2：t（0＜t＜1），橢圓E2的切線MN、MP交橢圓E1于M、N、P三點(diǎn)，
切點(diǎn)分別為Q、R．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)；
（Ⅲ）求四邊形OQMR面積的最大值．
2021-2022學(xué)年浙江省麗水市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），（1，3），則直線l的斜率為（ ）
A．B．C．﹣3D．3
【解答】解：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），（1，3），
則直線l的斜率k3，
故選：D．
2．（5分）在等差數(shù)列{an}中，若a4+a8＝16，則a6＝（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【解答】解：∵{an}是等差數(shù)列，
∴2a6＝a4+a8＝16，
∴a6＝8．
故選：C．
3．（5分）拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．xB．x＝﹣1C．yD．y＝﹣1
【解答】解：拋物線y2＝2x的開(kāi)口向右，p＝1，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是x．
故選：A．
4．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是線段BD1中點(diǎn)，若，
則x+y+z＝（ ）
A．B．1C．D．3
【解答】解：在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是線段BD1中點(diǎn)，

，
∵，∴x＝y(tǒng)＝z，
則x+y+z．
故選：C．
5．（5分）空間中兩條不同的直線m，n和平面α，則下列命題中正確的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥α，則m∥nB．若m∥α，n∥α，則m∥n
C．若m⊥n，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n∥α，則m⊥α
【解答】解：空間中兩條不同的直線m，n和平面α，
對(duì)于A，若m⊥α，n⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)得m∥n，故A正確；
對(duì)于B，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若m⊥n，n⊥α，則m∥α或m?α，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若m⊥n，n∥α，則m與α相交、平行或m?α，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
6．（5分）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由f′（x）圖象知，第一部分f′（x）＞0，且f′（x）是個(gè)常數(shù)，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，且等速度增長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)圖象為直線，排除C，D，
第二部分f′（x）＞0，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，
第三部分，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，排除B，
故選：A．
7．（5分）已知三棱錐S﹣ABC中，SC＝2，AB＝2，E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，EF＝1，則EF與AB所成的角大小為（ ）
A．B．C．D．
【解答】
解：取AC中點(diǎn)D，連接DE、DF，
由E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，
則DE∥SC，DF∥AB，
則EF與AB所成的角的平面角為∠EFD（或其補(bǔ)角），
由SC＝2，AB＝2，
則DE，DF＝1，
又EF＝1，
則cs∠EFD，
即∠EFD，
即EF與AB所成的角大小為，
故選：B．
8．（5分）在數(shù)列{an}，{bn}中，滿足，且bn＜bn+1，若b100＝am（m∈N*），則m＝（ ）
A．5050B．5100C．10050D．10100
【解答】解：因，
則數(shù)列{bn}是由4k+1（k∈N*） 計(jì)算而得的完全平方數(shù)的算術(shù)平方根由小到大排列而成，
因4×2+1＝32，4×6+1＝52，4×12+1＝72，4×20+1＝92，4×30+1＝112，4×42+1＝132，?，
即b1＝3，b2＝5，b3＝7，b4＝9，b5＝11，b6＝13，?，
即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以bn＝2n+1，
反之，當(dāng)bn＝2n+1時(shí)，由得k＝n（n+1），
因此，，
于是得，則am＝b100＝201，
所以m＝100（100+1）＝10100．
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）
（多選）9．（5分）如圖，一縷陽(yáng)光從圓形的窗孔射入，在水平地面上形成橢圓形光斑（輪廓為橢圓），若光線與水平地面所成的角為α（0°＜α＜90°），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．橢圓的離心率e＝sinα
B．橢圓的離心率e＝csα
C．橢圓的離心率e隨α的增大而減小
D．橢圓的離心率e隨α的增大而增大
【解答】解：可根據(jù)題意做出平面圖，如圖所示，
窗孔的圓心為O，圓心在水平面的投影即橢圓的中心為O，光線與水平面的交點(diǎn)為A、B，光線與水平地面所成的角為α（0°＜α＜90°） 即∠BOO′，連接OO′，
過(guò)B作OO′的垂線交l1于C，交OO′于D，
由題意可知，窗孔在平面內(nèi)的投影橢圓，故|AB|為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即|AB|＝2a，
|BC|為橢圓的短軸長(zhǎng)，即|BC|＝2b，
所以，，
故，
而，
故橢圓的離心率e＝csα，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；
e＝csα，因?yàn)閏sα在0°＜α＜90°是單調(diào)遞減的，所以橢圓的離心率e隨α的增大而減小，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：BC．
（多選）10．（5分）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且m，n∈N*，下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．若m+n為偶數(shù)，則am?an＞0
B．若m+n為奇數(shù)，則am?an＞0
C．若m?n為偶數(shù)，則am?Sn＞0
D．若m?n為奇數(shù)，則am?Sn＞0
【解答】解：由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則am?an＝a1qm﹣1?a1qn﹣1＝a12qm+n﹣2，若m+n為偶數(shù)時(shí)，m+n﹣2為偶數(shù)，所以qm+n﹣2＞0，所以am?an＝a12qm+n﹣2＞0，
若m+n為奇數(shù)時(shí)，m+n﹣2為奇數(shù)，若q＜0，則qm+n﹣2＜0，所以am?an＝a12qm+n﹣2＜0，
若q＞0，則qm+n﹣2＞0，
所以am?an＝a12qm+n﹣2＞0，
若q＝1時(shí)，am?an＝a12＞0，
故此時(shí)無(wú)法判斷am?an正負(fù)，故A正確，B錯(cuò)誤；
若mn為偶數(shù)時(shí)，則m，n為兩偶或一奇一偶，
當(dāng)m，n為兩偶數(shù)時(shí)，則m﹣1為奇數(shù)，
若q∈（0，1）∪（1，+∞），
則qm﹣1＞0，0，此時(shí)am?Sn＝a12qm﹣1?0，
若q∈（﹣1，0），則qm﹣1＜0，0，此時(shí)am?Sn＝a12qm﹣1?0，
若q∈（﹣∞，﹣1），則qm﹣1＜0，0，此時(shí)am?Sn＝a12qm﹣1?0，
若q＝1時(shí)，am?Sn＝na12＞0，若q＝﹣1時(shí)，am?Sn＝0，故無(wú)法判斷am?Sn的正負(fù)；
同理，當(dāng)m，n為一奇一偶時(shí)，也無(wú)法判斷am?Sn的正負(fù)，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)mn為奇數(shù)時(shí)，m，n都為奇數(shù)，則m﹣1為偶數(shù)，
若q≠﹣1且q≠0且q≠1時(shí)，qm﹣1＞0，0，所以am?Sn＝a12qm﹣1?0，
若q＝1時(shí)，am?Sn＝na12＞0，若q＝﹣1時(shí)，am?Sn＝a12＞0，
所以am?Sn＝a12qm﹣1?0，故D正確．
故選：AD．
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）（a≠0）的極大值點(diǎn)為x＝a，則（ ）
A．a(chǎn)2＜b2
B．a(chǎn)2＜ab
C．若f'（x1）＝f'（x2）＝0，則x1+x2＞0
D．若f'（x1）＝f'（x2）＝0，則x1x2＞0
【解答】解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x＝a是f（x）的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的大致圖象如下圖所示，
則0＜a＜b；
當(dāng)a＜0時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x＝a是f（x）的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的大致圖象如下圖所示，
則b＜a＜0；
綜上，b2＞ab＞a2．
故選：ABD．
（多選）12．（5分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，，P是該正四棱柱表面或內(nèi)部一點(diǎn)，直線PB，PC與底面ABCD所成的角分別記為α，β，且sinβ＝2sinα，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與棱BC的交點(diǎn)為Q，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．Q為BC中點(diǎn)
B．線段PA1長(zhǎng)度的最小值為5
C．存在一點(diǎn)P，使得PQ∥平面AB1D1
D．若P在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1表面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
【解答】解：A選項(xiàng)：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)P（x，y，z），
過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OB，OC，
則∠PBO＝α，∠PCO＝β，由題意可知，
所以|PB|＝2|PC|，因?yàn)锽（3，0，0），C（3，3，0），
所以（x﹣3）2+y2+z2＝4（x﹣3）2+4（y﹣3）2+4z2，
即（x﹣3）2+（y﹣4）2+z2＝4，
所以點(diǎn)P的軌跡是以（3，4，0）為球心，以2為半徑的球再正四棱柱內(nèi)部（含表面）的部分，
由題意得當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí)不滿足題意，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：設(shè)球心O1（3，4，0），
則，
所以線段PA1長(zhǎng)度的最小值為7﹣2＝5，故B正確；
QN?平面AB1D1，AD?平面AB1D1，
所以QN∥平面 AB1D1，同理 MN∥平面AB1D1，
又QN∩MN＝N，QN，MN?平面 QMN，所以平面 QMN∥平面 AB1D1，
所以 ，設(shè)球與棱CC1的交點(diǎn)為G，與CD的交點(diǎn)為H，
，
所以球與矩形BCC1B1的交線為弧GQ，球與矩形CDD1C1的交線為弧GH，所以△QMN與球沒(méi)有交點(diǎn)，
所以不存在點(diǎn)P，使得PQ∥面AB1D1，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：因?yàn)榍蚺c矩形BCC1B1的交線為弧GQ，球與矩形CDD1C1的交線為弧GH，球與正方形ABCD的交線為弧QH，
由于|GQ|＝|QO1|＝|GO1|＝|CH|＝2，
所以，
所以弧GQ＝弧，
弧GH，
所以點(diǎn)P在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1表面，
則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為，故D正確．
故選：BD．
三、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
13．（5分）已知，若，則k＝ ．
【解答】解：∵且，
∴，解得k．
故答案為：．
14．（5分）已知圓C1：x2+y2＝1與圓C2：x2+y2+2x﹣4y＝0，則圓心距|C1C2|＝ ．
【解答】解：圓C1：x2+y2＝1的圓心為C1（0，0），
圓C2：x2+y2+2x﹣4y＝0的圓心為C2（﹣1，2），
所以圓心距|C1C2|．
故答案為：．
15．（5分）我國(guó)南北朝著名數(shù)學(xué)家祖暅提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．即夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截，若截得的兩個(gè)截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．在數(shù)學(xué)上運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式時(shí)，構(gòu)造了一個(gè)底面半徑與高都為R的圓柱內(nèi)挖掉一個(gè)等高的圓錐的幾何體（如圖所示），則該幾何體的體積為 ．
【解答】解：圓柱的體積為，圓錐的體積為，
所以所求的幾何體的體積為．
故答案為：．
16．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)M，滿足|MF1|＝λ|MF2|（λ），且，則該雙曲線離心率的取值范圍是 [，] ．
【解答】解：因?yàn)閨MF1|＝λ|MF2|（λ），可得M在雙曲線的左支上，設(shè)|MF2|＝m，則|MF1|＝λm，
再由雙曲線的定義可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，所以可得m﹣λm＝2a，可得m，
在三角形MF1F2中，，由余弦定理可得：cs∠F1MF2，
可得，整理可得：m2?（1+λ2﹣λ）＝4c2，
所以4c2，
可得e211，
設(shè)y＝λ，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
所以y∈[，]，可得y﹣2∈[，]，
所以∈[，2]，
所以e2∈[，3]，
即e∈[，]．
故答案為：[，]．
17．（5分）在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)一般性辯論上，習(xí)近平主席表示，中國(guó)將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．某地2020年共發(fā)放汽車(chē)牌照12萬(wàn)張，其中燃油型汽車(chē)牌照10萬(wàn)張，電動(dòng)型汽車(chē)2萬(wàn)張，從2021年起，每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車(chē)牌照按前一年的50%增長(zhǎng)，燃油型汽車(chē)牌照比前一年減少0.5萬(wàn)張，同時(shí)規(guī)定，若某年發(fā)放的汽車(chē)牌照超過(guò)15萬(wàn)張，以后每年發(fā)放的電動(dòng)車(chē)牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．那么從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車(chē)牌照數(shù)為 134 萬(wàn)張．
【解答】解：設(shè)每年發(fā)放燃油型汽車(chē)牌照為{an}，發(fā)放電動(dòng)型車(chē)牌照數(shù)為{bn}，發(fā)放牌照數(shù)為{cn}，
則{an}成等差數(shù)列，{bn}前四項(xiàng)成等比數(shù)列，第五項(xiàng)為常數(shù)列，cn＝an+bn，
a1＝9.5，an＝10﹣0.5n，
{an}的前n項(xiàng)和72.5，
b1＝2×1.5＝3，b2＝3×1.5＝4.5，b3＝4.5×1.5＝6.75，
∵c3＝a3+b3＝8.5+6.75＝15.25＞15，
∴b4＝b5＝???＝b10＝6.75，
{bn}的前10項(xiàng)和B10＝3+4.5+6.75×8＝61.5，
故從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車(chē)牌照數(shù)為134萬(wàn)張．
故答案為：134．
18．（5分）已知函數(shù)f（x）＝xa﹣ax（x＞0且a＞0）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是 （1，e）∪（e，+∞） ．
【解答】解：因x＞0，a＞0，
則f（x）＝0?xa＝ax?alnx＝xlna?，
令g（x），
求導(dǎo)得g′（x），
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，
因此g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）max＝g（e），
而當(dāng)x＞e時(shí)，g（x）＞0恒成立，g（1）＝0，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y＝g（x）的圖象與直線y有兩個(gè)公共點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝g（x）的圖象與直線y，如圖，
觀察圖象得：函數(shù)y＝g（x）的圖象與直線y有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)0，
即g（1）＜g（a）＜g（e），
于是得1＜a＜e或a＞e，
所以a的取值范圍是：（1，e）∪（e，+∞）．
故答案為：（1，e）∪（e，+∞）．
四、解答題（本大題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
19．（10分）已知圓C的圓心為點(diǎn)（1，2），且與x軸相切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求直線l：2x﹣y+2＝0被圓C所截得的弦長(zhǎng)．
【解答】解：（Ⅰ）∵圓C的圓心為點(diǎn)（1，2），且與x軸相切，
∴圓C的半徑圓r＝2，
故圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
（Ⅱ）∵圓C的圓心C（1，2），
∴點(diǎn)C到直線l：2x﹣y+2＝0的距離為，
∴所求的弦長(zhǎng)為．
20．（10分）已知三棱柱ABC﹣DEF中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD，∠DAB＝∠DAC．
（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）若二面角A﹣BC﹣E的大小為135°，求直線DB與平面BEFC所成角的大小．
【解答】（Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)M，連接AM，∵AB＝AC，∴BC⊥AM，
又∵，∠DAB＝∠DAC．AD＝AD，∴△DAB與△DAC全等，則DB＝DC，
∴BC⊥DM，而AM∩DM＝M，于是BC⊥平面ADM，而AD?面ADM，故BC⊥AD；
（II）取EF的中點(diǎn)N，連接DN，MN，而M為BC的中點(diǎn)，所以NE∥BM，NE＝MB，
所以四邊形BENM是平行四邊形，則BE∥NM，BE＝NM，又BE∥AD，BE＝AD，
所以AD∥NM，AD＝NM，所以四邊形AMND是平行四邊形，由（1）知，BC⊥AM，BC⊥AD；
則BC⊥MN，所以∠AMN是二面角A﹣BC﹣E的平面角，所以∠AMN＝135°，
設(shè)AB＝AC＝AD＝2，而∠BAC＝90°，易得AM＝DN＝BM，易知∠DAM＝45°，
由余弦定理可得，DM2＝AD2+AM2﹣2AD×AM×cs45°＝2，所以DM，
所以BD2，過(guò)D作DG⊥MN于點(diǎn)G，由（1）BC⊥面ADM，DG?平面ADM，則BC⊥DG，
而B(niǎo)C∩MN＝M，所以DG⊥面BEFC，則∠DBG是DB與面BCFE所成的角，
在平行四邊形AMND中，易知DG⊥GB，DN，∠DNG＝45°，則DG＝1，
在直角△DGB中，sin，∠DGB，所以直線DB與平面BEFC所成角的大小為30°．
21．（12分）已知函數(shù)，x∈[0，π]．注：e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），求證：|f'（x）|≤1．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝e﹣x（csx﹣sinx）e﹣xcs（x），
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（，π）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）；單調(diào)遞減區(qū)間為（，π）；
（Ⅱ）證明：∵f″（x）＝﹣2e﹣x?csx，
∴f'（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，π）上單調(diào)遞增，
又f′（），f′（0）＝1，f′（π）＝﹣e﹣π，
∴|f′（x）|＝max{|f′（）|，|f′（0）|，|f′（π）|}＝max{，1，e﹣π}＝1．
∴|f'（x）|≤1．
22．（14分）已知數(shù)列{nan}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足：b1＝2，nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）dn，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）（?。┤鬱n＝1，記cn＝an+1bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
（ⅱ）若dn＝2n+1，證明：．
【解答】解：（ I）∵數(shù)列{nan}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列∴，即；
（ II）（i）∵nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）dn，∴兩邊同時(shí)除以n（n+1），
∵，
又∵，
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
兩式相減可得，，
∴．
（ii）∵dn＝2n+1，∴，

累加得，，
∴n≥2時(shí)，，
∴，
，
n＝1時(shí)，，
綜上，原不等式成立．
23．（14分）如圖，橢圓E1：的右焦點(diǎn)為F（，0），橢圓E2：t（0＜t＜1），橢圓E2的切線MN、MP交橢圓E1于M、N、P三點(diǎn)，
切點(diǎn)分別為Q、R．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)；
（Ⅲ）求四邊形OQMR面積的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓E1：的右焦點(diǎn)為F（，0），，∴6﹣m＝3，
∴m＝3………………………………………（3分）
（ II）證明：當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)MN：y＝kx+n，與聯(lián)立，
得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣6t＝0，
Δ＝16k2n2﹣4（1+2k2）（2n2﹣6t）＝8（3t+6tk2﹣n2）＝0，
?n2＝3t（1+2k2），（*）
∴，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
當(dāng)t＝1時(shí)，，即，∴，易得，
從而點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)，
當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，易知點(diǎn)Q仍是線段MN的中點(diǎn)，
所以，點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)．………………………………………………………（7分）
（Ⅲ）由（II）易知，點(diǎn)R是線段MP的中點(diǎn)，，
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，由（*）得，，
當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，，
∴，同理，，
∴，
當(dāng)時(shí)，S四邊形OQMR的最大值為．………………………………………（14分）
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/5/27 9:56:10；用戶：高中數(shù)學(xué)；郵箱：sdgs@xyh.cm；學(xué)號(hào)：28144983

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