1．（5分）直線x+y+2＝0的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知空間向量（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，則x﹣y＝（ ）
A．4B．﹣4C．0D．2
3．（5分）拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線y2＝1的漸近線的距離為（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）圓O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28與O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦長為（ ）
A．2B．2C．D．
5．（5分）在等差數(shù)列{an}中，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，a1＞0，a6a7＜0，則無法判斷正負(fù)的是（ ）
A．S11B．S12C．S13D．S14
6．（5分）四邊形ABCD和ABEF都是正方形，且面ABCD⊥面ABEF，M為線段AF上的點(diǎn)，當(dāng)M從A向F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B到平面MEC的距離（ ）
A．越來越大B．越來越小
C．先增大再減小D．先減小再增大
7．（5分）如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路AA1或AA2運(yùn)送到形狀為四邊形區(qū)域A1A2A3A4的農(nóng)貿(mào)市場中去，現(xiàn)要求在農(nóng)貿(mào)市場中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路AA1運(yùn)送蔬菜較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路AA2運(yùn)送蔬菜較近，則該界線所在曲線為（ ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
8．（5分）設(shè)橢圓1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，|PF1|＝λ|PF2|（λ≤3），則橢圓的離心率的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共四小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．
（多選）9．（5分）已知四面體ABCD，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
（多選）10．（5分）函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．a(chǎn)＞0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)+b+c＞0
（多選）11．（5分）小明從家里到學(xué)校行走的路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系表示如圖，記t時(shí)刻的瞬時(shí)速度為V（t），區(qū)間[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度分別為V1，V2，V3，則下列判斷正確的有（ ）
A．V1＜V2＜V3
B．
C．對于Vi（i＝1，2，3），存在mi∈（0，t2），使得V（mi）＝Vi
D．整個(gè)過程小明行走的速度一直在加快
（多選）12．（5分）集合．記An中的最大元素為bn，An中的元素之和為Sn，記集合A的元素個(gè)數(shù)為 card（A），則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．card（A5）＝64B．
C．S5＜16D．
三、填空題：本題共四小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知直線l1：2ax+y﹣2＝0與直線l2：2x+ay﹣3＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝ ．
14．（5分）寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ ．
①；
②{an}單調(diào)遞增．
15．（5分）如圖，一個(gè)小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的，若已知小球經(jīng)過的路程為m，則小球落地的次數(shù)為 ．
16．（5分）對任意x＞0，若不等式ax2≤ex+axlnx恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)（0，1）且被x軸正半軸分成兩段圓弧，其弧長之比為1：2．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（3，2），是否存在弦AB被點(diǎn)P平分？若存在，求直線AB的方程；若不存在，請說明理由．
18．（12分）如圖，三棱錐A﹣BCD中，△ABC為等邊三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）當(dāng)AD與平面BCD所成角為45°時(shí)，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
19．（12分）一杯100℃的開水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設(shè)每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比．
（1）求n（n∈N*）分鐘后的水溫tn；
（2）當(dāng)水溫在40℃到55℃之間時(shí)（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開后哪個(gè)時(shí)間段飲用最佳．（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3．）
20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC面積為，求m．
21．（12分）如圖，曲線y＝x2（x≥0）在點(diǎn)Q0（1，1）處的切線交x軸于點(diǎn)P1，過P1作斜率為﹣1的直線交曲線于點(diǎn)Q1；曲線在點(diǎn)Q1處的切線交x軸于點(diǎn)P2，過P2作斜率為﹣1的直線交曲線于點(diǎn)Q2，…依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，…；記點(diǎn)．
（1）求x1；
（2）求xn+1與xn的關(guān)系式；
（3）求證：（2x1+1）（2x2+1）（2x3+1）???（2xn+1）＜3．
22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x2lnx+ax+1（a∈R）．
（1）若x＝1是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)a＜﹣1時(shí)，求證：f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且（其中x0是f（x）的極值點(diǎn)）．
2021-2022學(xué)年浙江省溫州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）直線x+y+2＝0的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵直線l的方程為x+y+2＝0，
∴直線l的斜率k＝﹣1，
∴直線l的傾斜角α．
故選：D．
2．（5分）已知空間向量（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，則x﹣y＝（ ）
A．4B．﹣4C．0D．2
【解答】解：∵（2，﹣1，1），（﹣4，x，y），∥，
∴，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴x﹣y＝4，
故選：A．
3．（5分）拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線y2＝1的漸近線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)（1，0）到雙曲線y2＝1的漸近線x±2y＝0的距離為：．
故選：B．
4．（5分）圓O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28與O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦長為（ ）
A．2B．2C．D．
【解答】解：由圓O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28，O2：x2+（y﹣4）2＝18，
可得兩圓的公共弦所在直線方程為x﹣3y+12＝0．
圓心O1（1，1）到直線x﹣3y+12＝0的距離d，
∴圓O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28與O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦長為．
故選：D．
5．（5分）在等差數(shù)列{an}中，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，a1＞0，a6a7＜0，則無法判斷正負(fù)的是（ ）
A．S11B．S12C．S13D．S14
【解答】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，a1＞0，a6a7＜0，
所以a6＞0，a7＜0，a8＜0，
A：S1111a6＞0，可以確定正負(fù)；
B：S126（a6+a7）無法確定正負(fù)；
C：S1313a7＜0，可以確定正負(fù)；
D：S147（a7+a8）＜0，可以確定正負(fù)．
故選：B．
6．（5分）四邊形ABCD和ABEF都是正方形，且面ABCD⊥面ABEF，M為線段AF上的點(diǎn)，當(dāng)M從A向F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B到平面MEC的距離（ ）
A．越來越大B．越來越小
C．先增大再減小D．先減小再增大
【解答】解：如圖，
當(dāng)M從A向F運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐M﹣EBC的底面三角形EBC的面積為定值，高為AB的長，是定值，
則三棱錐M﹣EBC的體積為定值，點(diǎn)B到平面MEC的距離h的變化情況，隨平面EMC的變化而變化，
由題意可知，平面ABCD⊥面ABEF，則△ABC為△MEC在底面上的射影面，
△ABC的面積為定值，在M從A向F運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面MEC與底面ABC所成角θ逐漸減小，
由csθ，可得逐漸減小，
由，可得點(diǎn)B到平面MEC的距離h逐漸增大．
故選：A．
7．（5分）如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路AA1或AA2運(yùn)送到形狀為四邊形區(qū)域A1A2A3A4的農(nóng)貿(mào)市場中去，現(xiàn)要求在農(nóng)貿(mào)市場中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路AA1運(yùn)送蔬菜較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路AA2運(yùn)送蔬菜較近，則該界線所在曲線為（ ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
【解答】解：設(shè)M是界限上的一點(diǎn)，
則|MA1|+|AA1|＝|MA2|+|AA2|，
所以|MA1|﹣|MA2|＝|AA2|﹣|AA1|，即||MA1|﹣|MA2||＝||AA2|﹣|AA1||，
在△AA1A2中，||AA2|﹣|AA1||＜|A1A2|，
所以點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，
即該界線所在曲線為雙曲線．
故選：C．
8．（5分）設(shè)橢圓1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，|PF1|＝λ|PF2|（λ≤3），則橢圓的離心率的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由，∴，
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cs60°
即（2c）2＝（）2+（）2﹣2，
上式兩邊同除以（2a）2，得e2＝（）2+（）2111，
∴e，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)λ＝1時(shí)成立，故橢圓的離心率的最小值為．
故選：A．
二、選擇題：本題共四小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．
（多選）9．（5分）已知四面體ABCD，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由題意可得四面體A﹣BCD為正四面體，如圖，
A：∵AF∩平面ABC＝A，CE∈平面ABC，且A?CE，由異面直線的定義可知，AF，CE為異面直線，∴A錯(cuò)誤，
B：∵??（）??2×22×20，∴⊥，∴B正確，
C：∵?（）???2×22×（）＝2﹣3＝﹣1，∴錯(cuò)誤C，
D：∵E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，
∴（），∴2，∴D正確，
故選：BD．
（多選）10．（5分）函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．a(chǎn)＞0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)+b+c＞0
【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝3ax2+2bx+c，
由f（x）的圖象可得﹣1，3是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
即有﹣1，3是方程3ax2+2bx+c＝0的兩根，
則﹣1+3，﹣1×3，解得b＝﹣3a，c＝﹣9a，
當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，所以a＞0，b＜0，c＜0，
a+b+c＝a﹣3a﹣9a＝﹣11a＜0，
故選：ABC．
（多選）11．（5分）小明從家里到學(xué)校行走的路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系表示如圖，記t時(shí)刻的瞬時(shí)速度為V（t），區(qū)間[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度分別為V1，V2，V3，則下列判斷正確的有（ ）
A．V1＜V2＜V3
B．
C．對于Vi（i＝1，2，3），存在mi∈（0，t2），使得V（mi）＝Vi
D．整個(gè)過程小明行走的速度一直在加快
【解答】解；由題意可知；V1，V2，V3，
由圖像可知t1＜t2且2t1＞t2，因此V1V2，t2﹣2（t2﹣t1）＝2t1﹣t2＞0，
所以t2＞2（t2﹣t1），因此V2V3，此時(shí)V1＜V2＜V3，故A正確；
由V1+V3﹣2V3＝S0（），可化為0，故，故B正確；
由圖像可知，直線與曲線的交點(diǎn)為（t1，），故存在mi∈（0，t2），使得V（mi）＝Vi，即當(dāng)mi＝t1時(shí)，V（V1）＝V1，故C 正確；
t時(shí)刻的瞬時(shí)速度為V（t），判斷平均速度的快慢，可以看整個(gè)曲線在各點(diǎn)處的切線方程的斜率，由圖像可知，當(dāng)t＝t1時(shí)，切線方程的斜率最大，故而在此時(shí)，平均速度最快，故D不正確．
故選：ABC．
（多選）12．（5分）集合．記An中的最大元素為bn，An中的元素之和為Sn，記集合A的元素個(gè)數(shù)為 card（A），則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．card（A5）＝64B．
C．S5＜16D．
【解答】解：對于集合A5，元素如下：
所以card（A5）＝32，，S5＝15.5＜16，所以A錯(cuò)誤，BC正確．
對于集合A6，元素如下：
所以，D選項(xiàng)正確．
故選：BCD．
三、填空題：本題共四小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知直線l1：2ax+y﹣2＝0與直線l2：2x+ay﹣3＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝ ±1 ．
【解答】解：直線l1：2ax+y﹣2＝0與直線l2：2x+ay﹣3＝0平行，
則：2a2﹣2＝0，解得a＝±1；
故答案為：±1．
14．（5分）寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ n ．
①；
②{an}單調(diào)遞增．
【解答】解：由①，
令m＝1，則an+1＝a1+an，
則an+1﹣an＝a1，
∴a2﹣a1＝a1，
a3﹣a2＝a1，
a4﹣a3＝a1，
???，
an﹣an﹣1＝a1，
∴an＝na1，
令a1＝1，
則an＝n，
則{an}單調(diào)遞增，
∴an＝n．
故答案為：n．
15．（5分）如圖，一個(gè)小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的，若已知小球經(jīng)過的路程為m，則小球落地的次數(shù)為 4 ．
【解答】解：小球每次著地后又彈回的高度構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公比為，
所以10+2，即10+10×（1），
解得n＝3，
所以小球落地的次數(shù)為n+1＝4．
故答案為：4．
16．（5分）對任意x＞0，若不等式ax2≤ex+axlnx恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為 e ．
【解答】解：原不等式ax2≤ex+axlnx，x＞0，可化為，
即，
設(shè)，其中x＞0，
則，
所以在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，
設(shè) ，
①a≤e時(shí)，f′（t）≥0，f（t）在[e，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（t）的最小值f（t）min＝f（e）＝e﹣alne＝e﹣a≥0，符合題意；
②a＞e，f（t）在（e，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（t）的最小值為f（t）min＝f（a）＝a﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，而a＞e，所以1﹣lna＜0，與條件矛盾，故不成立；
所以實(shí)數(shù)a的最大值為e．
故答案為：e．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)（0，1）且被x軸正半軸分成兩段圓弧，其弧長之比為1：2．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（3，2），是否存在弦AB被點(diǎn)P平分？若存在，求直線AB的方程；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）因?yàn)槲挥趛軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0，1），
所以圓心C在直線y＝1上，
設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)分別為A、B，
由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為1：2，得∠ACB，
所以CA＝CB＝2，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），
所以圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
（2）由點(diǎn)P（3，2），有（3﹣2）2+（2﹣1）2＝2＜4，所以點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，
假設(shè)存在弦AB被點(diǎn)P平分，則AB⊥CP，又kCP1，所以kAB＝﹣1，
所以AB的方程為y﹣3＝﹣（x﹣2），即x+y﹣5＝0，
此時(shí)圓心C到直線AB的距離d2，所以直線AB與圓C相交，
所以存在弦AB被點(diǎn)P平分，此時(shí)直線AB的方程為x+y﹣5＝0．
18．（12分）如圖，三棱錐A﹣BCD中，△ABC為等邊三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）當(dāng)AD與平面BCD所成角為45°時(shí)，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）在三棱錐A﹣BCD中，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，又CD⊥BC，CD?面BCD，
∴CD⊥面ABC，又∵AB?面ABC，
∴CD⊥AB；
（2）取BC中點(diǎn)F，連接AF，Df，如圖，
因△ABC，于是得AF⊥平面BCD，∠ADF是AD與平面BCD所成角，即∠ADF＝45°，
令BC＝2，則DF＝AF，因CD⊥BC，即有DC，由（1）知DC⊥AC，則有AD＝BD，
過C作CO⊥AD于O，在平面ABD內(nèi)過O作OE⊥AD交BD于點(diǎn)E，從而得∠COE是二面角C﹣AD﹣B的平面角，
Rt△ACD中，CO，OD，
△ABD中，由余弦定理得cs∠EDO．
∴DE，OE，顯然E是Rt△BCD斜邊中點(diǎn)，則CEBD，
△COE中，由余弦定理得cs∠COE．
∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值為．
19．（12分）一杯100℃的開水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設(shè)每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比．
（1）求n（n∈N*）分鐘后的水溫tn；
（2）當(dāng)水溫在40℃到55℃之間時(shí)（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開后哪個(gè)時(shí)間段飲用最佳．（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3．）
【解答】解：（1）每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比，
可設(shè)比例系數(shù)為k，
則100﹣85＝k（100﹣25），解得k，
設(shè)一分鐘后的水溫為t1，則t1＝85，
設(shè)n分鐘后的水溫為tn，
則，n≥2，即，
所以，t1﹣25＝60，
故數(shù)列{tn﹣25}是以60為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即，顯然t1＝85也符合上式，
故．
（2）令，即，兩邊取對數(shù)可得，
，即﹣2lg2≤（n﹣1）（3lg2﹣1）≤﹣lg2，
∵lg2≈0.3，
∴4≤n≤7，
故在水燒開后4到7分鐘之間飲用最佳．
20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC面積為，求m．
【解答】解：（1）由橢圓的離心率e，可得a2＝4b2，
將A的坐標(biāo)代入可得1，可得a2＝4，b2＝1；
所以橢圓的方程為：y2＝1；
（2）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），
聯(lián)立，整理可得：x2﹣mx+m2﹣1＝0，
Δ＝3m2﹣4×1×（m2﹣1）＞0，可得m2＜4，且x1+x2m，x1x2＝m2﹣1；
所以弦長|BC|??，
點(diǎn)A到直線l的距離為：d，
所以S△ABC|BC|?d???，
解得：m＝﹣1，
所以m的值為﹣1．
21．（12分）如圖，曲線y＝x2（x≥0）在點(diǎn)Q0（1，1）處的切線交x軸于點(diǎn)P1，過P1作斜率為﹣1的直線交曲線于點(diǎn)Q1；曲線在點(diǎn)Q1處的切線交x軸于點(diǎn)P2，過P2作斜率為﹣1的直線交曲線于點(diǎn)Q2，…依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，…；記點(diǎn)．
（1）求x1；
（2）求xn+1與xn的關(guān)系式；
（3）求證：（2x1+1）（2x2+1）（2x3+1）???（2xn+1）＜3．
【解答】解：（1）y＝2x，則k2，故直線P1Q0的方程為y＝2（x﹣1）+1＝2x﹣1，即
直線P1Q1的方程為 ，與y＝x2（x≥0）聯(lián)立得出，
解得．
（2）由 （1）可得，則直線Pn+1Qn的方程為，即，
直線Pn+1Qn+1的方程為 與y＝x2（x≥0）聯(lián)立得出，
即 ，故 ，
證明：（3）由 （2）可得 ，解得xn+1，即，
則，
故，
由，
可得．
22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x2lnx+ax+1（a∈R）．
（1）若x＝1是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)a＜﹣1時(shí)，求證：f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且（其中x0是f（x）的極值點(diǎn)）．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）＝2xlnx+x+a，
由題意，得f'（1）＝1+a＝0，解得a＝﹣1，經(jīng)驗(yàn)證符合要求．
（2）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）＝2xlnx+x+a，f''（x）＝2lnx+3，
令f''（x）＞0，得，令f''（x）＜0，得，
即f'（x）＝2xlnx+x+a在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且f'（﹣a）＝﹣2aln（﹣a）＞0，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f'（x）＝2xlnx+x+a≤1+a＜0恒成立，
故存在x0∈（1，﹣a），使得f'（x0）＝0，且當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x0）＜f（1）＝a+1＜0，
因?yàn)?﹣a＞e，所以f（2﹣a）＝（2﹣a）2ln（2﹣a）+a（2﹣a）+1＞（2﹣a）2+a（2﹣a）+1＝﹣2a+5＞0，
令g（x）＝xlnx（x＞0），g'（x）＝1+lnx，
令g'（x）＞0，得，令g'（x）＜0，得，
所以，所以f（x）＝x?xlnx+ax+1＞﹣x+ax+1，
則，
故存在，x2∈（x0，2﹣a），使得f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
接下來證明：，
因?yàn)椋?x0lnx0+x0+a＝0，
消去a，得，其中x0＞1，
所以2x0lnx0＞0，而x1＜1，所以x1lnx1＜0，
故，證畢；
接下來證明：，即x2＜2x0，
因?yàn)閒（x）在x∈（x0，+∞）上單調(diào)遞增，所以只需證f（2x0）＞f（x2）＝0，
即①，因?yàn)?x0lnx0+x0+a＝0，即a＝﹣2x0lnx0﹣x0，
代入①中，得，即，顯然成立，結(jié)論得證；
綜上，f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且（其中x0是f（x）的極值點(diǎn)）．
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