?2020-2021學(xué)年浙江省寧波市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣2i（i為虛數(shù)單位），則（　?。?br /> A． B． C．1﹣2i D．1+2i
2．（5分）已知△ABC中，AB＝2，且，則△ABC周長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．4
3．（5分）如圖，水平放置的矩形ABCD，AB＝3cm，AD＝1cm，則其直觀圖的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．
4．（5分）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（　?。?br /> A． B． C． D．﹣1
5．（5分）給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（　　）
①垂直于同一直線的兩條直線平行；
②垂直于同一平面的兩條直線平行；
③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；
④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
6．（5分）在三棱錐P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝1，AC＝5，，則三棱錐P﹣ABC的外接球的體積為（　?。?br /> A．24π B．36π C．72π D．144π
7．（5分）已知在△ABC中，D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，，，若（λ1，λ2為實(shí)數(shù)），則λ1+λ2的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
8．（5分）某學(xué)校有男生400人，女生600人．為調(diào)查該校全體學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用分層抽樣的方法抽取樣本，計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間均值為7.5小時(shí)，方差為1，女生每天睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為0.5．若男、女樣本量按比例分配，則可估計(jì)總體方差為（　　）
A．0.45 B．0.62 C．0.7 D．0.76
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．
（多選）9．（5分）已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)的折線圖如下，則下列說法正確的是（　　）

A．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則
B．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則
C．甲成績(jī)的極差大于乙成績(jī)的極差
D．甲成績(jī)比乙成績(jī)穩(wěn)定
（多選）10．（5分）對(duì)任意向量，，，下列關(guān)系式中恒成立的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
（多選）11．（5分）已知復(fù)數(shù)z1＝2﹣2i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z2滿足|z2﹣i|＝1，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)的點(diǎn)在第四象限
B．z2﹣z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
C．|z1﹣z2|的最大值為
D．|z1+z2|的最小值為
（多選）12．（5分）已知α，β，γ是三個(gè)不同平面，a，b，c為三條不同直線，且α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，則（　　）
A．α，β，γ可以把空間最多分成7部分
B．若a∩b＝O，則a，b，c交于一點(diǎn)O
C．若a∥b，則a∥c，b∥c
D．若α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，則a⊥b，a⊥c，b⊥c
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知向量，，則　 　．
14．（5分）如圖，三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1的上、下底邊長(zhǎng)之比為1：2，記三棱錐C1﹣A1B1B體積為V1，三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1的體積為V2，則　 　．

15．（5分）已知△ABC，A，BC＝2，則AB的最大值為 　 　．
16．（5分）已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△APC，△BPC的面積之比為 　 ?。?br /> 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）（Ⅰ）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：x2+4x+5＝0；
（Ⅱ）如圖，在矩形ABCD中，，BC＝2，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，求的值．

18．（12分）某市一濕地公園建設(shè)項(xiàng)目中，擬在如圖所示一片水域打造一個(gè)淺水灘，并在A、B、C、D四個(gè)位置建四座觀景臺(tái)，在凸四邊形ABCD中，AD＝BC＝CD千米，AB千米．
（Ⅰ）求證：cosC；
（Ⅱ）現(xiàn)要在A、C兩處連接一根水下直管道，已知cosA，問最少應(yīng)準(zhǔn)備多少千米管道．

19．（12分）已知三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，△PAC是以PC為斜邊的等腰直角三角形，?÷ABC是以AC為斜邊的直角三角形，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，E為PB上一點(diǎn)，且AE⊥PB．
（Ⅰ）現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①EF⊥PC；②F為PC中點(diǎn)．從中任意選一個(gè)條件為已知條件，求證：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）若PC⊥平面AEF，直線AC與平面AEF所成角和直線AC與平面PAB所成角相等，且PA＝2，求三棱錐P﹣ABC的體積．

20．（12分）首次實(shí)施新高考的八?。ㄊ校┯?021年1月23日統(tǒng)一舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績(jī)，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基計(jì)劃．在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求出圖中a的值并估計(jì)本次考試及格率（“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占比例）；
（Ⅱ）估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)；
（Ⅲ）估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù)．

21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（2a+b）cosC+c?cosB＝0．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若a+b＝5，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∠ACD＝30°，求a，b．
22．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD．
（Ⅰ）判斷M點(diǎn)在PB的位置并說明理由；
（Ⅱ）記直線DM與平面PAC的交點(diǎn)為K，求的值；
（Ⅲ）若異面直線CM與AP所成角的余弦值為，求二面角M﹣CD﹣A的平面角的正切值．


2020-2021學(xué)年浙江省寧波市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣2i（i為虛數(shù)單位），則（　?。?br /> A． B． C．1﹣2i D．1+2i
【解答】解：因?yàn)閦＝1﹣2i，
所以．
故選：A．
2．（5分）已知△ABC中，AB＝2，且，則△ABC周長(zhǎng)為（　?。?br /> A． B． C． D．4
【解答】解：a，b，c對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為BC，AC，AB，
∵，
∴由正弦定理，可得a+b，
∵AB＝2，
∴a+b＝2，
∴△ABC周長(zhǎng)為a+b+c．
故選：B．
3．（5分）如圖，水平放置的矩形ABCD，AB＝3cm，AD＝1cm，則其直觀圖的面積為（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由題意可計(jì)算水平放置的矩形ABCD的面積為：3×1＝3cm2．
∴其直觀圖面積cm2，
故選：C．
4．（5分）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（　?。?br /> A． B． C． D．﹣1
【解答】解：∵向量，，1，
∴向量在向量上的投影向量為：．
故選：A．
5．（5分）給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（　?。?br /> ①垂直于同一直線的兩條直線平行；
②垂直于同一平面的兩條直線平行；
③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；
④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【解答】解：對(duì)于①，垂直于同一直線的兩條直線平行、相交或異面，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，垂直于同一平面的兩條直線平行，故②正確；
對(duì)于③，垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故③正確；
對(duì)于④，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，故④錯(cuò)誤．
故選：C．
6．（5分）在三棱錐P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝1，AC＝5，，則三棱錐P﹣ABC的外接球的體積為（　?。?br /> A．24π B．36π C．72π D．144π
【解答】解：如圖，∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PA⊥AB，
同理：PA⊥AC，
又∵AB⊥AC，
∴該三棱錐是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，兩者的外接球相同，
∵長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是該長(zhǎng)方體外接球的直徑，
又∵長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為：，
∴外接球的直徑2R＝6，
∴R＝3，
∴球的體積V36π，

故選：B．
7．（5分）已知在△ABC中，D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，，，若（λ1，λ2為實(shí)數(shù)），則λ1+λ2的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)?br /> ，
所以，
則，
故選：D．
8．（5分）某學(xué)校有男生400人，女生600人．為調(diào)查該校全體學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用分層抽樣的方法抽取樣本，計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間均值為7.5小時(shí)，方差為1，女生每天睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為0.5．若男、女樣本量按比例分配，則可估計(jì)總體方差為（　?。?br /> A．0.45 B．0.62 C．0.7 D．0.76
【解答】解：由題意，總體的均值為，
根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，則總體的方差為：
0.436+0.324＝0.76．
故選：D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．
（多選）9．（5分）已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)的折線圖如下，則下列說法正確的是（　?。?br />
A．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則
B．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則
C．甲成績(jī)的極差大于乙成績(jī)的極差
D．甲成績(jī)比乙成績(jī)穩(wěn)定
【解答】解：由折線圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué)，
其他次考試成績(jī)都高于乙同學(xué)，所以，故選項(xiàng)A正確；
由折線圖的變化趨勢(shì)可知，甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)的成績(jī)穩(wěn)定，
所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；
極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差，
所以甲同學(xué)成績(jī)的極差小于乙同學(xué)成績(jī)的極差，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
故選：AD．
（多選）10．（5分）對(duì)任意向量，，，下列關(guān)系式中恒成立的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】解：對(duì)于A，|||||cos，|≤||||，故A正確；
對(duì)于B，（）表示與平行的向量，（）表示與平行的向量，
而與的關(guān)系是不確定的，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，向量的平方等于向量模的平方，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋ǎ?（）||2﹣||2，故D正確．
故選：ACD．
（多選）11．（5分）已知復(fù)數(shù)z1＝2﹣2i（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z2滿足|z2﹣i|＝1，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)的點(diǎn)在第四象限
B．z2﹣z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
C．|z1﹣z2|的最大值為
D．|z1+z2|的最小值為
【解答】解：復(fù)數(shù)z1＝2﹣2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，則P（2，﹣2），
所以點(diǎn)P在第四象限，故選項(xiàng)A正確；
復(fù)數(shù)z2滿足|z2﹣i|＝1，則z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓，
故z2﹣z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不一定在第一象限，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
|z1﹣z2|表示點(diǎn)P，Q之間的距離，所以|z1﹣z2|的最大值為PC+1，故選項(xiàng)C正確；
|z1+z2|表示點(diǎn)Q與點(diǎn)P'（﹣2，2）之間的距離，
所以|z1+z2|的最小值為P'C﹣1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）12．（5分）已知α，β，γ是三個(gè)不同平面，a，b，c為三條不同直線，且α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，則（　?。?br /> A．α，β，γ可以把空間最多分成7部分
B．若a∩b＝O，則a，b，c交于一點(diǎn)O
C．若a∥b，則a∥c，b∥c
D．若α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，則a⊥b，a⊥c，b⊥c
【解答】解：對(duì)于A，若α、β、γ兩兩相交，且共點(diǎn)，可得它們將空間分成8個(gè)部分，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)閍∩b＝O，則O∈a，O∈b，又α∩β＝a，α∩γ＝b
∴O∈β．O∈γ，
∵α∩γ＝c，
∴O∈c，即a、b、c三線共點(diǎn)，則B正確；
對(duì)于C，由a∥b，b?β，a?β，可得b∥β，b?γ，β∩γ＝c，可得b∥c，a∥c，故C正確；
對(duì)于D，若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝b，
由面面垂直的性質(zhì)定理可得 b⊥α，
∵a?α，c?α，
∴a⊥b，b⊥c，b⊥c，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知向量，，則　1?。?br /> 【解答】解：向量，，則1×3﹣2×1＝1．
故答案為：1．
14．（5分）如圖，三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1的上、下底邊長(zhǎng)之比為1：2，記三棱錐C1﹣A1B1B體積為V1，三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1的體積為V2，則　1：7?。?br />
【解答】解：由三角形的相似性可知上下底面的面積比值為1：4，設(shè)，
設(shè)棱臺(tái)的高為h，則點(diǎn)B到△A1B1C1的距離也是h，
從而：．
故答案為：1：7．
15．（5分）已知△ABC，A，BC＝2，則AB的最大值為 　　．
【解答】解：根據(jù)正弦定理，，
∴，
∵當(dāng)C時(shí)，sinC＝1，
∴AB的最大值為．
故答案為：．
16．（5分）已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△APC，△BPC的面積之比為 　　．
【解答】解：方法一：由P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，，
可得2（3（）
取AC的中點(diǎn)為F，BC的中點(diǎn)為G，如圖所示，
則2，
所以，
故答案為：．
方法二：因?yàn)镻為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，，
所以由奔馳定理可得：S△PBC：S△PAC：S△PAB＝2：3：5，
所以，
故答案為：．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）（Ⅰ）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：x2+4x+5＝0；
（Ⅱ）如圖，在矩形ABCD中，，BC＝2，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，求的值．

【解答】解：（Ⅰ）方程x2+4x+5＝0可化為（x+2）2＝﹣1，
所以x+2＝±i，
解得原方程的根為﹣2+i或﹣2﹣i．
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，D（0，2），，．
設(shè)F（x，2），由，解得x＝1，
所以．
18．（12分）某市一濕地公園建設(shè)項(xiàng)目中，擬在如圖所示一片水域打造一個(gè)淺水灘，并在A、B、C、D四個(gè)位置建四座觀景臺(tái)，在凸四邊形ABCD中，AD＝BC＝CD千米，AB千米．
（Ⅰ）求證：cosC；
（Ⅱ）現(xiàn)要在A、C兩處連接一根水下直管道，已知cosA，問最少應(yīng)準(zhǔn)備多少千米管道．

【解答】解：（Ⅰ）證明：由余弦定理：BD2＝AD2+AB2﹣2AD?AB?cosA＝CD2+CB2﹣2CD?CB?cosC，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，∴由（Ⅰ）得，求得，
∴△BCD為正三角形，，．
∴在△ABD中，，
∴，
∴在△ACD中，．
∴．（說明：不扣分）．
19．（12分）已知三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，△PAC是以PC為斜邊的等腰直角三角形，?÷ABC是以AC為斜邊的直角三角形，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，E為PB上一點(diǎn)，且AE⊥PB．
（Ⅰ）現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①EF⊥PC；②F為PC中點(diǎn)．從中任意選一個(gè)條件為已知條件，求證：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）若PC⊥平面AEF，直線AC與平面AEF所成角和直線AC與平面PAB所成角相等，且PA＝2，求三棱錐P﹣ABC的體積．

【解答】（Ⅰ）證明：若選①EF⊥PC
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．
又AE?平面PAB，∴BC⊥AE．
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，∴AE⊥平面PBC．
又PC?平面PBC，∴AE⊥PC．
又EF⊥PC，EF∩AE＝E，∴PC⊥平面AEF；
若選②F為PC中點(diǎn)，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．
又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．
又AE?平面PAB，∴BC⊥AE．
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，∴AE⊥平面PBC．
又PC?平面PBC，∴AE⊥PC．
又F為等腰直角三角形PAC斜邊PC中點(diǎn)，
則AF⊥PC，而AF∩AE＝E，
∴PC⊥平面AEF．
（Ⅱ）解：由PC⊥平面AEF，BC⊥平面PAB可知，
∠CAF與∠CAB分別為AC與平面AEF及BC與平面PAB所成線面角，
∴∠CAF＝∠CAB，
又，，
又PA＝AC＝2，∴，求得，
∴．

20．（12分）首次實(shí)施新高考的八?。ㄊ校┯?021年1月23日統(tǒng)一舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績(jī)，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基計(jì)劃．在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求出圖中a的值并估計(jì)本次考試及格率（“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占比例）；
（Ⅱ）估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)；
（Ⅲ）估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù)．

【解答】解：（Ⅰ）由（0.004+a+0.013+0.014+0.016）×20＝1得a＝0.003，
則及格率為：（0.016+0.014+0.003）×20＝0.66＝66%．
（Ⅱ）得分在110以下的學(xué)生所在比例為（0.004+0.013+0.016）×20＝0.66，
得分在130以下的學(xué)生所占比例為0.66+0.014×20＝0.94，
所以第80百分位數(shù)位于[110，130）內(nèi)，
由，
估計(jì)第80百分位數(shù)為120．
（Ⅲ）由圖可得，眾數(shù)估計(jì)值為100．
平均數(shù)估計(jì)值為0.08×60+0.26×80+0.32×100+0.28×120+0.06×140＝99.6．
21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（2a+b）cosC+c?cosB＝0．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若a+b＝5，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∠ACD＝30°，求a，b．
【解答】解：（Ⅰ）解法一：
由（2a+b）cosC+c?cosB＝0得（2sinA+sinB）cosC+sinC?cosB＝0，
所以2sinAcosC+sinBcosC+sinC?cosB＝0，
所以2sinAcosC+sin（B+C）＝0，
即2sinAcosC+sinA＝0消去sinA得，
所以．
解法二：
由余弦定理得，
整理得，所以a2+b2﹣c2＝﹣ab，
即，所以．
（Ⅱ）解法一：∵∠ACD＝30°，∠BCA，∴∠BCD＝90°，
∴在Rt△BCD中，，
在△ACD中，，得．
又sin∠ADC＝sin∠BDC，所以，即2a＝b．
又a+b＝5，解得，．
解法二：
因?yàn)椤螦CD＝30°，所以∠BCD＝90°，，所以b＝2a，
又a+b＝5，所以，．
22．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD．
（Ⅰ）判斷M點(diǎn)在PB的位置并說明理由；
（Ⅱ）記直線DM與平面PAC的交點(diǎn)為K，求的值；
（Ⅲ）若異面直線CM與AP所成角的余弦值為，求二面角M﹣CD﹣A的平面角的正切值．

【解答】解：（Ⅰ）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)OM，
∵PD∥平面MAC，OM?平面PBD，平面MAC∩平面PBD＝OM，
∴PD∥OM，
又∵O為BD中點(diǎn)，∴M為PB中點(diǎn)；
（Ⅱ）如圖，連結(jié)OP，則K＝OP∩DM，K為△PBD重心，
∴．
（Ⅲ）取AD中點(diǎn)H，連結(jié)PH，HB，
取HB中點(diǎn)G，連結(jié)MG，GC，可知MG∥PH．
取AB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，NC，可知MN∥PA，
∴∠CMN或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，如圖．
∵平面PAD⊥平面ABCD，AD＝平面PAD∩平面ABCD，PH⊥AD．
∴PH⊥平面ABCD，因此MG⊥上平面ABCD．
令PH＝t（t＞0），AD＝2，可計(jì)算得：，，
，，，
∴cos∠CMN，
整理得3t4﹣28t2+25＝0，解得t2＝1，，即t＝1，．
過G作GQ⊥CD交CD于Q，連結(jié)MQ．
證得CD⊥平面MGQ，∴CD⊥MQ，
則∠MQG就是所求二面角的平面角，如圖．
∴或．

聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/5/26 10:16:16；用戶：高中數(shù)學(xué)；郵箱：sdgs@xyh.com；學(xué)號(hào)：28144983

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