?離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差
基礎(chǔ)篇
【基礎(chǔ)集訓(xùn)】
考點(diǎn)一　離散型隨機(jī)變量及其分布列
1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下,則P(|X-2|=1)等于 (　　)
X
1
2
3
4
P
16
14
m
13
A.712　　B.12　　C.512　　D.16
答案　C
2.為創(chuàng)建國(guó)家級(jí)文明城市,某城市號(hào)召出租車司機(jī)在高考期間至少進(jìn)行一次“愛心送考”,該城市某出租車公司共200名司機(jī),他們進(jìn)行“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)求該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù);
(2)從這200名司機(jī)中任選兩人,設(shè)這兩人進(jìn)行送考次數(shù)之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

考點(diǎn)二　離散型隨機(jī)變量的均值與方差
3.已知X的分布列為
X
-1
0
1
P
12
13
16
設(shè)Y=2x+3,則E(Y)的值為 (　　)
A.73　　B.4　　C.-1　　D.1
答案　A
4.已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,若00.5,求正整數(shù)n的最小值;
(3)由圖判斷,從哪天開始的連續(xù)五天上午10:00在該銀行取號(hào)后等待辦理業(yè)務(wù)的人數(shù)的均值最大?(結(jié)論不要求證明)
解析　(1)X的分布列為
X
8
9
10
11
12
13
14
P
13
215
15
115
215
115
115
(2)由(1)可得X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)=8×13+9×215+10×15+11×115+12×215+13×115+14×115=10,
所以m=10.
因?yàn)镻(10-1≤X≤10+1)=615=250.5,
所以nmin=2.
(3)第10日或第11日.
考點(diǎn)二　離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1.(2018廣東省際名校聯(lián)考(二),11)不透明袋子中裝有大小、材質(zhì)完全相同的2個(gè)紅球和5個(gè)黑球,現(xiàn)從中逐個(gè)不放回地摸出小球,直到取出所有紅球?yàn)橹?則摸取次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是 (　　)
A.185　　B.92　　C.367　　D.163
答案　D　當(dāng)X=k時(shí),第k次取出的必然是紅球,而前(k-1)次中,有且只有1次取出的是紅球,其余取出的皆為黑球,故P(X=k)=Ck-11C72=k-121,于是得到X的分布列為
X
2
3
4
5
6
7
P
121
221
321
421
521
621
故E(X)=2×121+3×221+4×321+5×421+6×521+7×621=163.故選D.
2.(2018安徽合肥第一中學(xué)沖刺,8)某班級(jí)有男生32人,女生20人,現(xiàn)選舉4名學(xué)生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記和體育委員.男生當(dāng)選的人數(shù)記為ξ,則ξ的數(shù)學(xué)期望為 (　　)
A.1613　　B.2013　　C.3213　　D.4013
答案　C　由題意得ξ=0,1,2,3,4.
P(ξ=0)=C320C204C524,P(ξ=1)=C321C203C524,P(ξ=2)=C322C202C524,P(ξ=3)=C323C201C524,P(ξ=4)=C324C200C524,所以E(ξ)=0×C320C204C524+1×C321C203C524+2×C322C202C524+3×C323C201C524+4×C324C200C524=3213.故選C.
3.(2020四川綿陽(yáng)模擬,7)小明與另外2名同學(xué)進(jìn)行“手心手背”游戲,規(guī)則是:3人同時(shí)隨機(jī)等可能選擇手心或手背中的一種手勢(shì),規(guī)定相同手勢(shì)人數(shù)多者每人得1分,其余每人得0分,現(xiàn)3人共進(jìn)行了4次游戲,記小明4次游戲得分之和為X,則X的期望為 (　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
答案　C　由題意知X的可能取值為0,1,2,3,4,


設(shè)其他兩位同學(xué)為a,b,小明為c,列表如下:
a
b
c
手心
手心
手背
手心
手背
手背
手心
手心
手心
手心
手背
手心
手背
手心
手背
手背
手心
手心
手背
手背
手背
手背
手背
手心
共有8種情況,小明得1分的結(jié)果有6種情況,
∴小明每局得1分的概率P=34,∴X~B4,34,
∴E(X)=4×34=3.故選C.
4.離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,則Dξ的值為　　　　.?
ξ
0
1
2
P
0.2
a
b
答案　0.4
解析　∵Eξ=1,∴結(jié)合離散型隨機(jī)變量ξ的分布列,得a+2b=1,0.2+a+b=1,解得a=0.6,b=0.2,∴Dξ=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.
5.(2018河南南陽(yáng)一中第七次考試,14)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,現(xiàn)逐一檢測(cè),直至能確定所有次品為止,記檢測(cè)的次數(shù)為ξ,則E(ξ)=　　　　.?
答案　72
解析　由題意知ξ=2,3,4,P(ξ=2)=2×15×4=110,P(ξ=3)=C21C31×2×1+A335×4×3=310,P(ξ=4)=1-110-310=610.
因此E(ξ)=2×110+3×310+4×610=72.
6.(2020甘肅、青海、寧夏聯(lián)考,18)某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件,每箱的定價(jià)為200元,低于100箱按原價(jià)銷售;不低于100箱通過(guò)雙方議價(jià),買方能以優(yōu)惠8%成交的概率為0.6,以優(yōu)惠6%成交的概率為0.4.
(1)甲、乙兩單位都要在該廠購(gòu)買150箱這種零件,兩單位各自達(dá)成的成交價(jià)相互獨(dú)立,求甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率;
(2)某單位需要這種零件650箱,求購(gòu)買總價(jià)X的數(shù)學(xué)期望.
解析　(1)因?yàn)榧讍挝粌?yōu)惠比例低于乙單位優(yōu)惠比例的概率為0.4×0.6=0.24,所以甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率為1-0.24=0.76.
(2)設(shè)在折扣優(yōu)惠中每箱零件的價(jià)格為Y元,則Y=184或188.
Y的分布列為
Y
184
188
P
0.6
0.4
則E(Y)=184×0.6+188×0.4=185.6(元).
從而購(gòu)買總價(jià)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=185.6×650=120640(元).
思路分析　(1)先求甲單位優(yōu)惠比例低于乙單位優(yōu)惠比例的概率,再由對(duì)立事件得所求概率;(2)先寫出在折扣優(yōu)惠中每箱零件的價(jià)格的取值,再列分布列求解,從而求得答案.
綜合篇
【綜合集訓(xùn)】
考法　求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的方法
1.(2020浙江東陽(yáng)中學(xué)月考,7)已知隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,若P(X=0)=14,E(X)=1,則D(X)= (　　)
A.32　　B.12　　C.14　　D.1
答案　B
2.(2021屆浙江嘉興9月教學(xué)測(cè)試,14)已知盒中裝有n(n>1)個(gè)紅球和3個(gè)黃球,從中任取2個(gè)球(取到每個(gè)球是等可能的),隨機(jī)變量X表示取到黃球的個(gè)數(shù),且X的分布列為:
X
0
1
2
P
15
a
b
則n=　　　　;E(X)=　　　　.?
答案　3;1
3.(2021屆浙江高考選考科目9月聯(lián)考,13)17世紀(jì),有一個(gè)賭徒向法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡挑戰(zhàn),給他出了一道題目:甲、乙兩個(gè)人賭博,他們兩人獲勝的概率相等,比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家,一共進(jìn)行五局,贏家可以獲得100法郎的獎(jiǎng)勵(lì).當(dāng)比賽進(jìn)行到第四局的時(shí)候,甲勝了兩局,乙勝了一局,這時(shí)由于某些原因中止了比賽,那么如何分配這100法郎才比較公平?因?yàn)榧纵數(shù)艉髢删值目赡苄灾挥?2×12=14,也就是說(shuō),甲贏得后兩局或后兩局中任意贏一局的概率為1-14=34,甲有75%的期望獲得100法郎;而乙期望贏得100法郎就得在后兩局均擊敗甲,乙連續(xù)贏得后兩局的概率為12×12=14,即乙有25%的期望獲得100法郎獎(jiǎng)金.這個(gè)故事里出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞,數(shù)學(xué)期望由此而來(lái).若某隨機(jī)事件的概率分布列滿足P(ξ=i)=a·i10(i=1,2,3,4),則a=　　　　;若E(bξ+1)=325,則b=　　　　.?
答案　1;95
4.(2019廣東佛山順德第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),18)某糕點(diǎn)房推出一類新品蛋糕,該蛋糕的成本價(jià)為4元,售價(jià)為8元.受保質(zhì)期的影響,當(dāng)天沒有銷售完的糕點(diǎn)只能銷毀.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期調(diào)研,統(tǒng)計(jì)了一下該新品的日需求量.現(xiàn)將近期一個(gè)月(30天)的需求量展示如下:
日需求量X(個(gè))
20
30
40
50
天數(shù)
5
10
10
5
(1)從這30天中任取兩天,求兩天的日需求量均為40個(gè)的概率;
(2)以上表中的頻率作為概率,列出日需求量X的分布列,并求該月的日需求量X的期望;
(3)根據(jù)(2)中的分布列求得當(dāng)該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類蛋糕時(shí),對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)的期望為3203;現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn),一天生產(chǎn)45個(gè),求對(duì)應(yīng)利潤(rùn)的期望,判斷此建議該不該被采納.
5.(2019安徽宣城二模,19)某中學(xué)利用周末組織教職工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng),有N人參加,現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)共七組,其頻率分布直方圖如圖所示,已知[25,30)的參加者是6人.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求該校參加秋季登山活動(dòng)的教職工年齡的中位數(shù);
(2)已知[35,40)和[40,45)這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師,現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作,設(shè)兩組的選擇互不影響,求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)教師的概率;
(3)組織者從[45,55)的參加者(其中共有4名女教師,其余全為男教師)中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作,其中女教師的人數(shù)為X,求X的分布列和均值.

[教師專用題組]
【綜合集訓(xùn)】
考法　離散型隨機(jī)變量的期望與方差的方法
1.(2019山東臨沂期末,3)在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中,令X=1,針尖向上,0,針尖向下.若隨機(jī)變量X的分布列如下:
X
0
1
P
0.3
p
則EX= (　　)
A.0.21　　B.0.3　　C.0.5　　D.0.7
答案　D　由隨機(jī)變量X的分布列得p=1-0.3=0.7,
∴EX=0×0.3+1×0.7=0.7.
2.(2018廣東深圳南山入學(xué)摸底考試,5)一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤,在不透明口袋中裝入除顏色外無(wú)差別的2個(gè)白球和3個(gè)紅球.游客向攤主付2元進(jìn)行1次游戲.游戲規(guī)則如下:游客從口袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球,若摸出的小球同色,則游客獲得3元獎(jiǎng)勵(lì);若異色,則游客獲得1元獎(jiǎng)勵(lì).則攤主從每次游戲中獲得的利潤(rùn)X(單位:元)的期望是 (　　)
A.0.2　　B.0.3　　C.0.4　　D.0.5
答案　A　游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為C22+C32C52=25,所以攤主從每次游戲中獲得的利潤(rùn)的分布列為
X
-1
1
P
25
35
因此EX=-1×25+1×35=0.2.
3.(2020北京清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測(cè)試,8)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
x
y
P
y
x
則下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.存在x,y∈(0,1),E(ξ)>12
B.對(duì)任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤14
C.對(duì)任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ)
D.存在x,y∈(0,1),D(ξ)>14
答案　C　根據(jù)分布列的性質(zhì)有y+x=1,則E(ξ)=2xy≤2x+y22=12當(dāng)且僅當(dāng)x=y=12時(shí)取等號(hào),所以A、B錯(cuò)誤;由于E(ξ)=2x(1-x),D(ξ)=x(1-x)(2x-1)2,且x∈(0,1)時(shí),有(2x-1)2∈[0,1),顯然有任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ)≤12,故C正確,D錯(cuò)誤,故選C.
4.(2020北京十三中開學(xué)摸底,14)同時(shí)拋擲兩枚相同的均勻硬幣,隨機(jī)變量ξ=1表示結(jié)果中有正面向上,ξ=0表示結(jié)果中沒有正面向上,則Eξ=　　　　.?
答案　34
解析　本題考查兩點(diǎn)分布的期望,通過(guò)兩點(diǎn)分布的期望考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法分析問題、解決問題的能力,體現(xiàn)邏輯推理的核心素養(yǎng).
由題意知,本題符合兩點(diǎn)分布,結(jié)果中沒有正面向上的概率為14,此時(shí)ξ=0,而ξ=1時(shí)對(duì)應(yīng)概率為34,
∴Eξ=1×34+0×14=34.
5.現(xiàn)有2位男生,3位女生去參加一個(gè)聯(lián)歡活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可供參加者選擇.
(1)為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定自己去參加哪個(gè)聯(lián)歡項(xiàng)目,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙聯(lián)歡項(xiàng)目.求這5人中恰好有3人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目的概率;
(2)若從這5人中隨機(jī)選派3人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目,設(shè)ξ表示這3人中女生的人數(shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
解析　(1)依題意知,這5個(gè)人中,每個(gè)人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目的概率為13,去參加乙聯(lián)歡項(xiàng)目的概率為23.記“這5人中恰有3人去參加甲聯(lián)歡項(xiàng)目”為事件A,則P(A)=C53133·232=40243.
(2)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為1,2,3,
P(ξ=k)=C3kC23-kC53(k=1,2,3).
所以ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
310
35
110
Eξ=1×310+2×35+3×110=95.

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