?2022北京六十六中初三（上）期中
數(shù) 學(xué)
一、選擇題（每小題2分，共16分）
1. 一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A. 2，1，5 B. 2，1，－5 C. 2，0，－5 D. 2，0，5
2. 下列四個(gè)圖形中，為中心對稱圖形的是（ ）
A B. C. D.
3. 將拋物線向左平移3個(gè)單位長度得到的拋物線是（　?。?br /> A. B. C. D.
4. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A. （2，－3） B. （－2，3） C. （3，2） D. （－2，－3）
5. 用配方法解方程x2＋4x＝1，變形后結(jié)果正確的是（ ）
A. (x＋2)2＝5 B. (x＋2)2＝2 C. (x－2)2＝5 D. (x－2)2＝2
6. 把長為2 m的繩子分成兩段，使較長一段的長的平方等于較短一段的長與原繩長的積．設(shè)較長一段的長為x m，依題意，可列方程為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像是（ ）．

A. B.
C D.
8. 已知二次函數(shù)y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函數(shù)y2＝kx＋n(k≠0)的圖象如圖所示，下面有四個(gè)推斷：
①二次函數(shù)y1有最大值
②二次函數(shù)y1的圖象關(guān)于直線對稱
③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)y1的值大于0
④過動(dòng)點(diǎn)P(m，0)且垂直于x軸的直線與y1，y2的圖象的交點(diǎn)分別為C，D，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)D上方時(shí)，m的取值范圍是m＜-3或m＞-1．
其中正確的是( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空題（每小題2分，共16分）
9. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________．
10. 若關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一個(gè)根為1，則m的值為_______．
11. 寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)（0，2）的拋物線的解析式________________．
12. 若點(diǎn)，在拋物線上，則，的大小關(guān)系為：________（填“＞”，“=”或“＜”）．
13. 若關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為__________．
14. 如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，則∠C的度數(shù)為________．

15. 拋物線的對稱軸及部分圖象如圖所示，直線，則的解集為___________．

16. 如下圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定義：若某個(gè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)拋物線為正方形ABCD的“友好拋物線”．若拋物線y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值為_____．

三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）
17. 解方程：
18. 解方程：.
19. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）將該拋物線向___________平移___________個(gè)單位后，所得拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．
20. 2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”主題教育活動(dòng)．據(jù)了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為10萬人，5月份的參觀人數(shù)增加到12.1萬人．求參觀人數(shù)的月平均增長率．
21. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的圖形是△A1B1C1．
（1）畫出△A1B1C1；
（2）BC與B1C1的位置關(guān)系是　 　，AA1的長為　 ??；
（3）若點(diǎn)P（a，b）是△ABC一邊上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P經(jīng)過上述變換后的對應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)可表示為　 ?。?br />
22. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CD，連接AD，BD．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若BC=1，求線段BD的長．

23. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若，且此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求的值．
24. 小明在畫一個(gè)二次函數(shù)的圖象時(shí)，列出了下面幾組y與x的對應(yīng)值．
x
…


0
1
2
…
y
…
3
4
3
0

…
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）該二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，若，直接寫出n的取值范圍．
25. 如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當(dāng)水面的寬度為10m時(shí)，橋洞與水面的最大距離是5m．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）因?yàn)樯嫌嗡畮煨购?，水面寬度變?yōu)?m，求水面上漲的高度．
26. 有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)．小彤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．
下面是小彤探究過程，請補(bǔ)充完整：
(1)函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是　 ??；
(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
8
…
y
…

m

0
﹣1
3
2



…
則m值為　 ??；
(3)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出了圖象的一部分，請根據(jù)剩余的點(diǎn)補(bǔ)全此函數(shù)的圖象；

(4)觀察圖象，寫出該函數(shù)一條性質(zhì)　 ??；
(5)若函數(shù)y＝的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，則y1、y2、y3之間的大小關(guān)系為　 ??；
27. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）與x軸交于A（3，0），B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)﹣2＜x＜3時(shí)的函數(shù)圖象記為G，求此時(shí)函數(shù)y的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，將圖象G在x軸上方的部分沿x軸翻折，圖象G的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象M．若經(jīng)過點(diǎn)C（4.2）的直線y=kx+b（k≠0）與圖象M在第三象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象求b的取值范圍．
28. 如圖，在△ABC中，，，延長CB，并將射線CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線l，D為射線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且，連接DE，過點(diǎn)A作于M．
（1）依題意補(bǔ)全圖1，并用等式表示線段DM與ME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）取BE的中點(diǎn)N，連接AN，添加一個(gè)條件：CD的長為_______，使得成立，并證明．


參考答案
一、選擇題（每小題2分，共16分）
1. 【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．
【詳解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2、1、-5，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）．
2. 【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念逐項(xiàng)判斷即可；
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合合題意；
B、是中心對稱圖形，符合題意；
C、不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，不符合合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形的概念，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心．
3. 【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．
【詳解】解：將拋物線向左平移3個(gè)單位長度得到的拋物線是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
4. 【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)“關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)”即可求得．
【詳解】解：點(diǎn)A（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握“關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．
5. 【答案】A
【解析】
【分析】方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可，進(jìn)而即求得答案．
【詳解】解：x2＋4x＝1

即
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
6. 【答案】A
【解析】
【分析】由題意依據(jù)較長一段的長的平方等于較短一段的長與原繩長的積建立方程即可得出答案.
【詳解】解：設(shè)較長一段的長為x m，則較短一段的長為（2-x ）m，
由題意得：.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，根據(jù)題意找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
7. 【答案】B
【解析】
【詳解】解：由圖象，得，，∴過一、二、四象限．故選B．
8. 【答案】D
【解析】
【詳解】解：∵二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的開口向上，
∴二次函數(shù)y1有最小值，故①錯(cuò)誤；
觀察函數(shù)圖象可知二次函數(shù)y1的圖象關(guān)于直線x=﹣1對稱，故②正確；
當(dāng)x=﹣2時(shí)，二次函數(shù)y1的值小于0，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)x＜﹣3或x＞﹣1時(shí)，拋物線在直線的上方，
∴m的取值范圍為：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正確．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及函數(shù)圖象，熟練運(yùn)用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題2分，共16分）
9. 【答案】（1，2）
【解析】
【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)公式的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得答案．
【詳解】∵是拋物線的頂點(diǎn)式，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
故答案為：（1，2）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及最值的方法．解題的關(guān)鍵是熟知頂點(diǎn)式的特點(diǎn)．
10. 【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2-2x+m=0的一個(gè)根是1，將x=1代入可以得到m的值，本題得以解決．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2-2x+m=0的一個(gè)根是1，
∴1-2+m=0，
解得m=1，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
11. 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)題意，寫出一個(gè)的解析式即可
【詳解】解：根據(jù)題意，
故符合題意
故答案為：（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)各系數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 【答案】＜
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出y1，y2的值，比較后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵若點(diǎn)A(?1,y1)，B(2,y2)在拋物線y=2x2上，
y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，
∵2＜8，
∴y1﹤y2．
故答案為：﹤.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出y1，y2的值是解題的關(guān)鍵．
13. 【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知一元二次方程根的判別式大于0，解不等式即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程 (為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
14. 【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
詳解】解：將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∠DAE=110°
，
，
．
故答案是：30°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
15. 【答案】
【解析】
【分析】首先確定拋物線和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，然后畫出直線的圖象，然后根據(jù)直線在拋物線下方的圖象部分求解即可．
【詳解】解：由圖象可得，拋物線的對稱軸為，且經(jīng)過點(diǎn)，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
如圖畫出直線的圖象和補(bǔ)全拋物線圖象，

∴由圖象可得，直線在拋物線下方的圖象部分為．
∴的解集為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象綜合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象．
16. 【答案】-3或6
【解析】
【分析】到A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)為AC、BD的交點(diǎn)點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出n的值即可.
【詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)E，作EF⊥AB交AB于點(diǎn)F，
由題意得，拋物線必經(jīng)過點(diǎn)E，
∵A（﹣4，0），B（﹣2，0），
∴AB=2，BO=2，
∵正方形ABCD，
∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE，
∴AF=BF=EF=1，
∴E（﹣3，﹣1），
∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1，
解得n=﹣3或6

故答案為﹣3或6.
【點(diǎn)睛】確定出到A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.
三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）
17. 【答案】x1＝4，x2＝2
【解析】
【分析】原方程運(yùn)用因式分解法求解即可
【詳解】解：
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0
∴x1＝4，x2＝2
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，靈活選用方法是解答本題的關(guān)鍵
18. 【答案】，.
【解析】
【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，然后運(yùn)用公式法求解即可.
【詳解】解：原方程可化為：
，
，
，，.
∵.
∴.
∴，.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法——公式法，解答的關(guān)鍵是先把方程化成一般式，另外運(yùn)用公式前用根的判別式判定根是否存在是此類題的易錯(cuò)點(diǎn).
19. 【答案】（1）
（2）上，1
【解析】
【分析】（1）首先設(shè)出拋物線表達(dá)式為，然后將代入拋物線解析式，即可求出的值，進(jìn)而求出拋物線的表達(dá)式；
（2）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的位置，判斷拋物線向上平移的單位即可．
小問1詳解】
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴設(shè)拋物線表達(dá)式為，
∵經(jīng)過點(diǎn)（2，1），
∴ ．
解得：．
∴ 該拋物線的表達(dá)式為．
【小問2詳解】
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴ 若拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則只需向上平移1個(gè)單位，頂點(diǎn)變?yōu)椋?，0），此時(shí)滿足題意．
故答案為：上，1．
【點(diǎn)睛】本題主要是考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式以及函數(shù)圖像的平移，熟練利用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移確定函數(shù)圖像整體平移的情況，是解決該題的關(guān)鍵．
20. 【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)公式：（其中a表示增長前的量，b表示增長后的量，x表示月平均增長率，n表示月數(shù)），列式即可．
【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為x，
根據(jù)題意，得：，
解得：或（舍去）
，
答：這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握關(guān)于增長率的公式是解答此題的關(guān)鍵．
21. 【答案】（1）見解析；（2）BCB1C1，；（3）（-a，-b））
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中心對的兩個(gè)圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)互為相反數(shù)畫出圖形即可；
（2）根據(jù)圖形可得出BCB1C1，根據(jù)勾股定理得出AA1的長為；
（3）根據(jù)中心對的兩個(gè)圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)互為相反數(shù)得出P1的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；

（2）∵B（-4,1），C（-3,3），，
∴BCB1C1，
＝；
故答案為BCB1C1，；
（3）∵點(diǎn)P（a，b）是△ABC一邊上的任意一點(diǎn)，△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的圖形是△A1B1C1．
∴點(diǎn)P經(jīng)過上述變換后的對應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)可表示為，
故答案為．
22. 【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線段旋轉(zhuǎn)的方法，得出，然后連接AD，BD即可得；
（2）根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)線段旋轉(zhuǎn)方法，，如圖所示即為所求；


（2）∵ ，，，
∴ ，
∴ ，
∵ 線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD，
∴且，
∴是等邊三角形，
∴ ，，
∴ ，
∴ 在中，
．
【點(diǎn)睛】題目主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的作法及性質(zhì)，勾股定理，角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，理解題意，作出圖形，綜合運(yùn)用各個(gè)定理性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
23. 【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）證明一元二次方程的判別式大于等于零即可；
（2）用m表示出方程的兩個(gè)根，比較大小后，作差計(jì)算即可．
詳解】（1）證明：∵一元二次方程，
∴
==．
∵，
∴．
∴ 該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．　　　 　
（2）解：∵一元二次方程，
解方程，得，．
∵ ，
∴ ．
∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，
∴ ．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，方程的解法，熟練掌握判別式，并靈活運(yùn)用實(shí)數(shù)的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
24. 【答案】（1）y=-（x+1）2+4；（2）n

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