22020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（   ）A. B. C. D.2.（   ）A. B.4 C. D.3.如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為,,…,.設(shè).若且，則稱,,為原位大三和弦；若且，則稱,,為原位小三和弦.用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（   ）A.5 B.8 C.10 D.154.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作，已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05。志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（   ）A.10名 B.18名 C.24名 D.32名5.已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是（   ）A. B. C. D.6.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若,，則（）A． B． C. D．7.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的，則輸出的k為：（   ）A.2 B.3 C.4 D.58.若過點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（   ）A. B. C. D.9.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).若的面積為8，則C的焦距的最小值為（   ）A．4 B．8 C．16 D．3210.設(shè)函數(shù)，則（   ）A.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減11.已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球O的表面積為，則O到平面的距離為（   ）A． B． C．1 D．12.若，則（   ）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若，則____.14.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則____.15.若x，y滿足約束條件則的最大值是____.16.設(shè)有下列四個(gè)命題：：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.：若直線平面α，直線平面α，則.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是_________①②③④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求A；（2）若，證明：是直角三角形.18. （12分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加，為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得.（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由。附：相關(guān)系數(shù)，.19. （12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合，的中心與的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且.（1）求的離心率；（2）若的四個(gè)頂點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離之和為12，求與的標(biāo)準(zhǔn)方程.20. （12分）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為,的中點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，過和P的平面交于E，交于F.（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)O為的中心，若，平面，且，求四棱錐的體積21. （12分）已知函數(shù).（1）若，求c的取值范圍；（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知曲線,的參數(shù)方程分別為（θ為參數(shù)），（t為參數(shù)）.（1）將，的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)，的交點(diǎn)為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.
參考答案1.答案：D解析：通解 因?yàn)?/span>，，所以，故選D.優(yōu)解 .2.答案：A解析：，故選A.3.答案：C解析：通解 由題意，知構(gòu)成原位大三和弦時(shí)，，，所以為原位大三和弦的情況有：，，；，，；，，；，，；，，.共5種.構(gòu)成原位小三和弦時(shí)，，所以為原位小三和弦的情況有：，，；，，；，，；，，；，，.共5種.所以用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為10，故選C.優(yōu)解 由題意，知當(dāng)為原位大三和弦時(shí)，且，又，所以，所以這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦的個(gè)數(shù)為5.當(dāng)為原位小三和弦時(shí)，且，又，所以，所以這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位小三和弦的個(gè)數(shù)為5.所以用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為10，故選C.4.答案：B解析：由題意知，第二天在沒有志愿者幫忙的情況下，積壓訂單超過份的概率為0.05，因此要使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，至少需要志愿者(名)，故選B.5.答案：D解析：通解 由題意，得.對(duì)于A，，故A不符合題意；對(duì)于B，，故B不符合題意；對(duì)于C，，故C不符合題意；對(duì)于D，，所以.故選D.優(yōu)解一 不妨設(shè)，，則，，，，易知，只有，即，故選D.優(yōu)解二 根據(jù)條件，分別作出向量與A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的向量的位置關(guān)系，如圖所示：由圖易知，只有選項(xiàng)D滿足題意，故選D.6.答案：B解析：通解 設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由解得所以，，所以，故選B.優(yōu)解 設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>，所以，所以，故選B.7.答案：C解析：初始值，，，進(jìn)入循環(huán)，，，，則，，，則，，，則，，，此時(shí)不滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)，輸出，故選C.8.答案：B解析：因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切，且點(diǎn)在該圓上，所以可設(shè)圓的方程為，所以，即，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，所以圓心到直線的距離為或，故選B.9.答案：B解析：由題意，知雙曲線的漸近線方程為.因?yàn)?/span>分別為直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)，所以不妨設(shè)，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以的焦距的最小值為8，故選B.10.答案：A解析：解法一 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除C，D.因?yàn)楹瘮?shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，排除B，故選A.解法二 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除C，D.當(dāng)時(shí)，由，得，所以在上為增函數(shù)，排除B，故選A.11.答案：C解析：由等邊三角形的面積為，得，得，則的外接圓半徑.設(shè)球的半徑為，則由球的表面積為，得，得，則球心到平面的距離，故選C.12.答案：A解析：由，得，即.設(shè)，則.因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，則由，得，所以，所以，所以，故選A.13.答案：解析：因?yàn)?/span>，所以由二倍角公式，得.14.答案：25解析：通解 設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得，即，解得，所以.優(yōu)解 設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.15.答案：8解析：解法一 作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線并平移，由圖知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，.解法二 易知可行域是一個(gè)封閉區(qū)域，因此目標(biāo)函數(shù)的最值在區(qū)域的頂點(diǎn)處取得，由得此時(shí)；由得此時(shí)；由得此時(shí).綜上所述，的最大值為8.16.答案：①③④解析：解法一 對(duì)于，由題意設(shè)直線，，，則由，知共面，設(shè)此平面為，則由，，知，由，，知，所以，所以共面于，所以是真命題；對(duì)于，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，過三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，過的平面有無數(shù)個(gè)，所以是假命題，是真命題；對(duì)于，若空間兩條直線不相交，則這兩條直線可能平行，也可能異面，所以是假命題，是真命題；對(duì)于，若直線平面，直線平面，則，所以是真命題，是假命題.故為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.綜上可知，真命題的序號(hào)是①③④.解法二 對(duì)于，由題意設(shè)直線，，，則點(diǎn)不共線，所以此三點(diǎn)確定一個(gè)平面，則，，，所以直線，，，即，，，所以是真命題；以下同解法一.17. 解析：（1）由已知得，即.所以.由于，故.（2）由正弦定理及已知條件可得.由（1）知，所以.即，.由于，故，從而是直角三角形.18. 解析：（1）由已知得樣本平均數(shù)，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為.（2）樣本的相關(guān)系數(shù).（3）分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).19. 解析：（1）由已知可設(shè)的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，由題設(shè)得的縱坐標(biāo)分別為；的縱坐標(biāo)分別為，故.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，故，所以的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為的準(zhǔn)線為.已知得，即.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20. 解析：（1）因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以.又由己知得，故.因?yàn)?/span>是正三角形，所以.又，故平面.所以平面平面.（2）平面，平面，平面平面，故.又，故四邊形是平行四邊形，所以，.因?yàn)?/span>平面，所以四棱錐的頂點(diǎn)B到底面的距離等于點(diǎn)M到底面的距離.作，垂足為T，則由（1）知，平面，故.底面的面積為.所以四棱錐的體積為.21. 解析：設(shè)，則，其定義域?yàn)?/span>，.（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.從而當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.所以c的取值范圍為.（2），..取得，則由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即.故當(dāng)時(shí)，，從而.所以在區(qū)間，單調(diào)遞減.22. 解析：（1）的普通方程為.由的參數(shù)方程得，所以.故的普通方程為.（2）由得所以P的直角坐標(biāo)為.設(shè)所求圓的圓心的直角坐標(biāo)為，由題意得，解得.因此，所求圓的極坐標(biāo)方程為.23.解析：（1）當(dāng)時(shí)因此，不等式的解集為或.（2）因?yàn)?/span>，故當(dāng)，即時(shí)，.所以當(dāng)或時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以a的取值范圍是. 

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