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2020年普通高等學(xué)校
招生全國(guó)統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)(山東卷)
(本試卷共4頁(yè),22小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合A={x|1≤x≤3},B={x|20,b>0,且a+b=1,則(　　)
A.a2+b2≥12 B.2a-b>12
C.log2a+log2b≥-2 D.a+b≤2
答案ABD
解析∵a+b=1,∴(a+b)2=1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥12,故A正確;
∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,
∴a-b>-1,
∴2a-b>2-1=12,故B正確;
∵a+b=1≥2ab,
∴ab≤14,log2a+log2b=log2ab≤log214=-2,故C錯(cuò)誤;
∵a+b=1≥2ab,∴2ab≤1,(a+b)2=a+b+2ab≤2,∴a+b≤2,故D正確,故選ABD.
12.信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定義X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2pi.(　　)
A.若n=1,則H(X)=0
B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大
C.若pi=1n(i=1,2,…,n),則H(X)隨著n的增大而增大
D.若n=2m,隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)
答案AC
解析若n=1,則p1=1,H(X)=-p1log2p1=-log21=0,∴A正確;
若n=2,令p1=13,p2=23或p1=23,p2=13,均有H(X)=-13log213+23log223,∴B錯(cuò)誤;
H(X)=-∑i=1n1nlog21n=-1nlog21n+…+1nlog21nn個(gè)=-n×1n·log21n=-log21n=log2n,∴H(X)隨n的增大而增大,∴C正確;
H(X)=-∑i=12mpilog2pi=-∑i=1m(pilog2pi+p2m+1-ilog2p2m+1-i),H(Y)=-∑i=1m((pi+p2m+1-i)log2(pi+p2m+1-i)).
因?yàn)?pi+p2m+1-i)log2(pi+p2m+1-i)=pilog2(pi+p2m+1-i)+p2m+1-ilog2(pi+p2m+1-i)>pilog2pi+p2m+1-ilog2p2m+1-i,所以H(X)>H(Y),故D錯(cuò)誤.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.斜率為3的直線過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=　　　　　.?
答案163

解析如圖所示,直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,作AA',BB'垂直于準(zhǔn)線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)A',B',由拋物線的定義知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p.
由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10x+3=0,
∴x1+x2=103,
∴|AB|=103+2=163.
14.將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為　　　　　.?
答案3n2-2n
解析數(shù)列{2n-1}的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),所有偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項(xiàng)就是{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng),這些項(xiàng)從小到大排列式的新數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng),以6為公差的等差數(shù)列.
所以{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n×1+n(n-1)2×6=3n2-2n.
15.

某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn),B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn),四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂足為C,tan∠ODC=35,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直線DE和EF的距離均為7 cm,圓孔半徑為1 cm,則圖中陰影部分的面積為　　　　　cm2.?
答案52π+4
解析作OM⊥CG交CG于點(diǎn)M,AP⊥OH交OH于點(diǎn)P,AQ⊥CG交CG于點(diǎn)Q,圖略.
設(shè)OM=3x,則DM=5x,∴OP=MQ=7-5x,
∴AP=7-2-3x=5-3x,
∴tan∠AOP=APOP=5-3x7-5x.
又∵∠AOP=∠HAP,
∴tan∠HAP=QGAQ=12-77-2=1=tan∠AOP,
∴5-3x7-5x=1,解得x=1.
∴∠AOP=π4,AP=2,∴OA=22,
∴S陰=S扇AOB+S△AOH-12×π×12=12×π-π4×(22)2+12×22×22?12π=3π+4-π2=52π+4.
16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為　　　　　.?
答案22π
解析如圖所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,

∴△B1C1D1為等邊三角形.∴B1D1=2.
設(shè)點(diǎn)O1是B1C1的中點(diǎn),則O1D1=3,易證D1O1⊥平面BCC1B1,設(shè)P是球面與側(cè)面BCC1B1交線上任意一點(diǎn),連接O1P,則O1D1⊥O1P,∴D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P2,∴O1P=2.即P在以O(shè)1為圓心,以2為半徑的圓上.
取BB1,CC1的中點(diǎn)分別為E,F,則B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,
∴O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,
∴∠EO1F=90°,
∴交線EPF=14×22×π=22π.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.(10分)
在①ac=3,②csin A=3,③c=3b這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,若問(wèn)題中的三角形存在,求c的值;若問(wèn)題中的三角形不存在,說(shuō)明理由.
問(wèn)題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sin A=3sin B,C=π6,　　　　　??
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
解方案一:選條件①.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.
由①ac=3,解得a=3,b=c=1.
因此,選條件①時(shí),問(wèn)題中的三角形存在,此時(shí)c=1.
方案二:選條件②.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,
由此可得b=c.所以B=C=π6.
由A+B+C=π,得A=π-π6?π6=2π3.
由②csin A=3,即csin2π3=3,
所以c=b=23,a=6.
因此,選條件②時(shí),問(wèn)題中的三角形存在,此時(shí)c=23.
方案三:選條件③.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.
由③c=3b,與b=c矛盾.
因此,選條件③時(shí),問(wèn)題中的三角形不存在.
18.(12分)
已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100.
解(1)設(shè){an}的公比為q.
由題設(shè)得a1q+a1q3=20,a1q2=8.
解得q=12(舍去),q=2.
因?yàn)閍1q2=8,所以a1=2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.
(2)由題設(shè)及(1)知b1=0,且當(dāng)2n≤m6.635,故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).
20.(12分)

如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.
(1)證明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.
解(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.
又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.
所以AD⊥平面PDC.
因?yàn)锳D∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因?yàn)锳D?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.
所以l⊥平面PDC.
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DP的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),則DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).
由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則DQ=(a,0,1).
設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,
則n·DQ=0,n·DC=0,即ax+z=0,y=0.
可取n=(-1,0,a).
所以cos=n·PB|n||PB|　=-1-a31+a2.
設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sin θ=33×|a+1|1+a2=331+2aa2+1.
因?yàn)?31+2aa2+1≤63,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),等號(hào)成立,所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為63.
21.(12分)
已知函數(shù)f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
解f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=aex-1-1x.
(1)當(dāng)a=e時(shí),f(x)=ex-ln x+1,f'(1)=e-1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
直線y=(e-1)x+2在x軸,y軸上的截距分別為-2e-1,2.
因此所求三角形的面積為2e-1.
(2)由題意a>0,當(dāng)0

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