1.對數(shù)的概念一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就稱b是以a為底N的對數(shù),記作①????lgaN=b????,其 中,a叫作②　對數(shù)的底數(shù)????,N叫作真數(shù).2.對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系當(dāng)a>0,a≠1時,ab=N?③????b=lgaN????.3.常用對數(shù)與自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù),為了方便起見,對數(shù)lg10N簡記為④????lg N????.在科學(xué)技術(shù)中,常常使用以e為底的對數(shù),這種對數(shù)稱為自然對數(shù).e=2.718 28…是 一個無理數(shù).正數(shù)N的自然對數(shù)lgeN一般簡記為⑤????ln N????.
4.對數(shù)的性質(zhì)(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù);(2)lga1=⑥　0????(a>0,a≠1);(3)lgaa=⑦　1????(a>0,a≠1).5.常見結(jié)論(a>0,a≠1)(1)lgaab=b;(2)?=N(N>0).
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)lga(MN)=lgaM+lgaN;(2)lga?=⑧????lgaM-lgaN????;(3)lgaMn=nlgaM(n∈R).
2 | 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
一般地,有l(wèi)gaN=⑨?????????,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1.這個公式稱為對數(shù)的換底公式.兩個較為常用的結(jié)論(其中a,b均為不等于1的正數(shù)):(1)lgab·lgba=1;(2)l?bn=?lgab(m∈R,n∈R,m≠0).
1.lga[(-2)×(-3)]=lga(-2)+lga(-3).?(?????　)2.因?yàn)?-2)4=16,所以lg(-2)16=4.?(?????　)提示:對數(shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0,a≠1.3.指數(shù)式2-7=?化為對數(shù)式的結(jié)果是lg2?=-7.?(　√　)4.若ln N=?,則N=?.?(?????　)提示:N=?.5.如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么lga(MN)=lgaM·lgaN.?(?????　)提示:lga(MN)=lgaM+?(　√　)
判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ?” .
1 | 利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值
1.利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同,先使各項(xiàng)底數(shù)相同,再找真數(shù) 間的關(guān)系.2.同底數(shù)的對數(shù)式化簡的常用方法(1)“收”,將同底對數(shù)的和(差)“收”成積(商)的對數(shù),即“收”為一個對數(shù)式;(2)“拆”,將積(商)的對數(shù)“拆”成兩對數(shù)之和(差).3.化簡的常用技巧(1)化簡時要充分利用“l(fā)g 5+lg 2=1”來解題.(2)對含有多重對數(shù)符號的對數(shù),應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡.
(3)當(dāng)真數(shù)是形如“?±?”的式子時,常用方法是“先平方,后開方”或“取倒數(shù)”.(4)在利用換底公式進(jìn)行化簡、求值時,一般根據(jù)題中所給對數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底,如果所給的對數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同,我們可以選擇以10為對數(shù)式中的底數(shù)進(jìn)行換底.利用換底公式化簡與求值的思路:
(2020江蘇南京中華中學(xué)高一期中)已知lg189=a,18b=5,用a,b表示lg3645.
解析????解法一:∵18b=5,∴l(xiāng)g185=b.∴l(xiāng)g3645=?=?=?=?.解法二:∵a=lg189=?,∴l(xiāng)g 9=alg 18.∵18b=5,∴l(xiāng)g185=b,同理得lg 5=blg 18.故lg3645=?=?=?=?=?.
2 | 對數(shù)與指數(shù)的綜合運(yùn)用
1.(1)在對數(shù)式與指數(shù)式的互化運(yùn)算中,要注意靈活應(yīng)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則, 尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系.(2)對于連等指數(shù)式,可令其等于k(k>0),然后將指數(shù)式用對數(shù)式表達(dá),再由換底公 式將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對數(shù),從而解決問題.2.解決對數(shù)應(yīng)用問題時,首先要理解題意,弄清關(guān)鍵詞及字母的含義,然后恰當(dāng)?shù)? 設(shè)未知數(shù),建立數(shù)學(xué)模型,最后轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)問題來求解,注意歸納總結(jié).
　　已知a,b,c是不等于1的正數(shù),且ax=by=cz,?+?+?=0,求abc的值.
思路點(diǎn)撥設(shè)ax=by=cz=t,則t>0,且t≠1,x=lgat,y=lgbt,z=lgct,代入?+?+?=0并用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得abc的值,也可以用換底公式進(jìn)行計算.
解析????解法一:設(shè)ax=by=cz=t,∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴t>0,且t≠1,∴x=lgat,y=lgbt,z=lgct.∴?+?+?=?+?+?=lgta+lgtb+lgtc=lgt(abc)=0,∴abc=t0=1,即abc=1.解法二:設(shè)ax=by=cz=t,∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴t>0,且t≠1,∴x=?,y=?,z=?.∴?+?+?=?+?+?=?.

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.2 對數(shù)

版本： 蘇教版 (2019)

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