2021-2022學(xué)年江西省南昌市八一中學(xué)、洪都中學(xué)、南師附中、十七中四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．命題“，”的否定形式是（       ）A．“，” B．“，”C．“，” D．“，”【答案】C【分析】由全稱命題的否定是特稱命題即得.【詳解】“任意”改為“存在”，否定結(jié)論即可. 命題“，”的否定形式是“，”.故選：C.2．“”是“直線與互相垂直”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求出，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為直線與互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直線與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.3．若函數(shù)，當(dāng)時，平均變化率為3，則等于（       ）A． B．2 C．3 D．1【答案】B【分析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：B4．設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是（       ）A．的極值點一定是最值點B．的最值點一定是極值點C．在區(qū)間上可能沒有極值點D．在區(qū)間上可能沒有最值點【答案】C【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關(guān)系即可判斷．【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點，所以C正確．故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題．5．設(shè)曲線在點處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則的面積等于（       ）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，寫出切線方程，分別求得切線在兩坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，再由三角形面積公式求解．【詳解】由，得，，又切線過點，曲線在點處的切線方程為，取，得，取，得．的面積等于．故選：C．6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項符合.故選：A7．直線（t為參數(shù)）被圓所截得的弦長為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得直線的普通方程以及圓的直角坐標(biāo)方程，利用弦長公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），故其普通方程為，又，根據(jù)，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離，則該直線截圓所得弦長為.故選：C.8．已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（       ）A．21 B．20 C．16 D．11【答案】B【分析】根據(jù)已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B9．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為(       )A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程．【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為．故選：A．10．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)；故時，，∴；故選：B.11．曲線上的點到直線的距離的最小值是（       ）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，依題意即過切點的切線恰好與直線平行，此時切點到直線的距離最小，求出切點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，設(shè)切點為，則，解得，所以切點為，點到直線的距離，所以曲線上的點到直線的距離的最小值是；故選：D12．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（       ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質(zhì)可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.二、填空題13．若滿足約束條件 ，則的最小值為________.【答案】5【分析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即．平移直線，當(dāng)直線過點時取得最小值5．故答案為：5．14．雙曲線的左焦點到直線的距離為________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線方程求得左焦點的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的方程為，設(shè)其左焦點的坐標(biāo)為，故可得，解得，故左焦點的坐標(biāo)為，則其到直線的距離.故答案為：.15．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【分析】由題可得有兩個不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需和有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】∵的定義域為，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，由得，，令，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需和有兩個交點，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；當(dāng)時，；作出和的圖像如圖，所以，即，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：16．設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則稱與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，，令，可得，列表如下：極小值 ，，如圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題17．已知命題； 命題.(1)若p是q的充分條件，求m的取值范圍；(2)當(dāng)時，已知是假命題，是真命題，求x的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）解不等式組即得解；（2）由題得p、q一真一假，分兩種情況討論得解.【詳解】(1)解：由題意知p是q的充分條件，即p集合包含于q集合，有；(2)解：當(dāng)時，有，由題意知，p、q一真一假，當(dāng)p真q假時，，當(dāng)p假q真時，，綜上，x的取值范圍為18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知，曲線與曲線相交于A，B兩點，求.【答案】(1)，(2)2【分析】（1）消參數(shù)即可得曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系式，從而曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理得，即可得的值.【詳解】(1)由，消去參數(shù)，得，即，所以曲線的普通方程為.由，得，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為(2)將代入，整理得，則，令方程的兩個根為由韋達定理得，所以.19．已知.(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在處取得極值，求在上的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】(1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再利用點斜式方程即可求出切線方程；(2）根據(jù)極值點求出的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最小值.【詳解】(1)∵，，∴∴∴在處的切線為，即；(2)∵，由題可知，∴，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，∵，，∴.20．某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加0.5萬元.種植萬千克蓮藕的銷售額(單位：萬元)是(是常數(shù))，若種植2萬千克蓮藕，利潤是1.5萬元，求：(1)種植萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為的解析式；(2)要使利潤最大，每年需種植多少萬千克蓮藕，并求出利潤的最大值.【答案】(1)，；(2)6萬千克，萬元.【分析】(1)根據(jù)題意找等量關(guān)系即可求g(x)解析式，根據(jù)函數(shù)值可求a；(2)根據(jù)g(x)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并求其最大值即可.【詳解】(1)種植萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為：，，即，，當(dāng)時，，解得，故，；(2)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴時，利潤最大為萬元.21．已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上，且在第一象限，的面積為 (O為坐標(biāo)原點).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點的直線與交于，兩點，且，異于點，若直線與的斜率存在且不為零，證明：直線與的斜率之積為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，然后結(jié)合面積公式可得，即求；（2）通過分類討論，利用韋達定理法結(jié)合斜率公式計算即得.【詳解】(1)因為點拋物線上，所以，，，因為，故解得，拋物線方程為；(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，得，.，，則. 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，設(shè)，，聯(lián)立得：因為，所以，. 所以，所以直線與的斜率之積為定值.22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)a=1時，對于任意的，，都有恒成立，則m的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）由題可得，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分類討論即得；（2）由題可得，利用函數(shù)的單調(diào)性及極值求函數(shù)最值即得.【詳解】(1)由題可得的定義域為，若，恒有，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，令，得，若，恒有在上單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)由（1）知，時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)a=1時，，，，∴.又，，∴.由題意得，，∴. 

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