2021-2022學年江西省師范大學附屬中學高二上學期期末數(shù)學（文）試題一、單選題1．函數(shù)，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B2．設函數(shù)在上可導，則等于（       ）A． B． C． D．以上都不對【答案】C【分析】根據(jù)目標式，結合導數(shù)的定義即可得結果.【詳解】.故選：C3．將點的極坐標化成直角坐標是(   )A． B． C． D．【答案】A【詳解】本題考查極坐標與直角坐標的互化由點M的極坐標，知極坐標與直角坐標的關系為，所以的直角坐標為即故正確答案為A4．命題 ，， 則是（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得到答案.【詳解】因為命題 ，，所以，.故選：D5．下列求導運算正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)和求導法則判斷.【詳解】，，，，只有B正確.故選：B.【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，考查導數(shù)的運算法則，屬于基礎題.6．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A．y=±2x B．y= C． D．【答案】B【詳解】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質.7．魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（       ）A．2 B．3 C． D．【答案】A【解析】設，則，解方程可得結果.【詳解】設，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：設是解題關鍵.8．已知“”的必要不充分條件是“或”，則實數(shù)的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先解不等式得到或，根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】，解得或，因為“”的必要不充分條件是“或”，所以.實數(shù)的最小值為.故選：A9．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（       ） A．B． C．D． 【答案】D【分析】由題設，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗證四個選項即可得出答案．【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點處與相切，下面研究四個選項中函數(shù)在兩點處的切線．A. ，將0代入，此時導數(shù)為，與點處切線斜率為矛盾，故A錯誤．B.，將0代入，此時導數(shù)為，不為，故B錯誤；.，將2代入，此時導數(shù)為2，與點處切線斜率為3矛盾，故錯誤；.，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是，3，符合題意，故正確；故選：．10．函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（       ）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】構造函數(shù)，結合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉換為，根據(jù)單調性即可求解.【詳解】構造函數(shù)，因為，所以為上的增函數(shù)．又因為，所以原不等式轉化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.11．《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個圓構成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為： 圓 圓 ，圓 若過原點的直線 與圓、均相切，則截圓所得的弦長為（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長【詳解】設過點的直線.由直線與圓 、圓 均相切，得 解得 (1).設點到直線的距離為 則 (2).又圓的半徑直線截圓所得弦長 結合(1)(2)兩式，解得12．若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則函數(shù)有零點轉化為函數(shù)的圖象與直線有交點，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，即可求出．【詳解】設，定義域為，則，易知為單調遞增函數(shù)，且 所以當時，，遞減； 當時， ， 遞增，所以 所以，即．故選：A．【點睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍，意在考查學生的轉化能力，屬于基礎題．二、填空題13．已知函數(shù)，則________.【答案】2【分析】根據(jù)導數(shù)的計算法則計算即可.【詳解】∵，∴，∴∴.故答案為：2.14．命題“若實數(shù)a，b滿足，則且”是_______命題(填“真”或“假”).【答案】假【解析】列舉特殊值，判斷真假命題.【詳解】當時，，所以，命題“若實數(shù)a，b滿足，則且”是假命題.故答案為：假15．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，M的準線為l且與x軸相交于點B，A為M上的一點，直線AO與直線l相交于C點，若，，則M的標準方程為______________.【答案】【分析】先利用相似關系計算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據(jù)即得p值，即得結果.【詳解】因為，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標準方程為.故答案為：.16．若函數(shù)在區(qū)間內存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【詳解】由題可知： 所以函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，故函數(shù)的極大值為 .所以在開區(qū)間內的最大值一定是又， 所以 得實數(shù)的取值范圍是故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由函數(shù)在開區(qū)間內若存在最大值，即極大值點在區(qū)間內，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.三、解答題17．在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點.（1）將曲線的參數(shù)方程轉化為普通方程；（2）求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數(shù)方程轉化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦長即可.【詳解】（1）因為曲線（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，得.，.所以.18．已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由.【答案】x-y-4=0或x-y+1="0. "【詳解】試題分析：假設存在，并設出直線方程y＝x＋b，然后代入圓的方程得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理得到根的關系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到參數(shù)b的方程求解即可．試題解析：設直線l的方程為y＝x＋b①圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②聯(lián)立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0．設A（x1，y1），B（x2，y2），則有③因為以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0， 解得b＝1或b＝－4，故直線l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0．【解析】存在性問題．【方法點睛】存在性問題，首先應假設存在，然后去求解．對本題來說具體是：設出直線方程y＝x＋b，然后分析幾何性質得到OA⊥OB即得到關于參數(shù)b的方程求解即可．解該類問題最容易出錯的的地方是，忽視對參數(shù)范圍的考慮，即直線方程與圓的方程聯(lián)立求解后應得到，即求出的b值必須滿足b的范圍，否則無解．19．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先對函數(shù)求導，再根據(jù)在處的切線斜率可得到參數(shù)的值，然后代入，求出的值，則即可得出；（2）根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，可得，即恒成立，再進行參變分離，構造函數(shù)，對進行求導分析，找出最小值，即實數(shù)的最大值．【詳解】解：（1）由題意，函數(shù).故，則，由題意，知，即.又，則.，即..（2）由題意，可知，即恒成立，恒成立.設，則.令，解得.令，解得.令，解得x.在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值..，故的最大值為.【點睛】本題主要考查利用某點處的一階導數(shù)分析得出參數(shù)的值，參變量分離方法的應用，不等式的計算能力．本題屬中檔題．20．“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風景區(qū)在一個直徑為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路（如圖所示）.在點與圓弧上的一點（不同于A，B兩點）之間設計為直線段小路，在直線段小路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再從點到點設計為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內側（注意是一側）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）.（1）設 (弧度)，將綠化帶總長度表示為的函數(shù)；（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大.(弧度公式：，其中為弧所對的圓心角)【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧長公式求出弧的長度，則可得函數(shù)；（2）利用導數(shù)可求得結果.【詳解】（1）如圖，連接在直角三角形中， 所以由于則弧的長為（2）由（1）可知， 令 得，因為所以，當單調遞增， 當單調遞減，                    所以當時，使得綠化帶總長度最大.【點睛】關鍵點點睛：仔細審題，注意題目中的關鍵詞“兩側”和“一側”是解題關鍵.21．已知動圓過點 且動圓內切于定圓： 記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若、是曲線上兩點，點 滿足 求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩圓內切，以及圓過定點列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標公式可知，，再設直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得 則點的軌跡是以 、 為焦點， 長軸長為的橢圓，則 因此曲線的方程是(2)因為， 則點是的重心， 易得直線的斜率存在， 設直線的方程為，聯(lián)立 消 得： 且 ①②由①②解得 則直線的方程為 即 【點睛】本題考查直線與橢圓的問題關系，本題的關鍵是根據(jù)求得，.22．已知函數(shù)（1）求單調增區(qū)間；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求導由求解.（2）將時，恒成立，轉化為時，恒成立，令用導數(shù)法由求解即可.【詳解】（1）因為函數(shù)所以 令，解得，所以單調增區(qū)間為.（2）因為時，恒成立，所以時，恒成立，令 則 令因為 時，恒成立，所以在單調遞減.當時，在單調遞減，故 符合要求；當時，單調遞減，故存在使得則當時單調遞增，不符合要求；當時，單調遞減，故存在 使得 則當 時 單調遞增，不符合要求.綜上.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；； 

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