2021-2022學(xué)年江西省南昌市八一中學(xué)、洪都中學(xué)、南師附中、十七中四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題含解析

這是一份2021-2022學(xué)年江西省南昌市八一中學(xué)、洪都中學(xué)、南師附中、十七中四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題含解析，共14頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2021-2022學(xué)年江西省南昌市八一中學(xué)、洪都中學(xué)、南師附中、十七中四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評價(jià)它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.2．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關(guān)系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項(xiàng)B符合題意故選：B3．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（       ）A． B．C． D．不存在【答案】B【分析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，然后判斷導(dǎo)數(shù)符號可得，或者根據(jù)對勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因?yàn)?/span>時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極大值；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極小值.故選：B4．已知為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則的幾何意義為圓上的點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率，利用直線和圓相切，即可求出的最小值；【詳解】圓，它的圓心是，半徑為1，設(shè)，則，即，當(dāng)直線和圓相切時(shí)，有，可得，，的最小值為：，故選：．5．曲線在處的切線如圖所示，則（       ）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由圖可知切線斜率為，∴.故選：C.6．過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為（       ）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果．【詳解】過橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：．故選：A．7．日常飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨若水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用單位：元為那么凈化到純凈度為時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是（       ）元/t.A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令即可求解．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，故選：．8．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點(diǎn)，且離心率為，則直線的方程為（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由離心率求得，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關(guān)系得結(jié)論．【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設(shè)，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即．故選：D．9．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，則，又因?yàn)?/span>，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：C．10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，則POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線的方程，與拋物線的方程，聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出，的縱坐標(biāo)之差的絕對值，代入三角形的面積公式求出面積．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，，由題意可得直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A．11．設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進(jìn)而可求，再結(jié)合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.12．已知函數(shù)，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】要使函數(shù)有三個(gè)解，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】要使函數(shù)有三個(gè)解，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時(shí)，，當(dāng)趨向于負(fù)無窮時(shí)，趨向于0，但始終小于0，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由圖像可知：所以要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：A．二、填空題13．已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，甲、乙、丙三人對復(fù)數(shù)的陳述如下為虛數(shù)單位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陳述中，有且只有兩個(gè)人的陳述正確，則復(fù)數(shù)______．【答案】【分析】設(shè)，則，然后分別求出甲，乙，丙對應(yīng)的結(jié)論，先假設(shè)甲正確，則得出乙錯(cuò)誤，丙正確，由此即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，甲：由可得，則， 乙：由可得：，丙：由可得，即，所以，若，則，則不成立，，則，解得或，所以甲，丙正確，乙錯(cuò)誤，此時(shí)或，又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，所以，故答案為：．14．=______.【答案】【解析】根據(jù)被積函數(shù)（）表示一個(gè)半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數(shù)（）表示圓心為，半徑為2的圓的上半部分，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來求定積分，在用該方法求解時(shí)需注意被積函數(shù)的在給定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值符號，本題屬于中檔題.15．已知橢圓交軸于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于A，的任意一點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，，則為定值．現(xiàn)將雙曲線與橢圓類比得到一個(gè)真命題：若雙曲線交軸于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于A，的任意一點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，，則為定值___．【答案】－【分析】由雙曲線的方程可得，的坐標(biāo)，設(shè)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程可得的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線，的方程，令，分別求出，的縱坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，整理可得為定值．【詳解】由雙曲線的方程可得，，設(shè)，則，可得，直線的方程為：，令，則，可得，直線的方程為，令，可得，即，∴，，，故答案為：－．另解：雙曲線方程化為，只是將的替換為－，故答案也是只需將中的替換為－即可.故答案為：－.16．已知函數(shù)若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________．【答案】【分析】分離參數(shù)法得到能成立, 構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由得.設(shè)，則存在,使得成立，即能成立，所以能成立,所以.又令,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在上，t(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=2時(shí),t有最小值，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.三、解答題17．已知命題實(shí)數(shù)滿足成立，命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，若命題為真，命題或為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】或【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求出命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，依題意為假，為真，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)?/span>，，，，所以，所以，所以為真時(shí)，因?yàn)榉匠?/span>表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，所以，即為真時(shí)，所以為假時(shí)參數(shù)的取值范圍為或，因?yàn)槊}為真，命題或為真，所以為假，為真，或．18．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)．(1)求直線和曲線的普通方程；(2)直線與軸交于點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求．【答案】(1)，(2)4【分析】（1）根據(jù)，即可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；消參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）由題意易知，求出直線的參數(shù)方程，將其代入曲線的普通方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，即可求出結(jié)果．【詳解】(1)解：直線的極坐標(biāo)方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，消參數(shù)，所以曲線的普通方程為．(2)解：在中令得，，傾斜角，的參數(shù)方程可設(shè)為，即（為參數(shù)），將其代入，得，，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，，異號，.19．已知函數(shù)(1)求在點(diǎn)處的切線方程．(2)求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積．【答案】(1)(2)2【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）首先求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分及微積分基本定理計(jì)算可得；【詳解】(1)解：因?yàn)?/span>，所以，所以切線的斜率，切線過點(diǎn)，切線的方程為，即．(2)解：由題知，即解得或，即或或，直線與曲線于則所求圖形的面積20．請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)長方體形狀的包裝盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè) (1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)為多少時(shí)，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？【答案】(1)，定義域?yàn)?/span>；(2)當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是.【分析】（1）設(shè)出包裝盒的高和底面邊長，利用長方體的表面積得到等量關(guān)系，再利用長方體的體積公式求出表達(dá)式，再利用實(shí)際意義得到函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號變化得到函數(shù)的極值，即最值.【詳解】(1)解：設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，則，，．所以=其定義域?yàn)?/span>；(2)解：由（1）得：，，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是21．已知兩動(dòng)圓：和：，把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)為，取曲線上的相異兩點(diǎn)、滿足：且點(diǎn)與點(diǎn)均不重合.(1)求曲線的方程；(2)證明直線恒經(jīng)過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)；(2)證明見解析，.【分析】（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；（2），設(shè)，，，，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理法及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有．由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設(shè)方程為，則，，所以曲線的方程是：．(2)由題意可知：，且直線斜率存在，設(shè)，， 設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，可得，，，因?yàn)?/span>，所以有，把代入整理化簡得，或舍，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)均不重合，所以直線恒過定點(diǎn)22．已知函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，對任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分類討論即得；（2）由題可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)?/span>，且．當(dāng)時(shí)，顯然，在定義域上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，令，得則有：極大值 即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí)，，對于滿足恒成立，在上恒成立，令，只需．∴，，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一的，使得，即，兩邊取自然對數(shù)得， 極小值 ，則的最大值為．