福建省龍巖市永定二中集團(tuán)校2021-2022學(xué)年九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題（本題共10小題，共40分）的相反數(shù)是A.  B.  C.  D. 以下由兩個等腰直角三角形組合成的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A.  B.
C.  D. 如圖所示空心圓柱體，則該幾何體的主視圖是A.
B.
C.
D. 不等式組的解集是A.  B.  C.  D. 下列說法正確的是A. “每天太陽從西邊出來”是隨機(jī)事件
B. 數(shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)是
C. 甲、乙兩人射中環(huán)數(shù)的方差分別是，，說明甲的射擊成績更穩(wěn)定
D. 為了解全國中學(xué)生視力和用眼衛(wèi)生情況，適宜采用全面調(diào)查如圖，平分，，為垂足，，則的度數(shù)是A.
B.
C.
D. 在學(xué)完八上三角形一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動課，老師讓同學(xué)們自己談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理解．
小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為：：”
小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半．”
對以上兩位同學(xué)的說法，你認(rèn)為A. 兩人都不正確 B. 小慧正確，小峰不正確
C. 小峰正確，小慧不正確 D. 兩人都正確某小區(qū)有人需要進(jìn)行核酸檢測，由于組織有序，居民也積極配合，實(shí)際上每小時檢測人數(shù)比原計(jì)劃增加人，結(jié)果提前小時完成檢測任務(wù)．假設(shè)原計(jì)劃每小時檢測人，則依題意，可列方程為A.  B.
C.  D. 如圖，直線分別與軸、軸相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)，則長度的最小值是
A.  B.  C.  D. 對于一個函數(shù)：當(dāng)自變量取時，其函數(shù)值也等于，我們稱為這個函數(shù)的不動點(diǎn)．若二次函數(shù)為常數(shù)有兩個不相等且都小于的不動點(diǎn)，則的取值范圍是 B.  C.  D. 二．填空題（本題共106小題，共24分）因式分解：______．如圖，在中，，于點(diǎn)，若，則______．

  歷經(jīng)天，年月日，太空“出差”三人組順利凱旋，平安降落在內(nèi)蒙古東風(fēng)著陸場．三人順利回家，這也意味著，我國將進(jìn)入空間站工程的建造階段．中國空間站離地球有千米遠(yuǎn)．千米用科學(xué)記數(shù)法表示為______米．如圖，將一個正六邊形與一個正五邊形如圖放置，頂點(diǎn)、、、四點(diǎn)共線，為公共頂點(diǎn)．則______．
  在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做“格點(diǎn)”，已知點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，若點(diǎn)是格點(diǎn)，則的坐標(biāo)為______．在菱形中，，，為菱形內(nèi)部一點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則的最大值為______．



  三．計(jì)算題（本題共1小題，共8分）計(jì)算：．






 四．解答題（本題共8小題，共78分）如圖，已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．
求證：．

  






 先化簡再求值：，其中．






 九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十二兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金枚每枚黃金重量相同，乙袋中裝有白銀枚每枚白銀重量相同，稱重兩袋相等，兩袋互相交換枚后，甲袋比乙袋輕了兩袋子重量忽略不計(jì)．
問：黃金、白銀每枚各重多少兩？
現(xiàn)有一袋黃金和白銀共重兩，總數(shù)不超過枚．請你算算黃金、白銀各有多少枚？






 如圖矩形．

僅用圓規(guī)在上找一點(diǎn)，使平分寫出作法，并證明
在的條件下，當(dāng)，時，求的面積．






 年月日是第七個全民國家安全教育日．為增強(qiáng)師生的國家安全意識，我區(qū)某中學(xué)組織了“國家安全知識競賽”，根據(jù)學(xué)生的成績劃分為、、、四個等級，并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：

根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
參加知識競賽的學(xué)生共有______人；
扇形統(tǒng)計(jì)圖中，______，等級對應(yīng)的圓心角為______度；
小永是四名獲等級的學(xué)生中的一位，學(xué)校將從獲等級的學(xué)生中任選人，參加區(qū)舉辦的知識競賽，請用列表法或畫樹狀圖，求小永被選中參加區(qū)知識競賽的概率．






 如圖，是的邊上一點(diǎn)，，以為直徑的交于點(diǎn)，若．
求證：是的切線；
若的半徑為，，求的長．







 【閱讀理解】
在一個三角形中，如果有兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“亞直角三角形”根據(jù)這個定義，顯然，則這個三角形的第三個角為，這就是說“亞直角三角形”是特殊的鈍角三角形．
【嘗試運(yùn)用】
若某三角形是“亞直角三角形”，且一個內(nèi)角為，請求出它的兩個銳角的度數(shù)；
如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，連接，且不平分若是“亞直角三角形”，求線段的長；
【素養(yǎng)提升】
如圖，在鈍角中，，，，的面積為，求證：是“亞直角三角形”．







 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；
當(dāng)，且時，的最小值為．
求拋物線的解析式；
直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，連接，當(dāng)時，求的值．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：的相反數(shù)為．
故選：．
根據(jù)相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】
 【解析】解：、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形．本選項(xiàng)不符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．本選項(xiàng)不符合題意；
C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形．本選項(xiàng)不符合題意；
D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．本選項(xiàng)符合題意．
故選：．
根據(jù)軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義判斷即可．
本題考查利用旋轉(zhuǎn)，軸對稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是理解中心對稱圖形，軸對稱圖形的定義，屬于中考常考題型．
 3.【答案】
 【解析】解：從前面觀察物體可以發(fā)現(xiàn)：它的主視圖應(yīng)為矩形，又因?yàn)樵搸缀误w為空心圓柱體，故矩形的內(nèi)部有兩條縱向的虛線，
故選：．
找到從前面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖；注意看得到的棱畫實(shí)線，看不到的棱畫虛線．
 4.【答案】
 【解析】解：由，得：，
由，得：，
則不等式組的解集為，
故選：．
分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】
 【解析】解：、“每天太陽從西邊出來”是不可能事件，不符合題意；
B、數(shù)據(jù)，，，，按照從小到大排列順序?yàn)椋?/span>，，，，，中間的數(shù)字是，則中位數(shù)是，符合題意；
C、甲、乙兩人射中環(huán)數(shù)的方差分別是，，說明乙的射擊成績更穩(wěn)定，不符合題意；
D、為了解全國中學(xué)生視力和用眼衛(wèi)生情況，適宜采用抽樣調(diào)查，不符合題意；
故選：．
根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小、全面調(diào)查的、方差的意義以及中位數(shù)的概念進(jìn)行分析判斷．
本題綜合考查了隨機(jī)事件，中位數(shù)以及方差等知識點(diǎn)，中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的移動對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其趨勢．
 6.【答案】
 【解析】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再根據(jù)角平分線的定義解答．

解：，，
，
平分，
．
故選D．
 7.【答案】
 【解析】解：假設(shè)存在這樣的三角形，它的三條高的比是：：，根據(jù)等積法，得到此三角形三邊比為：：，這與三角形三邊關(guān)系相矛盾，故假設(shè)錯誤，所以這樣的三角形不存在；
假設(shè)存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半，延長中線成倍，利用三角形全等，可得到三角形中中線的倍不小于其它兩邊和，這與三角形三邊關(guān)系矛盾，故假設(shè)錯誤，所以這樣的三角形不存在．
故兩人都不正確．
故選：．
要判斷是否存在這樣的三角形，可以利用反證法，從各自的已知條件入手進(jìn)行推理，看能否推出矛盾，得出矛盾的說明不存在這樣的三角形，不出現(xiàn)矛盾的說明存在這樣的三角形．
本題考查了三角形的角平分線、中線和高；反證法是一種很重要的方法，在解決一些特殊問題時非常有用，注意學(xué)習(xí)掌握．
 8.【答案】
 【解析】解：實(shí)際上每小時檢測人數(shù)比原計(jì)劃增加人，且原計(jì)劃每小時檢測人，
實(shí)際每小時檢測人．
依題意得：．
故選：．
由實(shí)際與原計(jì)劃每小時檢測人數(shù)之間的關(guān)系可得出實(shí)際每小時檢測人，利用檢測實(shí)際該小區(qū)需要核算檢測的總?cè)藬?shù)每小時檢測人數(shù)，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前小時完成檢測任務(wù)，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】
 【解析】解：以為直徑作，連接并延長交于點(diǎn)，此時的長度最小．
當(dāng)時，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
又點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
．
故選：．
以為直徑作，連接并延長交于點(diǎn)，此時的長度最小，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出的長度及點(diǎn)的長度，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可求出的長，再利用，即可求出長度的最小值．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、勾股定理以及圓的認(rèn)識，牢記點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)到圓的最短距離半徑該點(diǎn)到圓心的距離是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】
 【解析】解：由題意知二次函數(shù)有兩個相異的不動點(diǎn)、是方程的兩個不相等實(shí)數(shù)根，且、都小于，
整理，得：，
由有兩個不相等的實(shí)數(shù)根知：，即，
令，畫出該二次函數(shù)的草圖如下：

而、設(shè)在的右側(cè)都小于，即當(dāng)時，，
聯(lián)立并解得：；
故選：．
由函數(shù)的不動點(diǎn)概念得出、是方程的兩個實(shí)數(shù)根，由知且時，即可求解．
本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解并掌握不動點(diǎn)的概念，并據(jù)此得出關(guān)于的不等式．
 11.【答案】
 【解析】解：．
故答案為：．
根據(jù)因式分解的定義，用提公因式法得．
本題主要考查提公因式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握公因式的找法是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】
 【解析】解：中，，于點(diǎn)，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)直接寫出答案即可．
考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，難度不大．
 13.【答案】
 【解析】解：千米米米．
故答案為：．
用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】
 【解析】解：由多邊形的內(nèi)角和可得，
，
，
，
，
由三角形的內(nèi)角和得：
．
故答案為：．
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，分別得出，，再根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和算出．
本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】或或或
 【解析】解：根據(jù)題意，反比例函數(shù)第一象限的格點(diǎn)坐標(biāo)有，，，，
點(diǎn)坐標(biāo)為或或或，
故答案為：或或或．
根據(jù)題意寫出反比例函數(shù)第一象限的格點(diǎn)坐標(biāo)即可．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解“格點(diǎn)”坐標(biāo)的含義以及熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】
 【解析】解：如圖所示：連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接和，

在菱形中，
為中點(diǎn)，
為中點(diǎn)，
，
當(dāng)、、、共線時，也為，
為中點(diǎn)、為中點(diǎn)，
，
在菱形中且，
，，
，，
，
，
，
，
，
的最大值為．
故答案為：．
先根據(jù)題目條件中的中點(diǎn)可聯(lián)想中位線的性質(zhì)，構(gòu)造中位線將和的長度先求出來，再利用三角形的三邊關(guān)系判斷，當(dāng)時最大．
本題難點(diǎn)在于輔助線的添加，要根據(jù)菱形的性質(zhì)和題目條件中的中點(diǎn)構(gòu)造中位線，然后借助三角形的三邊關(guān)系可判斷出當(dāng)、、三點(diǎn)共線時最大．
 17.【答案】解：


．
 【解析】首先計(jì)算零指數(shù)冪、開方和絕對值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．
此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
 18.【答案】證明：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
≌，
．
 【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，，再根據(jù)，可得，可知≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
本題考查了正方形的性質(zhì)，證明≌是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：原式

，
當(dāng)時，
原式．
 【解析】將原式小括號內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后算括號外面的除法，最后代入求值．
本題考查分式的化簡求值，分母有理化計(jì)算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號先算小括號里面的和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】解：設(shè)每枚黃金重兩，每枚白銀重兩，
由題意得：，
解得：，
答：每枚黃金重兩，每枚白銀重兩．
設(shè)黃金有枚，白銀有枚，
由題意得：，
整理得：，
，
、為正整數(shù)，
或，
又，
，
答：黃金有枚，白銀有枚．
 【解析】：設(shè)每枚黃金重兩，每枚白銀重兩，由題意：甲袋中裝有黃金枚每枚黃金重量相同，乙袋中裝有白銀枚每枚白銀重量相同，稱重兩袋相等，兩袋互相交換枚后，甲袋比乙袋輕了兩，列出二元一次方程組，解方程組即可；
設(shè)黃金有枚，白銀有枚，由題意：一袋黃金和白銀共重兩，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解，再由總數(shù)不超過枚，即可得出答案．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．
 21.【答案】解：如圖，以為圓心，長為半徑畫弧交于點(diǎn)；

由可知，設(shè)，則，
在中，，
，
故，
解得，
的面積為．
 【解析】以為圓心，長為半徑畫弧交于點(diǎn)即可；
由可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求出，進(jìn)而求出的面積．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．
 22.【答案】   
 【解析】解：參加知識競賽的學(xué)生共有：人；
故答案為：；

，即；
等級對應(yīng)的圓心角為：；
故答案為：，；

小永用表示，其他名同學(xué)分別用、、表示，
根據(jù)題意畫圖如下：

共有種等可能的情況數(shù)，其中小永被選中參加區(qū)知識競賽的有種，
則小永被選中參加區(qū)知識競賽的概率是．
根據(jù)等級的人數(shù)和所占的百分比即可得出答案；
用等級的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，求出的值，再用乘以等級所占的百分比即可；
根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出小永被選中參加區(qū)知識競賽的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義和制作方法、列表法樹狀圖法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系以及列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：如圖，連接，
是的直徑，
，
，，
，
，
，
，
，
是的半徑，且，
是的切線；
解：由知，
在中，，，，
，
，
，
，
過點(diǎn)作點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，，，
，
，
，
是的切線，
，
∽，
，
，
，
．
 【解析】連接，由是的直徑得，由，，得，而，所以，則，即可證明是的切線；
在中，解直角三角形求出，過點(diǎn)作點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，解直角三角形求出，證得∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出的長．
此題考查圓的切線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”定理、直徑所對的圓周角是直角、相似三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：由題意，，
解得，
它的兩個銳角的度數(shù)為，．
解：，
，
又，
，
是“亞直角三角形”，
，
，
∽，
，
，
在中，．
證明：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．

，，
，
在中，
，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
是“亞直角三角形”．
 【解析】根據(jù)方程組求出，即可．
證明∽，推出，可得結(jié)論．
過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)利用三角形面積求出，再利用勾股定理求出，再證明∽，可得結(jié)論．
本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，“亞直角三角形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
 25.【答案】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
拋物線的對稱軸為直線．
．
，
拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
．
．
．
；
當(dāng)時，點(diǎn)，，
拋物線的對稱軸為直線，，
當(dāng)時，隨的增大而減?。?/span>
當(dāng)，且時，的最小值為，
當(dāng)時，的最小值為，
拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
，
解得：．
拋物線的解析式為．
拋物線與軸交于點(diǎn)，
．
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為．
，
．
點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比為：，
設(shè)點(diǎn)棟橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)在直線上，
．
．
．
直線是解析式為
．
點(diǎn)在拋物線上，
．
解得：或．
或．
 【解析】利用拋物線的對稱性求得拋物線的對稱軸，從而得到與的關(guān)系，利用待定系數(shù)法將代入解析式，整理即可得出結(jié)論；
利用待定系數(shù)法解得即可；
利用三角形的面積關(guān)系得到點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)棟橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，利用解析式表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線中求得值，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求得值，將值代入的關(guān)系式即可求得結(jié)論．
本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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