山東省濟寧市金鄉(xiāng)縣2021-2022學年八年級（下）期中數學試卷 一．選擇題（本題共10小題，共30分）下列二次根式中，最簡二次根式是A.  B.  C.  D. 下列命題的逆命題是真命題的是A. 如果兩個角是直角，那么它們相等
B. 如果兩個實數相等，那么它們的平方相等
C. 如果一個四邊形是菱形，那么它的四條邊都相等
D. 如果一個四邊形是矩形，那么它的對角線相等下列各組數中，以，，為邊的三角形不是直角三角形的是A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，已知，，則，的關系是A. 相等 B. 互為相反數
C. 互為倒數 D. 互為有理化因式如圖，在四邊形中，，，，，若，則的大小為
A.  B.  C.  D. 四邊形中，對角線與相交于點，給出下列四組條件：，，，，其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有A. 組 B. 組 C. 組 D. 組如圖，在中，，，是邊的中點，于點，交于點，若，則的長是A.
B.
C.
D. 如圖，，分別是?的邊、上的點，，，將四邊形沿翻折，得到，交于點，則的周長為A.  B.  C.  D. 如圖，正方形和正方形，點在上，，，為的中點，則的長是A.
B.
C.
D. 如圖，在等腰直角中，，是斜邊的中點，點，分別在直角邊，上，且，交于點則下列結論：
；
；
的面積等于四邊形面積的倍；
．
其中正確的結論有
A.  B.  C.  D. 二．填空題（本題共5小題，共15分）如圖，實數，在數軸上的位置，化簡 ______ ．
我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形古人稱直角三角形為勾股形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若，正方形的邊長為，則等于______．
  如圖，以數軸的單位長度線段為邊長作一個正方形，以表示數的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫半圓，交數軸于點和點，則點表示的數是_____________．
如圖，菱形的邊長為，對角線，點、分別是邊、的中點，連接并延長與的延長線相交于點則 ______ ．
如圖，為坐標原點，四邊形為矩形，，，點是的中點，點在上運動，當是以為腰的等腰三角形時，則點的坐標為______．
  三．計算題（本題共1小題，共6分）計算：
；
．






 四．解答題（本題共7小題，共49分） 如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是，每個小格的頂點叫做格點．

在圖中以格點為頂點畫一個面積為的正方形；
在圖中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為，，；
如圖，，，是邊長為的小正方形的頂點，求的度數．






 如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)不同單元樓，他們想要測量小明家所在單元樓的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點，然后小華在自己家陽臺處測得處的俯角為，小明站在處測得眼睛到樓端點的仰角為，發(fā)現與互余，已知米，米，米，試求單元樓的高．







 在中，，，，求的面積．
某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．
作于，設，用含的代數式表示根據勾股定理，利用作為“橋梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的長，再計算三角形的面積．






 如圖，在平行四邊形中，于，于，連結，求證：四邊形是平行四邊形．







 如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．
求證：四邊形是菱形；
若，，求的長．







 觀察下列各式及其變形過程：
，
，
，

按照此規(guī)律，寫出第五個等式______；
按照此規(guī)律，若，試用含的代數式表示；
在的條件下，若，試求代數式的值．






 已知，在中，，，點為直線上一動點點不與點，重合以為邊作正方形，連接
如圖，當點在線段上時．求證：；
如圖，當點在線段的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出，，三條線段之間的關系；
如圖，當點在線段的反向延長線上時，且點，分別在直線的兩側，其他條件不變；
請直接寫出，，三條線段之間的關系；
若正方形的邊長為，對角線，相交于點，連接求的長度．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：、被開方數含能開得盡方的因數，故A錯誤；
B、被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式，故B正確；
C、被開方數含分母，故C錯誤；
D、被開方數含能開得盡方的因式，故D錯誤；
故選：．
判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
本題考查最簡二次根式的定義．根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式．
 2.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
根據逆命題的概念分別寫出各個命題的逆命題，根據平方的概念、菱形、矩形的判定定理判斷．
【解答】
解：、如果兩個角是直角，那么它們相等的逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，逆命題是假命題；
B、如果兩個實數相等，那么它們的平方相等的逆命題是如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等，逆命題是假命題；
C、如果一個四邊形是菱形，那么它的四條邊都相等的逆命題是如果一個四邊形四條邊都相等，那么這個四邊形是菱形，逆命題是真命題；
D、如果一個四邊形是矩形，那么它的對角線相等的逆命題是如果一個四邊形的對角線相等，那么這個四邊形是矩形，逆命題是假命題；
故選：．  3.【答案】
 【解析】解：、，故不是直角三角形，故此選項符合題意；
B、，故是直角三角形，故此選項不合題意；
C、，故是直角三角形，故此選項不合題意；
D、，故是直角三角形，故此選項不合題意．
故選A．
由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
 4.【答案】
 【解析】解：，，
，
故選：．
求出與的值即可求出答案．
本題考查分母有理化，解題的關鍵是求出與的值，本題屬于基礎題型．
 5.【答案】
 【解析】解：連接，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
故選：．
連接，求出，，，證出是直角三角形，，得出，即可得出答案．
本題考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理和勾股定理的逆定理以及直角三角形的性質；熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
 6.【答案】
 【解析】解：能推出四邊形是平行四邊形的條件有，共組，
故選C．
根據平行四邊形的判定定理逐個進行判斷即可．
本題考查了平行四邊形的判定的應用，能熟記平行四邊形的判定定理是解此題的關鍵，難度適中．
 7.【答案】
 【解析】解：在中，，，，
，
，，
，
是邊的中點，
，
，
，
故選：．
根據直角三角形的性質得到，根據三角形的中位線的性質即可得到結論．
本題考查了含角的直角三角形的性質，三角形的中位線的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．
 8.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了翻折變換的性質、平行四邊形的性質、等邊三角形的判定，熟練掌握翻折變換的性質是解決問題的關鍵．
根據平行四邊形的性質得到，由平行線的性質得到，根據折疊的性質得到，推出是等邊三角形，于是得到結論．
【解答】
解：四邊形是平行四邊形，
，
，
將四邊形沿翻折，得到，
，
，
，
是等邊三角形，
，
的周長，
故選C．  9.【答案】
 【解析】解：連接、，如圖，
四邊形和四邊形都是正方形，
，，，，
，
在中，，
為的中點，
．
故選：．
連接、，如圖，根據正方形的性質得到，，，，則利用勾股定理得到，然后根據直角三角形斜邊上的中線性質得到的長．
本題考查了正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質．
 10.【答案】
 【解析】【分析】
本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，熟練運用等腰直角三角形的性質是本題的關鍵．
由等腰直角三角形的性質可得，，，，由“”可證≌，≌，由全等三角形的性質可依次判斷．
【解答】
解：在等腰直角中，，是斜邊的中點，
，，，
，
，且
，且，，
≌
，，
同理可得：≌
，

在中，，
，
≌，≌
，，
的面積等于四邊形面積的倍；
故選：．  11.【答案】
 【解析】解：由數軸可得：，，則，
故原式

．
故答案為：．
直接利用數軸得出：，，則，再利用二次根式的性質化簡得出答案．
此題主要考查了實數運算，正確化簡各式是解題關鍵．
 12.【答案】
 【解析】解：設正方形的邊長為，
則，
設，

≌，≌，
，，
，，，
，
，
，
故答案為．
設，正方形的邊長為，則，根據全等三角形的性質得到，，根據勾股定理即可得到結論．
本題考查了勾股定理，全等三角形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
 13.【答案】
 【解析】【分析】
先求出單位正方形的對角線的長，設點表示的數為，則單位正方形的對角線的長，求出即可．
本題考查了實數與數軸的有關問題，解題的關鍵是利用勾股定理求出的長．
【解答】
解：如圖：

由題意可知：，
設點表示的數為，
則：，
，
即：點表示的數為，
故答案為．  14.【答案】
 【解析】解：連接，交于點，如圖，
菱形的邊長為，點，分別是邊，的中點，
，，，
、是菱形的對角線，，
，，，
又，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
在中，，，，
，
，
．
故答案為：．
連接與交于點，根據菱形的性質和三角形的中位線性質，可證四邊形是平行四邊形，即，根據菱形對角線的性質，在中可計算出的長度，即可算出的長度，即可得出答案．
本題主要考查了菱形的性質及三角形中位線的性質，熟練應用性質進行證明和計算是解決本題的關鍵．
 15.【答案】或或
 【解析】解：四邊形為矩形，，，
，，
點是的中點，
，
若點是頂角頂點時，點就是以點為圓心，以為半徑的弧與的交點，
在中，，
則的坐標是．
若是頂角頂點時，點就是以點為圓心，以為半徑的弧與的交點，
過作于點，
在中，，
當在的左邊時，，則的坐標是；
當在的右側時，，則的坐標是．
綜上所述，的坐標為：或或．
故答案為：或或．
分兩種情況：若點是頂角頂點時，由勾股定理求出求出，若是頂角頂點時，由勾股定理求出；分別得出點的坐標即可．
此題考查了矩形的性質、坐標與圖形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質，進行分類討論是解決問題的關鍵．
 16.【答案】解：原式

；
原式

．
 【解析】先化簡各二次根式、計算二次根式的乘除法，再計算加減即可；
先利用完全平方公式和平方差公式計算，再去括號、計算加減即可．
本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．
 17.【答案】解：所畫正方形如圖所示，

所畫三角形如圖所示，

連接，如圖，

由勾股定理，得，，
，，
，
為等腰直角三角形，且，
．
 【解析】以為邊畫出正方形，即可畫出圖形；
先畫出，即可畫出圖形；
先求出，，進而判斷出為等腰直角三角形，即可求出答案．
此題是四邊形綜合題，主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的面積，熟悉網格線是解本題的關鍵．
 18.【答案】解：過作于，
則四邊形是矩形，
米，米，
，，
，
在與中，
，
≌，
米，
米，
答：單元樓的高米．
 【解析】過作于，則四邊形是矩形，求得米，米，根據全等三角形的性質即可得到結論．
本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
 19.【答案】解：如圖，在中，，，，
設，則有，
由勾股定理得：，，
，
解之得：，
，
．
 【解析】設，由表示出，分別在直角三角形與直角三角形中，利用勾股定理表示出，列出關于的方程，求出方程的解得到的長，即可求出三角形面積．
此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．
 20.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
，，
在和中，，
≌，
，
四邊形是平行四邊形．
 【解析】由四邊形是平行四邊形，可得，，又由，，即可得，，然后利用證得≌，即可得，由有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形是平行四邊形．
此題考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，證得≌，得到且是解此題的關鍵．
 21.【答案】證明：，
，
為的平分線，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
解：四邊形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
 【解析】先證，則四邊形是平行四邊形，再由，即可得出結論；
由菱形的性質得，，，再由直角三角形斜邊上的中線性質得，然后由勾股定理得，即可求解．
本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、平行線的性質、直角三角形斜邊上的中線性質、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．
 22.【答案】
 【解析】解：．
故答案為：；

用含字母為正整數的等式表示中的一般規(guī)律為：，
；

，，
，




．
根據上述的規(guī)律第五個等式；
根據總結得到的規(guī)律，用含的等式表示，然后計算，抵消合并后，即可得到；
利用完全平方公式，代入計算即可求解．
此題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，屬于規(guī)律型題，根據題意找出一般性規(guī)律是解本題的關鍵．
 23.【答案】證明：，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，，
，
則在和中，
，
≌，
，
，
；

；


，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
正方形的邊長為且對角線、相交于點．
，為中點．
．
 【解析】是等腰直角三角形，利用即可證明≌，從而證得，據此即可證得；
同相同，利用即可證得≌，從而證得，即可得到；
首先證明≌，是直角三角形，然后根據正方形的性質即可求得的長，則即可求得．
本題考查了正方形與全等三角形的判定與性質的綜合應用，證明三角形全等是關鍵．
 

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