2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)寧市鄒城市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 題號(hào)一二三總分得分      一、選擇題（本大題共10小題，共30分）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是(    )A. 對(duì)角線相等 B. 對(duì)角線互相垂直
C. 對(duì)角線互相平分且相等 D. 對(duì)角線互相平分下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形的三邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是(    )A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、已知?中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，如果能夠判斷?為矩形，還需添加的條件是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，矩形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交和于點(diǎn)、，，，則圖中陰影部分的面積為(    )
 A.  B.  C.  D. 下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 若，則的結(jié)果是(    )A.  B.  C. 或 D. 如圖，矩形紙片中，，，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于(    )A.
B.
C.
D. 已知，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 觀察下列等式：
第個(gè)等式：
第個(gè)等式：
第個(gè)等式：
第個(gè)等式：
按照上述規(guī)律，計(jì)算：(    )A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共8小題，共24分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若有意義，則的取值范圍______．在?中，若，則的度數(shù)為______．菱形的兩條對(duì)角線，，則菱形的面積是______．方程的解是______．中，，，分別為邊，，的中點(diǎn)，已知，，，則線段的長(zhǎng)為______．若，為實(shí)數(shù)，且與互為相反數(shù)，則的值為______．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，頂點(diǎn)，分別在軸，軸的正半軸上，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
 如圖，在等腰三角形紙片中，，，沿底邊上的高剪成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形，則拼成的各種平行四邊形中，其中最長(zhǎng)的對(duì)角線的值為______．
   三、解答題（本大題共6小題，共46分）計(jì)算下列各題：
；
 如圖，在?中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．
已知，，求下列各式的值：
；
．如圖，把矩形紙片進(jìn)行折疊，已知該紙片的長(zhǎng)為，寬為．
若折疊后點(diǎn)和點(diǎn)重合，折痕交邊，分別于點(diǎn)，，如圖，求證：四邊形為菱形；
若折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為為折痕與邊的交點(diǎn)，如圖，求的長(zhǎng)．
 
如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．請(qǐng)完成如圖所示的畫圖，要求：僅用無(wú)刻度的直尺，不寫畫法，保留必要的畫圖痕跡．
在圖中畫出一條長(zhǎng)為的線段分別為格點(diǎn)
在圖中畫出一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為一邊的正方形；
在圖中，，分別為格點(diǎn)，畫出線段的垂直平分線．
 
已知菱形和菱形有公共的頂點(diǎn)，且，連接，．
若點(diǎn)在上，如圖，試猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系直接寫出關(guān)系，不用證明；
在圖的基礎(chǔ)上，將菱形繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上，如圖你認(rèn)為中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
在的條件下，如果，如圖，你認(rèn)為和是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．是最簡(jiǎn)二次根式，因此選項(xiàng)A符合題意；
B.由于分母含有無(wú)理數(shù)，因此它不是最簡(jiǎn)二次根式，所以選項(xiàng)B不符合題意；
C.由于被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，因此不是最簡(jiǎn)二次根式，所以選項(xiàng)C不符合題意；
D.含有能開得盡方的因數(shù)，即，所以不是最簡(jiǎn)二次根式，因此選項(xiàng)D不符合題意；
故選：．
根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：分母中不能含開得盡方的因數(shù)或因式；根號(hào)中不含分母；分母中不含根號(hào)．逐一進(jìn)行判斷．
本題考查最簡(jiǎn)二次根式，理解最簡(jiǎn)二次根式的定義是正確判斷的前提．
 2.【答案】 【解析】解：菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，矩形的對(duì)角線相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分．
故選：．
根據(jù)矩形的對(duì)角線的性質(zhì)對(duì)角線互相平分且相等，菱形的對(duì)角線性質(zhì)對(duì)角線互相垂直平分可解．
此題主要考查矩形、菱形的對(duì)角線的性質(zhì)．熟悉菱形和矩形的對(duì)角線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：、，故是直角三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、，故是直角三角形，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、，故不是直角三角形，故C選項(xiàng)符合題意；
D、，故是直角三角形，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
 4.【答案】 【解析】解：添加，
理由是：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
?為矩形，
故選：．
根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形得出即可．
本題考查矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，，，，
，
≌；
；
；
；
；
故選：．
首先證≌，由此可得出，由此可將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為的面積．
此題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法．
 6.【答案】 【解析】解：不能合并，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
不能合并，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)C正確；
，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：．
根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子，可以計(jì)算出正確的結(jié)果，本題得以解決．
本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
 7.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可。
【解答】
解：，，
，
故選D．
【點(diǎn)評(píng)】
本題主要根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．掌握二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵。  8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理．
根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，易證≌，即可得到結(jié)論；易得，設(shè)，則，，在中利用勾股定理得到關(guān)于的方程，解方程求出．
【解答】
解：矩形沿對(duì)角線對(duì)折，使落在的位置，

，，
又四邊形為矩形，
，
，
而，
在與中，
，
≌，
；
四邊形為矩形，
，，
≌，
，
設(shè)，則，，
在中，，即，解得，
則．
故選：．  9.【答案】 【解析】解：，
，
，
，


，
，
故選：．
根據(jù)已知可得，從而可得，然后利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，平方根，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：第個(gè)等式：
第個(gè)等式：
第個(gè)等式：
第個(gè)等式：
按照上述規(guī)律，
．
故選：．
直接利用已知運(yùn)算規(guī)律得出，進(jìn)而利用二次根式的加減運(yùn)算法則得出答案．
此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于，可以求出的范圍．
本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．
 12.【答案】 【解析】解：四邊形為平行四邊形，
．
故答案為．
根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等即可求解．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)角相等是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：四邊形是菱形，
，
，，
菱形的面積為，
故答案為：．
根據(jù)菱形的性質(zhì)得出面積，代入求出即可．
本題考查了菱形的性質(zhì)，能知道菱形的面積等于對(duì)角線積的一半是解此題的關(guān)鍵．
 14.【答案】， 【解析】【分析】
本題考查了解一元二次方程直接開平方法：形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
利用直接開平方法解方程．
【解答】
解：，
，
，
所以，．
故答案為，．  15.【答案】 【解析】解：，分別為邊，的中點(diǎn)，，
，
，，
，
，
為斜邊的中點(diǎn)，
，
故答案為：．
根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：與互為相反數(shù)，
，
，，
，
故答案為：．
根據(jù)絕對(duì)值、算術(shù)平方根的非負(fù)性求出、的值，再代入計(jì)算即可．
本題考查絕對(duì)值、算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出、的值是正確解答的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，
，，
，
，
正方形的邊，
∽，
，
，
解得，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為：
根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍求出，再求出，然后求出和相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出的長(zhǎng)，再求出，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
邊，，
，
，
如圖所示：四邊形是矩形，則其對(duì)角線的長(zhǎng)為；
如圖所示：，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，，
；
如圖所示：，
由題意可得：，，
，
其中最長(zhǎng)的對(duì)角線的值為．
故答案為．
利用等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)而重新組合得出平行四邊形，進(jìn)而利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)．
此題主要考查了圖形的剪拼以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．
 19.【答案】解：

；



． 【解析】先化簡(jiǎn)，再進(jìn)行二次根式的乘法與除法的運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；
利用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，化簡(jiǎn)，再算乘法，最后算加減即可．
本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 20.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
．
又于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，
在和中，
≌，
． 【解析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，再利用平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合判定≌，進(jìn)而可得．
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行．
 21.【答案】解：，，




，
的值為；
，，






，
的值為． 【解析】利用平方差公式，可得，然后把，的值代入進(jìn)行計(jì)算即可解答；
利用完全平方公式，可得，然后把，的值代入進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了完全平方公式，平方差公式，二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握完全平方公式，平方差公式是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：如圖，
矩形折疊使，重合，折痕為，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
四邊形為菱形；

解：在中，，
，
在中，
，
解得．
故C的長(zhǎng)是． 【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，再利用得到，則可根據(jù)“”判斷≌，得到，加上，，于是可根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形為菱形；
在中，根據(jù)勾股定理可求，進(jìn)一步得到，再在中，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)．
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)：菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．也考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和勾股定理．
 23.【答案】解：線段如圖所示；
正方形如圖所示；
線段的垂直平分線如圖所示；
 【解析】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可；
作邊長(zhǎng)為的正方形即可；
根據(jù)線段的垂直平分線的判定定理，先作出垂直平分線上的兩點(diǎn)，構(gòu)造直線即可
 24.【答案】解：，
理由如下：四邊形和四邊形都是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
；
成立，
證明：，
，即，
在和中，
，
≌，
；
，
證明：延長(zhǎng)線段、交于點(diǎn)，

，
，
由可知，≌，
，
，
四邊形是菱形，，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
． 【解析】利用定理證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
結(jié)合圖形得到，證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可．
本題是四邊形綜合題，考查的是菱形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 

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