2022屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：A.2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（       ）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求得答案.【詳解】,故，故選：C.3．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：）是（       ）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三視圖，還原幾何體，再根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式求組合體的體積即可.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體如下：直棱柱底面是為直角的等腰直角三角形，且，高；棱錐和棱柱同底，且高，故該組合體的體積.故選：B.4．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出滿(mǎn)足約束條件的可行域，由恒成立轉(zhuǎn)化為，結(jié)合可行域求出的最大值可得答案.【詳解】作出滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖所示：平移直線(xiàn)到點(diǎn)時(shí)，有最大值，此時(shí)由得，即，∵恒成立∴，即.故選：A.5．若，，則“”是“”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】可舉例說(shuō)明“”推不出“”，利用基本不等式可說(shuō)明“”成立時(shí)，“”成立，由此可得答案.【詳解】取 ，滿(mǎn)足，但 ，故“”不是“”的充分條件，因?yàn)?/span>，， ，故時(shí)，，因此“”是“”的必要條件，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.6．函數(shù)的圖象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)為奇函數(shù)排除A，C，再根據(jù)即可得到答案.【詳解】，定義域?yàn)?/span>，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A，C錯(cuò)誤，因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，又因?yàn)?/span>時(shí)，，所以，由圖知：D正確.故選：D7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，公差不為零，若，，，成等比數(shù)列，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，，成等比數(shù)列，列出相應(yīng)等式，化簡(jiǎn)可得，由于正負(fù)未定，可判斷A,B正誤，將展開(kāi)化簡(jiǎn)，可判斷C,D.【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，公差不為零，若，，，成等比數(shù)列，故，即，公差不為零，即 ，且 ，由于正負(fù)未定，故不能確定或，故A，B錯(cuò)誤；又，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：D.8．如圖，已知正方體，E，F，G分別是AB，，的中點(diǎn)，則（       ）A．直線(xiàn)與直線(xiàn)EG相交 B．直線(xiàn)平面EFGC．直線(xiàn)與平面EFG相交 D．直線(xiàn)平面EFG【答案】C【分析】通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)，求空間直線(xiàn)的距離以及空間直線(xiàn)與平面的關(guān)系，從而能每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.則.從而有對(duì)A，設(shè)與的公垂向量為，則，可取，又，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)EG的距離，故A不正確.對(duì)B，設(shè)平面的法向量為，則，從而可取.所以，因此直線(xiàn)與平面不平行，故B不正確；對(duì)C，，故直線(xiàn)與平面EFG相交，所以C正確；對(duì)D，與不共線(xiàn)，故直線(xiàn)與平面EFG不垂直，故D不正確.故選：C9．已知雙曲線(xiàn)：與拋物線(xiàn)：有公共焦點(diǎn)F，過(guò)F作雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)A，延長(zhǎng)FA與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)B，若點(diǎn)A為線(xiàn)段FB的中點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的離心率為，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上，求得的等量關(guān)系，整理化簡(jiǎn)即可求得雙曲線(xiàn)離心率.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)殡p曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)共焦點(diǎn)，故可得，又到的距離，即，又為中點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，則，解得；由可得，則由等面積可知：，解得，則，則，又點(diǎn)在漸近線(xiàn)上，即，即，又，聯(lián)立得，即，解得，故.故選：B.10．已如函數(shù)的定義域?yàn)?/span>D，若存在區(qū)間，使得，，則稱(chēng)函數(shù)有“倍跟隨區(qū)間”．下列結(jié)論正確的是（       ）A．函數(shù)存在“倍跟隨區(qū)間”B．函數(shù)，存在“倍跟隨區(qū)間”C．對(duì)于任意的，函數(shù)都有“倍跟隨區(qū)間”，則D．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，函數(shù)都有“倍跟隨區(qū)間”【答案】D【分析】對(duì)于AB，假設(shè)存在“倍跟隨區(qū)間”，則可導(dǎo)出矛盾，對(duì)于C，先考慮，此時(shí)所得的取值范圍不是，再考慮的一個(gè)特例，從而可判斷C的正誤.對(duì)于D，可證明對(duì)任意的，總有有兩個(gè)不同的解，從而可判讀其正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>為上的增函數(shù)，若函數(shù)存在“倍跟隨區(qū)間”，則，下面考慮在上是否兩個(gè)不同的正數(shù)解，令，則.當(dāng)，則時(shí)，，時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，因?yàn)?/span>，故即時(shí)，在上至多一個(gè)零點(diǎn).故在上至多一個(gè)正數(shù)解，故不是“倍跟隨區(qū)間”，否則即在上有兩個(gè)不同的正數(shù)解，矛盾，故A錯(cuò).對(duì)于B，因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，若是“倍跟隨區(qū)間”，同A中分析得有兩個(gè)不同的正數(shù)解.即，而，又，故，此時(shí)，矛盾.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，由題設(shè)可得時(shí)，函數(shù)都有“倍跟隨區(qū)間”，若，先取，則在上為增函數(shù)，故，故在有兩個(gè)不同的解，即在有兩個(gè)不同的解，因?yàn)?/span>，故即，由可得，若，則，因?yàn)?/span>在上的值域?yàn)?/span>，故為的“倍跟隨區(qū)間”，故的取值范圍可為，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，在上為增函數(shù)，下面證明：對(duì)任意的，總有總有兩個(gè)不同的解.設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 故，而，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.但且，故即.因，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，下證當(dāng)時(shí)，有.設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即成立.故當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，則有，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故對(duì)任意的，總有總有兩個(gè)不同的解，設(shè)兩解分別為，則，故當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，函數(shù)都有“倍跟隨區(qū)間”.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于給定新定義的函數(shù)存在性問(wèn)題，應(yīng)該根據(jù)存在性轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，而后者可根據(jù)導(dǎo)數(shù)來(lái)處理，或可根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理，另外還得注意新定義的正確理解.二、填空題11．有4名男生和2名女生共6人組成兩個(gè)志愿者隊(duì)伍去兩個(gè)不同的場(chǎng)館，要求每隊(duì)既有男生又有女生，則不同的分配方法有_______________種．（用數(shù)字表示）【答案】28【分析】先把女生分配好，再分配男生，則可求不同的分配方法總數(shù).【詳解】女生的分配方法有2種，男生的分配方法有，故不同的分配方法總數(shù)為28.故答案為：2812．已知正實(shí)數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．【答案】 【分析】利用變形為，再將變形為，利用基本不等式整理為，進(jìn)而再用基本不等式求得答案.【詳解】由正實(shí)數(shù)a，b，，可得 ，所以 而，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)，故 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)取等號(hào)，故答案為：13．已知非零平面向量，夾角為，且，若，則的最小值為_______________．【答案】【分析】利用向量線(xiàn)性運(yùn)算的幾何意義可求諸模之和的最小值.【詳解】如圖，設(shè)，，，，則，且，要求的最小值即求的最小值.作出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再作出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，設(shè)與射線(xiàn)交于，連接，與射線(xiàn)交于，則，且，設(shè)，則，而，故，所以.則，當(dāng)且僅當(dāng)重合，重合時(shí)等號(hào)成立，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量的模的最值問(wèn)題，如果代數(shù)轉(zhuǎn)化比較困難，則可以考慮向量背后的幾何意義，從而把最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)處理.三、雙空題14．公元前3世紀(jì)，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線(xiàn)論》中明確給出了橢圓和圓的一個(gè)基本性質(zhì)：如圖，過(guò)橢圓（或圓）上任意一點(diǎn)P（不同于A，B）作長(zhǎng)軸（或直徑）AB的一條垂線(xiàn)段，垂足為，則為常數(shù)．若此圖形為圓，則____________；若，則此圖形的離心率為____________．【答案】     1     【分析】若圖形為圓，根據(jù)相似三角形可解；當(dāng)圖形為橢圓時(shí)，建立坐標(biāo)系，將問(wèn)題坐標(biāo)化，然后計(jì)算可得.【詳解】若為圓，則為直角三角形，因?yàn)?/span>，所以，于是有，所以當(dāng)為圖形為橢圓時(shí)，如圖建立平面直角坐標(biāo)，設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)，則，所以又，得，即所以，，所以故答案為：1，.15．已知多項(xiàng)式，則____________，____________【答案】     -4     8【分析】利用賦值法及導(dǎo)數(shù)可求對(duì)應(yīng)的值.【詳解】因?yàn)?/span>，故可令，則，令，則，對(duì)展開(kāi)式兩邊求導(dǎo)，則，令，則，故，故答案為：-4,8.16．在中，，斜邊，D為BC邊上一點(diǎn)，且，，則_____________，_____________．【答案】          【分析】先根據(jù)正弦定理求出，即可求得，再由余弦定理求得，再解可求解.【詳解】在中，由正弦定理有：，即，解得，又，所以.由已知可得，則在中，由余弦定理有：或，又因?yàn)?/span>，故（舍）.所以在中，有，解得.故答案為：，17．袋中有大小形狀相同的紅球、黑球和白球共9個(gè)，其中白球有2個(gè)，從袋中任意不放回地取出2球，至少取到1個(gè)紅球的概率為，則紅球有______________個(gè)，在此情況下，若從袋中任意不放回地取出3球，記取到黑球的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望____________【答案】     4     1【分析】（1）不放回的取出兩個(gè)求，設(shè)紅球m個(gè)，黑球個(gè)，利用排列組合計(jì)算即可.(2)超級(jí)和分布， 套入公式即可.【詳解】（1）設(shè)紅球m個(gè)，黑球個(gè)，至少取到1個(gè)紅球的概率，就是取出一個(gè)是紅色，另一個(gè)是其他色，共計(jì)中情況，還有一個(gè)可能就是兩個(gè)都是紅色有種情況，所以，化簡(jiǎn)得.（2）有上面可以紅色球4個(gè)，白球2個(gè)，黑球3個(gè)，列式如下,所以數(shù)學(xué)期望故答案為：4；1.四、解答題18．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象與軸交于點(diǎn)． (1)求函數(shù)的最小正周期及，的值；(2)已知，，求的值，【答案】(1)最小正周期， ，(2)【分析】（1）由周期公式可求得最小正周期,根據(jù)函數(shù)的最大值點(diǎn)可求得，將代入解析式，可求得A.（2）根據(jù)角結(jié)合已知可求得，再利用兩角差的正弦公式即可求得答案.【詳解】(1)的最小正周期，∵為最大值，則，，而，故取，∵函數(shù)圖象過(guò)，∴，(2)，∵，∴，∴，∴，∴.19．如圖，多面體中，平面平面ABC，平面平面ABC，，四邊形為正方形，，E為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)M，連接EM，可證，從而可證明平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量后可得線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】(1)取的中點(diǎn)M，連接EM,因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，故，而，，，∴四邊形EMCB為平行四邊形，∴，∵平面平面，∴平面．(2)因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，故，而平面平面ABC，平面平面，平面，故平面，而平面，故，又，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，∴． 20．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，滿(mǎn)足，，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量，結(jié)合題意列出方程，求得基本量，再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)（1）中所求，利用并項(xiàng)求和法求得，對(duì)分離參數(shù)，再求的最大值即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．依題意得，解得．所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為．(2)，采用并項(xiàng)求和法：，若對(duì)于任意的成立，∴即可，若時(shí)，取得最大值，則，當(dāng)或時(shí)，， ∴，∴．21．如圖，已知點(diǎn)在半圓：上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C：的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)AP，BP，AB分別與x軸交于點(diǎn)M，N，T，記的面積為，的面積為． (1)若拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），求p的值和拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程：(2)若存在點(diǎn)P，使得，求p的取值范圍．【答案】(1)；準(zhǔn)線(xiàn)方程為直線(xiàn)(2)【分析】(1)根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可以求p和其準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)設(shè)，，表示出過(guò)A和B的切線(xiàn)方程，求出M和N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P在兩直線(xiàn)上求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而再求出T點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，，進(jìn)而可以得到，從而可求，由此求出P的軌跡方程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P的軌跡與半圓：有交點(diǎn)，據(jù)此即可求出答案.【詳解】(1)，．準(zhǔn)線(xiàn)方程為直線(xiàn)．(2)設(shè)，，過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)方程：，于是；過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程：，于是；點(diǎn)在兩條切線(xiàn)上，所以，可得點(diǎn)P坐標(biāo)為．且：，于是．，，而，所以．于是點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡方程為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線(xiàn)與半圓：有交點(diǎn)．記，則，又因?yàn)?/span>，解得：．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在求出點(diǎn)P的軌跡方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P的軌跡與半圓Q有交點(diǎn)，從而求出p的范圍.22．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求的最小值；(3)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，證明：．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)其正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案；（2）利用程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得到，再利用換元法變形為，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，即證明的問(wèn)題，再利用構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，求其最值的方法即可證明.【詳解】(1)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)，設(shè)切點(diǎn)為，切線(xiàn)斜率， 切線(xiàn)方程為，，∴，，，令，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為．(3)證明：，，令， ，在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴，不妨設(shè)，則 ，故 ,令，，所以，，，要證，只要證，只要證，令，，設(shè)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，，則存在，使得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，∴在上恒成立，即證．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的相關(guān)問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是要對(duì)等式或者不等式進(jìn)行合理的變式，從而才能合理地構(gòu)造新函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性以及最值，從而證明不等式. 

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