數(shù)學(xué)試題卷
考生須知：
1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2．答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方．
3．答題時(shí)，請按照答題紙上“注意事項(xiàng)“的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．
參考公式：
球的表面積公式
錐體的體積公式 其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高
球的體積公式 其中R表示球的半徑
臺體的體積公式 其中分別表示臺體的上、下底面積，h表示臺體的高
柱體的體積公式 其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高
選擇題部分（共40分）
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．己知，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．不存在
3．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，且平面平面，則是的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
5．函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則（ ）

A． B． C． D．
6．中國代表團(tuán)在2022年北京冬奧會獲得九枚金牌，其中雪上項(xiàng)目金牌為5枚，冰上項(xiàng)目金牌為4枚．現(xiàn)有6名同學(xué)要報(bào)名參加冰雪興趣小組，要求雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目都至少有2人參加，則不同的報(bào)名方案有（ ）
A．35 B．50 C．70 D．100
7．將函數(shù)的圖象分別向左、向右各平移個(gè)單位長度后，所得的兩個(gè)圖象對稱中心重合，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．3 D．6
8．從裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球的袋中無放回任取2個(gè)球，每個(gè)球取到的概率相同，規(guī)定：
（a）取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量；
（b）取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量，則（ ）
A． B．
C． D．
9．已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則點(diǎn)P一定在（ ）上．
A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線
10．已知數(shù)列滿足，記表示數(shù)列的前n項(xiàng)乘積．則（ ）
A． B． C． D．
非選擇題部分（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分．
11．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的表面積是________，體積是______．

12．已知，則________．已知，則b的取值范圍是_______．
13．已知的展開式的第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則_______；此時(shí)，展開式中的系數(shù)為_______．
14．在中，角所對的邊分別為，為的外接圓半徑，則______，_______．
15．在中，點(diǎn)O、點(diǎn)H分別為的外心和垂心，，則________．
16．不等式的解集非空，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
17．已知函數(shù)滿足，且方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．
三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．己知．
（I）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知，求在上的值域．
19．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，．

（I）點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，求證：；
（Ⅱ）點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦值的最大值．
20．己知數(shù)列滿足，且．
（I）求出的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
21．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，且的重心為拋物線焦點(diǎn)F．
（I）求m與t的關(guān)系式；
（Ⅱ）求面積的取值范圍．
22．己知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)，證明：．
（Ⅱ）己知，其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù)．
若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．
寧波“十?！?022屆高三3月聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題
二、填空題
11． 12．或4， 13． 14．
15．8 16． 17．
三、解答題
18．解：（Ⅰ）……2分
……4分
最小正周期，……5分
因?yàn)?，所以?br>所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．……7分
（II）
……11分
因?yàn)?，所以?br>所以在上的值域?yàn)椤?分
19．解：（I）證明：連接交于點(diǎn)O，由題意知平面，
又因?yàn)槠矫妫裕?分
因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以?br>又因?yàn)?，所以平面，…?分
又因?yàn)槠矫妫裕?分
（Ⅱ）以為x軸，為y軸，過O且垂直平面向上方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
因?yàn)辄c(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，所以可設(shè)，所以
，即點(diǎn)P坐標(biāo)為．……9分
，
設(shè)平面法向量為，
則，取．……分
，
設(shè)與平面所成角為，
則，……13分
設(shè)，則，
所以直線與平面所成角正弦值的最大值為．……15分

20．解：（I），……2分
猜想．……4分
下用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1）當(dāng)時(shí)，成立
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)成立．
由（1），（2）得對任意成立．……8分
（Ⅱ），……10分
則，……13分
所以．……15分
21．解：（Ⅰ）
由得，
，
，①……2分
因?yàn)榈闹匦臑閽佄锞€的焦點(diǎn)，
所以，②……4分
①式代入②式得，……6分
所以m與t的關(guān)系式為……8分
（Ⅱ）由（I）得，
結(jié)合判別式得，……10分
因?yàn)椴唤?jīng)過點(diǎn)F（否則三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形），所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
，
點(diǎn)C到的距離，
所以，，……13分
設(shè)，則，
所以y在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以面積的取值范圍為．……15分
22．解：（I）欲證，
只需證，……2分
即證，
設(shè)，即證，①……4分
設(shè)，則，
所以單調(diào)遞增，所以，所以①式成立，
所以，．……6分
（Ⅱ）根據(jù)已知，得到
聯(lián)立解得．……8分
由（Ⅰ）得不等式成立，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以對任意成立．
即，
所以，由知．
所以．……12分
構(gòu)造，則存在零點(diǎn)，且．
同理可證．
所以．……15分

題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
D
B
A
C
B
C

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