2022年4月金華十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題選擇題部分 (共 40 分)一、選擇題: 本大題共 10 小題, 每小題 4 分, 共 40 分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．或2．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，，下列選項中正確的是（       ）A．若是純虛數(shù)，則這個純虛數(shù)為B．若為實數(shù)，則C．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則D．當(dāng)時，3．我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，問第五天織布的尺數(shù)是多少?你的答案是(       )A． B．1 C． D．4．直線平面，直線平面，則“”是“”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若二項式的展開式中含有常數(shù)項，則可以取（       ）A．5 B．6 C．7 D．86．已知滿足不等式組，若中有最大值，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則圖象為下圖的函數(shù)可能是（       ） A． B． C． D．8．三棱錐中，，若三角形和都是等腰直角三角形，則可能的不同取值有（       ）A．1種 B．2種 C．3種 D．至少4種9．設(shè)，則有（       ）A．存在成立 B．任意恒成立C．任意恒成立 D．存在成立10．已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（       ）A．若為等比數(shù)列，則B．若為遞增的等差數(shù)列，則C．若為等比數(shù)列，則D．若為遞增的等差數(shù)列，則二、雙空題11．直線的斜率為________，直線，若，則________.12．香囊，又名香袋、花囊，是我國古代常見的一種民間刺繡工藝品，香囊形狀多樣，如圖1所示的六面體就是其中一種，已知該六面體的所有棱長均為2，其平面展開圖如圖2所示.則圖2中兩線段與，在圖1的六面體中實際所成的角為________，若該六面體的正視圖由一菱形與其兩條對角線組成（如圖3所示），則這個菱形的面積為________.13．口袋中有個黑球、個白球，個紅球，從中任取個球，每取到一個黑球記分，每取到一個白球記分，每取到一個紅球記分，用表示得分?jǐn)?shù)，則________，________.14．已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為________，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍為________.三、填空題15．年北京冬奧會大約招募了萬名志愿者.名金華籍志愿者被安排在運動場館，每名志愿者只能去一個場館，若可供安排的個場館中至少有個要安排他們，則不同的安排種數(shù)有________.16．過雙曲線的左焦點的直線，在第一象限交雙曲線的漸近線于點，與圓相切于點.若，則離心率的值為________.17．已知向量，若對于滿足的任意向量，都存在，使得恒成立，則向量的模的最大值為________.四、解答題18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的周期及對稱軸:(2)在銳角中，分別是角的對邊.若，求的面積.19．已知四棱錐，底面是梯形，，，側(cè)面底面，為的中點，，，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．已知數(shù)列單調(diào)遞增且，前項和滿足，數(shù)列滿足，且，.(1)求數(shù)列、的通項公式;(2)若，求證：.21．已知拋物線的焦點為為上異于原點的任意一點，過作直線的垂線，垂足為為軸上點.且四邊形為平行四邊形.直線與拋物線的另一個交點分別為(1)求拋物線的方程;(2)求三角形面積的最小值.22．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)（i）若函數(shù)在為遞減函數(shù)，求的值；（ii）在（i）成立的條件下，若且，求的最大值.
參考答案：1．C【解析】【分析】利用交集的定義即得.【詳解】∵集合， ，∴.故選：C.2．D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算得，再由復(fù)數(shù)的基本概念逐一判斷可得選項.【詳解】解：，對于A：當(dāng)是純虛數(shù)時，則且，解得，此時這個純虛數(shù)為，故A不正確；對于B：當(dāng)為實數(shù)時，則，解得，故B不正確；對于C：當(dāng)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則，解得，故C不正確；對于D：當(dāng)時，，所以，故D正確，故選：D.3．D【解析】【分析】由題可知該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前n項和公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)該等比數(shù)列為，公比q＝2，則第1天織布的尺數(shù)為，第5天織布的尺數(shù)為，前5天共織布為，則，∴.故選：D.4．B【解析】【分析】利用線面平行、線面垂直的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為直線平面，直線平面，若，則、平行、相交或重合，即“”“”；若，則直線平面，設(shè)過直線的平面與平面相交，交線為，因為直線平面，直線平面，平面平面直線，所以，直線直線，因為直線平面，直線平面，所以，直線直線，故直線直線，即“”“”.因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5．A【解析】【分析】由通項公式求出，得到，其中且，通過檢驗得到正確答案.【詳解】的通項公式，其中且，要想展開式中含有常數(shù)項，則，即，當(dāng)時，滿足要求，經(jīng)檢驗，其他選項均不合題意.故選：A6．A【解析】【分析】根據(jù)題意，作出可行域，然后利用線性規(guī)劃進行數(shù)形結(jié)合求解【詳解】等價于，則可行域如圖所示，令，，當(dāng)時，過或點時，能夠取得到最大值，而在之外時，無最大值，故選：A7．C【解析】【分析】A選項，利用當(dāng)時，排除A選項，B選項，利用時，排除B選項，D選項，利用奇偶性排除D選項，C選項，滿足圖象要求.【詳解】A選項，，其中當(dāng)時，恒成立，故A選項錯誤；B選項，，當(dāng)時，，不合要求，B錯誤；C選項，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且為非奇非偶函數(shù)，故符合要求.D選項，， 定義域為R，且，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，不合題意，D錯誤.故選：C8．C【解析】【分析】對三角形和三角形的各邊位置關(guān)系進行分類討論，求解出不同情況下的取值，進而得出所有可能取值的種數(shù).【詳解】根據(jù)題意可畫簡圖如下,為等邊三角形，且都是等腰直角三角形，分類討論如下： 時， ，此時中，所以，此時，時，，此時中，,此時，此時; 時，，此時中，，此時，此時 所以的取值有3種不同情況.故選：C.9．B【解析】【分析】利用配方法可得，即得.【詳解】∵又，∴恒成立，即恒成立，故ACD錯誤.故選：B.10．B【解析】【分析】若為等比數(shù)列，可得，進而可得可判斷AC；若為遞增的等差數(shù)列，利用累乘法可得，再利用裂項相消法可得，利用累加法可得，進而可得，可判斷BD.【詳解】因為，∴，即，若為等比數(shù)列，則的公比為，∴，由，可得，∴，故AC錯誤；若為遞增的等差數(shù)列，，公差，由則，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，又則，∴當(dāng)時，不等式恒成立，故，故B正確，D錯誤.故選：B.11．          【解析】【分析】把直線方程化為斜截式即得，利用直線垂直的關(guān)系即得.【詳解】由題可得，故直線的斜率為；由可得，，解得.故答案為：；.12．     ##     ##【解析】【詳解】根據(jù)題意，六面體為兩個正四面體的疊加，如圖與，是對棱，由對稱性知與垂直，故六面體中實際所成的角，由六面體的正視圖為菱形，可得正視圖對應(yīng)長度為：則的正投影為中點，作平面于，為中心，的俯視圖在點，由棱長為得，所以，所以菱形的面積為.故答案為：，.13．          【解析】【分析】“”表示取出的球為“黑紅”或“白”，利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得的值；寫出隨機變量的分布列，可求得的值.【詳解】解：“”表示取出的球為“黑紅”或“白”，所以，；由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、、，則，，，，.所以，隨機變量的分布列如下表所示： 因此，.故答案為：.14．          【解析】【分析】①根據(jù)正弦函數(shù)值域即可求f(x)最大值；②根據(jù)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間求出ω的最大值；求出f(x)的增區(qū)間為A，則根據(jù)即可求出ω關(guān)于整數(shù)k的范圍，令k為具體的整數(shù)即可求出ω的具體范圍.【詳解】①當(dāng)sin＝1時，f(x)取最大值3；②函數(shù)在上為增函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，區(qū)間的長度最長為該正弦型函數(shù)最小正周期的一半，即.令，則，k∈Z；則，k∈Z；∵，∴時，；時，；時，∵，故不符題意；綜上，ω∈.故答案為：3；.15．【解析】【分析】對所需場館的數(shù)量進行分類討論，按照先分組再分配的方法，結(jié)合分類加法與分步乘法計數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】若有個場館需要安排，將名志愿者分為三組，每組人數(shù)分別為、、或、、，此時共有種安排方法；若有個場館需要安排，將名志愿者分為四組，每組人數(shù)分別為、、、，此時共有種安排方法；若有個場館需要安排，則每個場館只安排人，此時共有種安排方法.綜上所述，共有種安排方法.故答案為：.16．【解析】【分析】設(shè)雙曲線的右焦點為，設(shè)，，則，則由題意可得，，從而可求得，所以，從而可得，進而可求出離心率【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，在中，是的一個外角，設(shè)，，則，因為直線與圓相切于點，所以,在中，，所以，因為，所以，所以在直角中，，在直角中，，因為，所以，因為為直線的傾斜角，直線為雙曲線的漸近線，所以,所以，所以，所以，所以離心率為，故答案為：17．##【解析】【分析】設(shè)出向量，根據(jù)題干條件得到關(guān)于的不等式問題，由根的判別式得到不等關(guān)系，求出，從而求出的模的最大值.【詳解】設(shè)，，滿足，即滿足①，都存在，使得恒成立，即存在，使得②，由①②可知：存在，使得成立即，即，化簡得：③，即③式恒成立，則必須滿足，解得：，即，所以的最大值為.故答案為：【點睛】有關(guān)于向量模長的取值問題或最值問題，坐標(biāo)化處理是一種重要方法和思路，結(jié)合題目特征，合理設(shè)出向量，利用向量的坐標(biāo)運算公式，二次函數(shù)根的分布或基本不等式，導(dǎo)函數(shù)等進行求解.18．(1)周期為，對稱軸為，.(2)【解析】【分析】（1）通過三角恒等變換，化為，然后求解（2）由（1）得，，解出，余弦定理可得，再化簡求解得到，最后即可計算面積(1)（1），，∴.由得：，故函數(shù)的對稱軸為，.(2)（2），得，∵，∴，∴，，.由余弦定理可得.所以，∴或.當(dāng)時，，舍去.當(dāng)時，滿足，所以.19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合勾股定理可得出，利用線面垂直的判定可證得平面，結(jié)合可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，設(shè)，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.(1)證明：不妨設(shè)，則，.在中，，所以，，即，，則，，平面，，平面.(2)解：因為平面平面，平面平面，，平面，平面，又因為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)，(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由結(jié)合可求得的值，令，由題意推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定的該數(shù)列的公比，結(jié)合的值可求得數(shù)列的通項公式；（2）由時，，由時，利用放縮法可得出，再利用等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論成立.(1)解：當(dāng)時，，所以或，因為，故；當(dāng)時，，即，因為是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以，，則，即，所以，是等差數(shù)列，公差為，首項是，所以，.由得，，所以是等比數(shù)列，，，則數(shù)列的公比為，所以，.(2)解：當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以，.綜上可知，對任意的，成立.21．(1)(2)16【解析】【分析】（1）由平行四邊形對邊相等和，求出得到，由拋物線定義可知：是拋物線準(zhǔn)線，從而求出拋物線方程；（2）設(shè)出直線AD方程，與拋物線聯(lián)立后得點D的坐標(biāo)，從而求出AD的長，利用點到直線距離求出點E到直線AD的距離，表達出三角形ADE的面積，利用基本不等式求出最小值.(1)∵四邊形為平行列邊形，∴，因為.∴，因為點F是拋物線焦點，由拋物線定義可知：為拋物線的準(zhǔn)線.即拋物線C的方程為.(2)設(shè)，，設(shè)的方程為.代入得：，∴∴，，∴，又∵，∴，∴.由題意可得，設(shè)AE為,聯(lián)立拋物線方程得：.∴，，則點E到直線AD的距離為.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.即當(dāng)時，三角形面積的最小值為16.【點睛】對于求解圓錐曲線中的面積問題，要想用變量表達出三角形或者四邊形的面積，結(jié)合換元法，基本不等式，二次函數(shù)或者導(dǎo)函數(shù)求出最值.22．(1)(2)（i）（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出斜率，求解計算即可；（2）（i）設(shè)，討論單調(diào)性求解即可；（ii）根據(jù)條件得，分和兩種情況構(gòu)造函數(shù)求解即可.(1)因為，所以.函數(shù)在處即過點的切線方程：，故所求的切線方程為：.(2)（i）設(shè)，則， ，當(dāng)時，，在為增函數(shù).當(dāng)時，，在為增函數(shù)與在為減函數(shù)矛盾；當(dāng)時，時，在增函數(shù)，時，，在減函數(shù)，，因為在為減函數(shù)，所以成立.記，則，因為時，，時，，所以，又，所以. （i i）由（i）成立的條件，即，則.因為，（不妨設(shè)）.所以又在為減函數(shù)，而，所以只有和兩種情況. 當(dāng)時，，所以， 當(dāng)時，所以.，記，所以在為遞增函數(shù)，又，在為遞減函數(shù)，所以又時，，，因為，所以.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 

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