?2021-2022中考數學模擬試卷
考生須知：
1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。
2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。
3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．如圖是正方體的表面展開圖，則與“前”字相對的字是（　　）

A．認 B．真 C．復 D．習
2．如圖，AB是⊙O的直徑，點E為BC的中點，AB=4，∠BED=120°，則圖中陰影部分的面積之和為（ ）

A．1 B． C． D．
3．下列計算正確的是( )
A． B． C． D．
4．反比例函數y=（a＞0，a為常數）和y=在第一象限內的圖象如圖所示，點M在y=的圖象上，MC⊥x軸于點C，交y=的圖象于點A；MD⊥y軸于點D，交y=的圖象于點B，當點M在y=的圖象上運動時，以下結論：
①S△ODB=S△OCA；
②四邊形OAMB的面積不變；
③當點A是MC的中點時，則點B是MD的中點．
其中正確結論的個數是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
5．如圖，△ABC中，AB=2，AC=3，1＜BC＜5，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形ABIH、BCDE和正方形ACFG，則圖中陰影部分的最大面積為（　?。?br />
A．6 B．9 C．11 D．無法計算
6．如圖，已知點A（1，0），B（0，2），以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，直線CD與y軸交于點G，再以DG為邊在第一象限內作正方形DEFG，若反比例函數的圖像經過點E，則k的值是 （ ）

（A）33 （B）34 （C）35 （D）36
7．如果，那么代數式的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如圖所示，直線a∥b，∠1=35°，∠2=90°，則∠3的度數為（　?。?br />
A．125° B．135° C．145° D．155°
9．在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數為（? ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
10．如圖是由三個相同小正方體組成的幾何體的主視圖，那么這個幾何體可以是（　?。?br />
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11．已知x1，x2是方程x2-3x-1=0的兩根，則=______．
12．如圖，將△AOB繞點按逆時針方向旋轉后得到，若，則的度數是 _______．

13．已知a+ ＝3，則的值是_____．
14．分解因式：2x2﹣8=_____________
15．如圖，在平行四邊形紙片上做隨機扎針實驗，則針頭扎在陰影區(qū)域的概率為__________.

16．如圖所示，平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，連接AE、AF、CE、CF，添加 __________條件，可以判定四邊形AECF是平行四邊形．（填一個符合要求的條件即可）

三、解答題（共8題，共72分）
17．（8分）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），其中點B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；
（3）設點P是拋物線上且在x軸上方的任一點，點Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由．

18．（8分）如圖，已知點在反比例函數的圖象上，過點作軸，垂足為，直線經過點，與軸交于點，且，.
求反比例函數和一次函數的表達式；直接寫出關于的不等式的解集.
19．（8分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0）與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線1，交拋物線與點Q．求拋物線的解析式；當點P在線段OB上運動時，直線1交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；在點P運動的過程中，坐標平面內是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）將△ABC向下平移5個單位后得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）將△ABC繞原點O逆時針旋轉90°后得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2；
（3）判斷以O，A1，B為頂點的三角形的形狀．（無須說明理由）

21．（8分）先化簡，再求值：÷（﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+．
22．（10分）如圖，在等邊△ABC中，點D是 AB邊上一點，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．

23．（12分）某數學興趣小組為測量如圖（①所示的一段古城墻的高度，設計用平面鏡測量的示意圖如圖②所示，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經過平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處．
已知AB⊥BD、CD⊥BD，且測得AB=1.2m，BP=1.8m.PD=12m，求該城墻的高度（平面鏡的原度忽略不計）： 請你設計一個測量這段古城墻高度的方案．
要求：①面出示意圖（不要求寫畫法）；②寫出方案，給出簡要的計算過程：③給出的方案不能用到圖②的方法．
24．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CE^ AB于E， CD平分DECB， 交過點B的射線于D， 交AB于F， 且BC=BD．

（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AE=9， CE=12， 求BF的長．



參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1、B
【解析】
分析：由平面圖形的折疊以及正方體的展開圖解題，罪域正方體的平面展開圖中相對的面一定相隔一個小正方形.
詳解：由圖形可知，與“前”字相對的字是“真”．
故選B．
點睛：本題考查了正方體的平面展開圖，注意正方體的空間圖形，從相對面入手分析及解答問題.
2、C
【解析】
連接AE，OD，OE．

∵AB是直徑， ∴∠AEB=90°．
又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD．∴△AOD是等邊三角形．∴∠A=60°．
又∵點E為BC的中點，∠AED=90°，∴AB=AC．
∴△ABC是等邊三角形，
∴△EDC是等邊三角形，且邊長是△ABC邊長的一半2，高是．
∴∠BOE=∠EOD=60°，∴和弦BE圍成的部分的面積=和弦DE圍成的部分的面積．
∴陰影部分的面積=．故選C．
3、A
【解析】
原式各項計算得到結果，即可做出判斷．
【詳解】
A、原式=，正確；
B、原式不能合并，錯誤；
C、原式=，錯誤；
D、原式=2，錯誤．
故選A．
【點睛】
此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
4、D
【解析】
根據反比例函數的性質和比例系數的幾何意義逐項分析可得出解.
【詳解】
①由于A、B在同一反比例函數y=圖象上，由反比例系數的幾何意義可得S△ODB=S△OCA=1,正確；
②由于矩形OCMD、△ODB、△OCA為定值，則四邊形MAOB的面積不會發(fā)生變化，正確；
③連接OM，點A是MC的中點，則S△ODM=S△OCM=，因S△ODB=S△OCA=1,所以△OBD和△OBM面積相等，點B一定是MD的中點．正確；
故答案選D．

考點：反比例系數的幾何意義.
5、B
【解析】
有旋轉的性質得到CB=BE=BH′，推出C、B、H'在一直線上，且AB為△ACH'的中線，得到S△BEI=S△ABH′=S△ABC，同理：S△CDF=S△ABC，當∠BAC=90°時， S△ABC的面積最大，S△BEI=S△CDF=S△ABC最大，推出S△GBI=S△ABC，于是得到陰影部分面積之和為S△ABC的3倍，于是得到結論．
【詳解】
把△IBE繞B順時針旋轉90°，使BI與AB重合，E旋轉到H'的位置，
∵四邊形BCDE為正方形，∠CBE=90°，CB=BE=BH′，
∴C、B、H'在一直線上，且AB為△ACH'的中線，
∴S△BEI=S△ABH′=S△ABC，
同理：S△CDF=S△ABC，
當∠BAC=90°時，
S△ABC的面積最大，
S△BEI=S△CDF=S△ABC最大，
∵∠ABC=∠CBG=∠ABI=90°，
∴∠GBE=90°，
∴S△GBI=S△ABC，
所以陰影部分面積之和為S△ABC的3倍，
又∵AB=2，AC=3，
∴圖中陰影部分的最大面積為3× ×2×3=9，
故選B．
【點睛】
本題考查了勾股定理，利用了旋轉的性質：旋轉前后圖形全等得出圖中陰影部分的最大面積是S△ABC的3 倍是解題的關鍵．
6、D
【解析】
試題分析：過點E作EM⊥OA，垂足為M，∵A（1，0），B（0，2），∴OA-1，OB=2，又∵∠AOB=90°，∴AB==，∵AB//CD，∴∠ABO=∠CBG，∵∠BCG=90°，∴△BCG∽△AOB，∴，∵BC=AB=，∴CG=2，∵CD=AD=AB=，∴DG=3，∴DE=DG=3，∴AE=4，∵∠BAD=90°，∴∠EAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠EAM=∠ABO，又∵∠EMA=90°，∴△EAM∽△ABO，∴，即，∴AM=8，EM=4，∴AM=9，∴E（9，4），∴k=4×9=36；
故選D．

考點：反比例函數綜合題．
7、A
【解析】
先計算括號內分式的減法，再將除法轉化為乘法，最后約分即可化簡原式，繼而將3x=4y代入即可得．
【詳解】
解：∵原式=
=
=
∵3x-4y=0，
∴3x=4y
原式==1
故選：A．
【點睛】
本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．
8、A
【解析】
分析：如圖求出∠5即可解決問題．
詳解：

∵a∥b，
∴∠1=∠4=35°，
∵∠2=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠5=55°，
∴∠3=180°-∠5=125°，
故選：A．
點睛：本題考查平行線的性質、三角形內角和定理，鄰補角的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
9、C
【解析】
設參加酒會的人數為x人，根據每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【詳解】
設參加酒會的人數為x人，依題可得：
x（x-1）=55，
化簡得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案為C.
【點睛】
考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題中的等量關系列出方程.
10、A
【解析】
試題分析：主視圖是從正面看到的圖形，只有選項A符合要求，故選A．
考點：簡單幾何體的三視圖．

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11、﹣1．
【解析】
試題解析：∵，是方程的兩根，∴、，∴== =﹣1．故答案為﹣1．
12、60°
【解析】
根據題意可得,根據已知條件計算即可.
【詳解】
根據題意可得：
，

故答案為60°
【點睛】
本題主要考查旋轉角的有關計算，關鍵在于識別那個是旋轉角.
13、7
【解析】
根據完全平方公式可得：原式=．
14、2（x+2）（x﹣2）
【解析】
先提公因式，再運用平方差公式.
【詳解】
2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【點睛】
考核知識點：因式分解.掌握基本方法是關鍵.
15、
【解析】
先根據平行四邊形的性質求出對角線所分的四個三角形面積相等，再求出概率即可．
【詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴對角線把平行四邊形分成面積相等的四部分，
觀察發(fā)現：圖中陰影部分面積=S四邊形，
∴針頭扎在陰影區(qū)域內的概率為；
故答案為：．
【點睛】
此題主要考查了幾何概率，以及平行四邊形的性質，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．
16、BE=DF
【解析】
可以添加的條件有BE=DF等；證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；
又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.∴AE=CF，∠AEB=∠CFD.
∴∠AEF=∠CFE.∴AE∥CF；
∴四邊形AECF是平行四邊形．（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）故答案為BE=DF．

三、解答題（共8題，共72分）
17、（1）y=﹣x2+2x+3（2）2≤h≤4（3）（1，4）或（0，3）
【解析】
（1）拋物線的對稱軸x=1、B（3，0）、A在B的左側，根據二次函數圖象的性質可知A（-1，0）；
根據拋物線y=ax2+bx+c過點C（0，3），可知c的值.結合A、B兩點的坐標，利用待定系數法求出a、b的值，可得拋物線L的表達式；
（2）由C、B兩點的坐標，利用待定系數法可得CB的直線方程.對拋物線配方，還可進一步確定拋物線的頂點坐標；通過分析h為何值時拋物線頂點落在BC上、落在OB上，就能得到拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界）時h的取值范圍.
（3）設P（m，﹣m2+2m+3），過P作MN∥x軸，交直線x=﹣3于M，過B作BN⊥MN，
通過證明△BNP≌△PMQ求解即可.
【詳解】
（1）把點B（3，0），點C（0，3）代入拋物線y=﹣x2+bx+c中得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即拋物線的對稱軸是：x=1，
設原拋物線的頂點為D，
∵點B（3，0），點C（0，3）．
易得BC的解析式為：y=﹣x+3，
當x=1時，y=2，
如圖1，當拋物線的頂點D（1，2），此時點D在線段BC上，拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，
h=3﹣1=2，
當拋物線的頂點D（1，0），此時點D在x軸上，拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+0=﹣x2+2x﹣1，
h=3+1=4，
∴h的取值范圍是2≤h≤4；
（3）設P（m，﹣m2+2m+3），
如圖2，△PQB是等腰直角三角形，且PQ=PB，
過P作MN∥x軸，交直線x=﹣3于M，過B作BN⊥MN，
易得△BNP≌△PMQ，
∴BN=PM，
即﹣m2+2m+3=m+3，
解得：m1=0（圖3）或m2=1，
∴P（1，4）或（0，3）．
【點睛】
本題主要考查了待定系數法求二次函數和一次函數的解析式、二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的聯系、全等三角形的判定與性質等知識點.解（1）的關鍵是掌握待定系數法，解（2）的關鍵是分頂點落在BC上和落在OB上求出h的值，解（3）的關鍵是證明△BNP≌△PMQ.
18、（1）y=-．y=x-1．（1）x＜2．
【解析】
分析：（1）根據待定系數法即可求出反比例函數和一次函數的表達式.
詳解：（1）∵， 點A（5，2），點B（2，3），
∴
又∵點C在y軸負半軸，點D在第二象限，
∴點C的坐標為（2，-1），點D的坐標為（-1，3）．
∵點在反比例函數y=的圖象上，
∴
∴反比例函數的表達式為

將A（5，2）、B（2，-1）代入y=kx+b，
，解得：
∴一次函數的表達式為．
（1）將代入，整理得：
∵
∴一次函數圖象與反比例函數圖象無交點．
觀察圖形，可知：當x＜2時，反比例函數圖象在一次函數圖象上方，
∴不等式＞kx+b的解集為x＜2．
點睛：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．
19、 (1) ;(2) 當m＝2時，四邊形CQMD為平行四邊形;(3) Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）
【解析】
（1）直接將A（-1，0），B（4，0）代入拋物線y=x2+bx+c方程即可；
（2）由（1）中的解析式得出點C的坐標C（0，-2），從而得出點D（0，2），求出直線BD：y＝?x+2，設點M(m，?m+2)，Q(m，m2?m?2)，可得MQ=?m2+m+4，根據平行四邊形的性質可得QM=CD=4，即?m2+m+4＝4可解得m=2；
（3）由Q是以BD為直角邊的直角三角形，所以分兩種情況討論，①當∠BDQ=90°時，則BD2+DQ2=BQ2，列出方程可以求出Q1（8，18），Q2（-1，0），②當∠DBQ=90°時，則BD2+BQ2=DQ2，列出方程可以求出Q3（3，-2）．
【詳解】
（1）由題意知，
∵點A（﹣1，0），B（4，0）在拋物線y＝x2+bx+c上，
∴解得：
∴所求拋物線的解析式為
（2）由（1）知拋物線的解析式為，令x＝0，得y＝﹣2
∴點C的坐標為C（0，﹣2）
∵點D與點C關于x軸對稱
∴點D的坐標為D（0，2）
設直線BD的解析式為：y＝kx+2且B（4，0）
∴0＝4k+2，解得：
∴直線BD的解析式為：
∵點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線1，交BD于點M，交拋物線與點Q
∴可設點M，Q
∴MQ＝
∵四邊形CQMD是平行四邊形
∴QM＝CD＝4，即=4
解得：m1＝2，m2＝0（舍去）
∴當m＝2時，四邊形CQMD為平行四邊形
（3）由題意，可設點Q且B（4，0）、D（0，2）
∴BQ2＝
DQ2＝
BD2＝20
①當∠BDQ＝90°時，則BD2+DQ2＝BQ2，
∴
解得：m1＝8，m2＝﹣1，此時Q1（8，18），Q2（﹣1，0）
②當∠DBQ＝90°時，則BD2+BQ2＝DQ2，
∴
解得：m3＝3，m4＝4，（舍去）此時Q3（3，﹣2）
∴滿足條件的點Q的坐標有三個，分別為：Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）．
【點睛】
此題考查了待定系數法求解析式，還考查了平行四邊形及直角三角形的定義，要注意第3問分兩種情形求解．
20、（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析；（3）三角形的形狀為等腰直角三角形．
【解析】
【分析】（1）利用點平移的坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可得到△A1B1C1為所作；
（2）利用網格特定和旋轉的性質畫出A、B、C的對應點A2、B2、C2，從而得到△A2B2C2，
（3）根據勾股定理逆定理解答即可．
【詳解】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；

（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；
（3）三角形的形狀為等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，
即OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形狀為等腰直角三角形．
【點睛】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．
21、-5
【解析】
根據分式的運算法則以及實數的運算法則即可求出答案．
【詳解】
當x=sin30°+2﹣1+時，
∴x=++2=3，
原式=÷==﹣5.
【點睛】
本題考查分式的運算法則，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．
22、見解析
【解析】
試題分析:根據等邊三角形的性質得出AC=BC,∠B=∠ACB=60°,根據旋轉的性質得出CD=CE,∠DCE=60°,求出∠BCD=∠ACE,根據SAS推出△BCD≌△ACE,根據全等得出∠EAC=∠B=60°,求出∠EAC=∠ACB,根據平行線的判定得出即可.
試題解析:∵△ABC是等邊三角形,
∴AC=BC,∠B=∠ACB=60°,
∵線段CD繞點C順時針旋轉60°得到CE,
∴CD=CE,∠DCE=60°,
∴∠DCE=∠ACB,即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE,
∴∠BCD=∠ACE,
在△BCD與△ACE中,
,
∴△BCD≌△ACE,
∴∠EAC=∠B=60°,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
23、（1）8m；（2）答案不唯一
【解析】
（1）根據入射角等于反射角可得 ∠APB=∠CPD ，由 AB⊥BD、CD⊥BD 可得到 ∠ABP=∠CDP=90°，從而可證得三角形相似，根據相似三角形的性質列出比例式，即可求出CD的長.
（2）設計成視角問題求古城墻的高度.
【詳解】
（1）解：由題意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴ ，
∴CD==8.
答：該古城墻的高度為8m
（2）解：答案不唯一，如：如圖，

在距這段古城墻底部am的E處，用高h（m）的測角儀DE測得這段古城墻頂端A的仰角為α.即可測量這段古城墻AB的高度，
過點D作DCAB于點C.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tanα=，
∴AC=α tanα，
∴AB=AC+BC=αtanα+h
【點睛】
本題考查相似三角形性質的應用．解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題．
24、（1）證明見解析；（2）1．
【解析】
試題分析：（1）根據垂直的定義可得∠CEB=90°，然后根據角平分線的性質和等腰三角形的性質，判斷出∠1=∠D，從而根據平行線的判定得到CE∥BD，根據平行線的性質得∠DBA=∠CEB，由此可根據切線的判定得證結果；
（2）連接AC，由射影定理可得，進而求得EB的長，再由勾股定理求得BD=BC的長，然后由“兩角對應相等的兩三角形相似”的性質證得△EFC∽△BFD，再由相似三角形的性質得出結果．
試題解析：（1）證明：∵，
∴．
∵CD平分，BC=BD，
∴，．
∴．
∴∥．
∴．
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD是⊙O的切線．
（2）連接AC，
∵AB是⊙O直徑，
∴．
∵，
可得．
∴
在Rt△CEB中，∠CEB=90°，由勾股定理得

∴．
∵，∠EFC =∠BFD，
∴△EFC∽△BFD．
∴．
∴．
∴BF=1．

考點：切線的判定，相似三角形，勾股定理

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