?2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項(xiàng)
1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。
2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。
3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．如果關(guān)于的不等式組的整數(shù)解僅有、，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)、組成的有序數(shù)對(duì)共有（）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
2．計(jì)算(x－l)(x－2)的結(jié)果為（ ）
A．x2＋2 B．x2－3x＋2 C．x2－3x－3 D．x2－2x＋2
3．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．將△BMN沿著MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠F的度數(shù)為（　?。?br />
A．70° B．80° C．90° D．100°
4．如圖由四個(gè)相同的小立方體組成的立體圖像，它的主視圖是（ ）．

A． B． C． D．
5．下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（　　）
A．0 B． C． D．π
6．方程的根是（ ）
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D． x1=0，x2=2
7．運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問(wèn)題：如圖，AB是⊙O的直徑，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.則圖中陰影部分的面積是（?????? ）

A． B． C． D．
8．（2011貴州安順，4，3分）我市某一周的最高氣溫統(tǒng)計(jì)如下表：
最高氣溫（℃）

25

26

27

28

天 數(shù)

1

1

2

3

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)分別是（ ）
A．27，28 B．27.5，28 C．28，27 D．26.5，27
9．計(jì)算的正確結(jié)果是（　?。?br /> A． B．- C．1 D．﹣1
10．在下列二次函數(shù)中，其圖象的對(duì)稱軸為的是
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．對(duì)于任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算※如下：※＝，如3※2＝＝.那么8※4＝ ．
12．如圖，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，將Rt△ABC以點(diǎn)A為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，則線段BE的長(zhǎng)度為_(kāi)____．

13．觀察下列圖形，若第1個(gè)圖形中陰影部分的面積為1，第2個(gè)圖形中陰影部分的面積為，第3個(gè)圖形中陰影部分的面積為，第4個(gè)圖形中陰影部分的面積為，…則第n個(gè)圖形中陰影部分的面積為_(kāi)____.（用字母n表示）

14．觀察下列一組數(shù)：，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是_____．
15．有下列各式：①；②；③；④．其中，計(jì)算結(jié)果為分式的是_____．（填序號(hào)）
16．=__________
三、解答題（共8題，共72分）
17．（8分）如圖，在東西方向的海岸線MN上有A，B兩港口，海上有一座小島P，漁民每天都乘輪船從A，B兩港口沿AP，BP的路線去小島捕魚作業(yè)．已知小島P在A港的北偏東60°方向，在B港的北偏西45°方向，小島P距海岸線MN的距離為30海里．
求AP，BP的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.2）；甲、乙兩船分別從A，B兩港口同時(shí)出發(fā)去小島P捕魚作業(yè)，甲船比乙船晚到小島24分鐘．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的結(jié)果求甲、乙兩船的速度各是多少海里/時(shí)？
18．（8分）一個(gè)不透明的袋子中，裝有標(biāo)號(hào)分別為1、-1、2的三個(gè)小球，他們除標(biāo)號(hào)不同外，其余都完全相同；攪勻后，從中任意取一個(gè)球，標(biāo)號(hào)為正數(shù)的概率是 ； 攪勻后，從中任取一個(gè)球，標(biāo)號(hào)記為k，然后放回?cái)噭蛟偃∫粋€(gè)球，標(biāo)號(hào)記為b，求直線y=kx+b經(jīng)過(guò)一、二、三象限的概率.
19．（8分）兩個(gè)全等的等腰直角三角形按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，OA在x軸上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．求k的值．把△OCD沿射線OB移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D落在y=圖象上時(shí)，求點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

20．（8分）如圖，AB是的直徑，AF是切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F，已知，．
求AD的長(zhǎng)；
求證：FC是的切線．

21．（8分）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.分別寫出圖中點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；畫出△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的△A′B′C′；求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)（結(jié)果保留π）.

22．（10分）如圖，一次函數(shù)y=﹣x+的圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，△AOM面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）在y軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P點(diǎn)坐標(biāo)．

23．（12分）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)標(biāo)號(hào)分別為1、2、3的完全相同的小球，隨機(jī)地摸出一個(gè)小球不放回，再隨機(jī)地摸出一個(gè)小球．采用樹(shù)狀圖或列表法列出兩次摸出小球出現(xiàn)的所有可能結(jié)果；求摸出的兩個(gè)小球號(hào)碼之和等于4的概率．
24．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．求∠ABC的度數(shù)；求證：AE是⊙O的切線；當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng)．



參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1、D
【解析】
求出不等式組的解集，根據(jù)已知求出1＜≤2、3≤＜4，求出2＜a≤4、9≤b＜12，即可得出答案．
【詳解】
解不等式2x?a≥0，得：x≥，
解不等式3x?b≤0，得：x≤，
∵不等式組的整數(shù)解僅有x＝2、x＝3，
則1＜≤2、3≤＜4，
解得：2＜a≤4、9≤b＜12，
則a＝3時(shí)，b＝9、10、11；
當(dāng)a＝4時(shí)，b＝9、10、11；
所以適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a、b組成的有序數(shù)對(duì)（a，b）共有6個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解，有序?qū)崝?shù)對(duì)的應(yīng)用，解此題的根據(jù)是求出a、b的值．
2、B
【解析】
根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可.
【詳解】
(x－l)(x－2)
= x2－2x－x＋2
= x2－3x＋2.
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.
3、B
【解析】
首先利用平行線的性質(zhì)得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，進(jìn)而求出∠B的度數(shù)以及得出∠F的度數(shù)．
【詳解】
∵M(jìn)F∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A=120°，∠C=80°，
∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，
∵將△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，
∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，
故選B．
【點(diǎn)睛】
主要考查了平行線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解題關(guān)鍵．
4、D
【解析】
從正面看，共2列，左邊是1個(gè)正方形，
右邊是2個(gè)正方形，且下齊．
故選D.
5、D
【解析】
利用無(wú)理數(shù)定義判斷即可.
【詳解】
解：π是無(wú)理數(shù)，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
此題考查了無(wú)理數(shù)，弄清無(wú)理數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵.
6、C
【解析】
試題解析：x（x+1）=0，
?x=0或x+1=0，
解得x1=0，x1=-1．
故選C．
7、A
【解析】
【分析】作直徑CG，連接OD、OE、OF、DG，則根據(jù)圓周角定理求得DG的長(zhǎng)，證明DG=EF，則S扇形ODG=S扇形OEF，然后根據(jù)三角形的面積公式證明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，則S陰影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圓，即可求解．
【詳解】作直徑CG，連接OD、OE、OF、DG．
∵CG是圓的直徑，
∴∠CDG=90°，則DG==8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S陰影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圓=π×52=，
故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，圓周角定理．本題中找出兩個(gè)陰影部分面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
8、A
【解析】
根據(jù)表格可知：數(shù)據(jù)25出現(xiàn)1次，26出現(xiàn)1次，27出現(xiàn)2次，28出現(xiàn)3次，
∴眾數(shù)是28，
這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：25，26，27，27，28，28，28
∴中位數(shù)是27
∴這周最高氣溫的中位數(shù)與眾數(shù)分別是27，28
故選A.
9、D
【解析】
根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算方法，求出算式的正確結(jié)果是多少即可．
【詳解】
原式
故選：D.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了有理數(shù)的加法的運(yùn)算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：
①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加
數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得1．③一個(gè)數(shù)同
1相加，仍得這個(gè)數(shù)．
10、A
【解析】
y=（x+2）2的對(duì)稱軸為x=–2，A正確；
y=2x2–2的對(duì)稱軸為x=0，B錯(cuò)誤；
y=–2x2–2的對(duì)稱軸為x=0，C錯(cuò)誤；
y=2（x–2）2的對(duì)稱軸為x=2，D錯(cuò)誤．故選A．
1．

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11、
【解析】
根據(jù)新定義的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得.
【詳解】
∵※＝，
∴8※4=，
故答案為.
12、
【解析】
連接CE，作EF⊥BC于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠CAE=60°，AC=AE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE=AC=4，∠ACE=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】
解：連接CE，作EF⊥BC于F，

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠CAE=60°，AC=AE，
∴△ACE是等邊三角形，
∴CE=AC=4，∠ACE=60°，
∴∠ECF=30°，
∴EF=CE=2，
由勾股定理得，CF= = ，
∴BF=BC-CF= ，
由勾股定理得，BE== ，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．
13、n﹣1（n為整數(shù)）
【解析】
試題分析：觀察圖形可得，第1個(gè)圖形中陰影部分的面積=（）0=1；第2個(gè)圖形中陰影部分的面積=（）1=；第3個(gè)圖形中陰影部分的面積=（）2=；第4個(gè)圖形中陰影部分的面積=（）3=；…根據(jù)此規(guī)律可得第n個(gè)圖形中陰影部分的面積=（）n-1（n為整數(shù)）?
考點(diǎn)：圖形規(guī)律探究題．
14、
【解析】
試題解析：根據(jù)題意得，這一組數(shù)的第個(gè)數(shù)為：
故答案為
點(diǎn)睛：觀察已知一組數(shù)發(fā)現(xiàn)：分子為從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)，分母為從2開(kāi)始的連續(xù)正整數(shù)的平方，寫出第個(gè)數(shù)即可．
15、②④
【解析】
根據(jù)分式的定義，將每個(gè)式子計(jì)算后，即可求解.
【詳解】
=1不是分式，=，=3不是分式，=故選②④.
【點(diǎn)睛】
本題考查分式的判斷，解題的關(guān)鍵是清楚分式的定義.
16、2；
【解析】
試題解析：先求-2的平方4，再求它的算術(shù)平方根，即：.

三、解答題（共8題，共72分）
17、（1）AP＝60海里，BP＝42(海里)；（2）甲船的速度是24海里/時(shí)，乙船的速度是20海里/時(shí)
【解析】
（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，則有PE=30海里，由題意，可知∠PAB=30°，∠PBA=45°，從而可得 AP＝60海里，在Rt△PEB中，利用勾股定理即可求得BP的長(zhǎng)；
(2)設(shè)乙船的速度是x海里/時(shí)，則甲船的速度是1.2x海里/時(shí)，根據(jù)甲船比乙船晚到小島24分鐘列出分式方程，求解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可得.
【詳解】
(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥MN，垂足為E，
由題意，得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°－45°＝45°，
∵PE＝30海里，∴AP＝60海里，
∵PE⊥MN，∠PBA＝45°，∴∠PBE＝∠BPE＝ 45°，
∴PE＝EB＝30海里，
在Rt△PEB中，BP＝＝30≈42海里，
故AP＝60海里，BP＝42(海里)；

(2)設(shè)乙船的速度是x海里/時(shí)，則甲船的速度是1.2x海里/時(shí)，
根據(jù)題意，得，
解得x＝20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的解，
甲船的速度為1.2x＝1.2×20＝24(海里/時(shí)).，
答：甲船的速度是24海里/時(shí)，乙船的速度是20海里/時(shí).
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
18、（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接運(yùn)用概率的定義求解；（2）根據(jù)題意確定k>0,b>0，再通過(guò)列表計(jì)算概率.
【詳解】解：(1)因?yàn)?、-1、2三個(gè)數(shù)中由兩個(gè)正數(shù)，
所以從中任意取一個(gè)球，標(biāo)號(hào)為正數(shù)的概率是.
(2)因?yàn)橹本€y=kx+b經(jīng)過(guò)一、二、三象限，
所以k>0,b>0，
又因?yàn)槿∏闆r：
k b
1
-1
2
1
1,1
1,-1
1,2
-1
-1,1
-1,-1
-1.2
2
2,1
2,-1
2,2
共9種情況，符合條件的有4種，
所以直線y=kx+b經(jīng)過(guò)一、二、三象限的概率是.
【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：求規(guī)概率. 解題關(guān)鍵：把所有的情況列出，求出要得到的情況的種數(shù)，再用公式求出 .
19、（1）k=2；（2）點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．
【解析】
（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求得k值即可；
（2）設(shè)平移后與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為D′，由平移性質(zhì)可知DD′∥OB，過(guò)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)M（如圖），根據(jù)已知條件可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，1），設(shè)D′橫坐標(biāo)為t，則OE=MF=t，即可得D′（t，t+2），由此可得t（t+2）=2，解方程求得t值，利用勾股定理求得DD′的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
【詳解】
（1）∵△AOB和△COD為全等三的等腰直角三角形，OC=，
∴AB=OA=OC=OD=，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，），
代入得k=2；
（2）設(shè)平移后與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為D′，
由平移性質(zhì)可知DD′∥OB，過(guò)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)M，如圖，

∵OC=OD=，∠AOB=∠COM=45°，
∴OM=MC=MD=1，
∴D坐標(biāo)為（﹣1，1），
設(shè)D′橫坐標(biāo)為t，則OE=MF=t，
∴D′F=DF=t+1，
∴D′E=D′F+EF=t+2，
∴D′（t，t+2），
∵D′在反比例函數(shù)圖象上，
∴t（t+2）=2，解得t=或t=﹣﹣1（舍去），
∴D′（﹣1， +1），
∴DD′=，
即點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】
本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，求得點(diǎn)D′的坐標(biāo)是解決第（2）問(wèn)的關(guān)鍵．
20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
（1）首先連接OD，由垂徑定理，可求得DE的長(zhǎng)，又由勾股定理，可求得半徑OD的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AD的長(zhǎng)；
（2）連接OF、OC，先證明四邊形AFCD是菱形，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線．
【詳解】
證明：連接OD，

是的直徑，，
，
設(shè)，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，
在中，；
連接OF、OC，
是切線，
，
，
，
，
四邊形FADC是平行四邊形，


，
平行四邊形FADC是菱形
，
，
，
，
，
即，
即，
點(diǎn)C在上，
是的切線．
【點(diǎn)睛】
此題考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
21、（1）、（2）見(jiàn)解析（3）
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（3）點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路程是以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)．
試題解析：（1）A（0,4）C（3,1）
（2）如圖所示：
（3）根據(jù)勾股定理可得：AC=3，則．
考點(diǎn)：圖形的旋轉(zhuǎn)、扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式．
22、（1） （2）（0，）
【解析】
（1）根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出|k|=1，進(jìn)而得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交y軸于點(diǎn)P，得到PA+PB最小時(shí)，點(diǎn)P的位置，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出最小值A(chǔ)′B的長(zhǎng)；利用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，得到它與y軸的交點(diǎn)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】
（1）∵反比例函數(shù) y= =（k＞0）的圖象過(guò)點(diǎn) A，過(guò) A 點(diǎn)作 x 軸的垂線，垂足為 M，
∴|k|=1，
∵k＞0，
∴k=2，
故反比例函數(shù)的解析式為：y=；
(2)作點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) A′，連接 A′B，交 y 軸于點(diǎn) P，則 PA+PB 最小．

由，解得，或，
∴A（1，2），B（4，），
∴A′（﹣1，2），最小值 A′B= =，
設(shè)直線 A′B 的解析式為 y=mx+n，
則 ，解得，
∴直線 A′B 的解析式為 y= ，
∴x=0 時(shí)，y= ，
∴P 點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題以及最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定PA+PB最小時(shí)，點(diǎn)P的位置，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和圖象的解析式是解題的關(guān)鍵．
23、 (1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】
（1）畫樹(shù)狀圖列舉出所有情況；
（2）讓摸出的兩個(gè)球號(hào)碼之和等于4的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意，可以畫出如下的樹(shù)形圖：

從樹(shù)形圖可以看出，兩次摸球出現(xiàn)的所有可能結(jié)果共有6種．
（2）由樹(shù)狀圖知摸出的兩個(gè)小球號(hào)碼之和等于4的有2種結(jié)果，
∴摸出的兩個(gè)小球號(hào)碼之和等于4的概率為=．
【點(diǎn)睛】
本題要查列表法與樹(shù)狀圖法求概率，列出樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果是解題關(guān)鍵.
24、（1）60°;(2)證明略;(3)
【解析】
（1）根據(jù)∠ABC與∠D都是劣弧AC所對(duì)的圓周角，利用圓周角定理可證出∠ABC=∠D=60°；?
（2）根據(jù)AB是⊙O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ACB=90°，結(jié)合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，從而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切線；
（3）連結(jié)OC，證出△OBC是等邊三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半徑等于4，可得劣弧AC所對(duì)的圓心角∠AOC=120°，再由弧長(zhǎng)公式加以計(jì)算，可得劣弧AC的長(zhǎng)．
【詳解】
（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；
（3）如圖，連接OC，

∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長(zhǎng)為==．
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線長(zhǎng)定理及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握定理及公式是解題的關(guān)鍵.

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