課題
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后通過4個(gè)例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)化一些計(jì)算的知識(shí)。
學(xué)情分析
1．學(xué)生已學(xué)習(xí)用求根公式法解一元二次方程，。
2．本課的教學(xué)對(duì)象是初中三年級(jí)學(xué)生，學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，
3．在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們?cè)诂F(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)目標(biāo)：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。
2、能力目標(biāo)：通過韋達(dá)定理的教學(xué)過程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。
3、情感目標(biāo)：通過情境教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感，建立自信心。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1、重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
2、難點(diǎn)：讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語(yǔ)言表述，以及由一個(gè)已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點(diǎn)。
教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)
教師活動(dòng)
預(yù)設(shè)學(xué)生行為
設(shè)計(jì)意圖
問題引探
解下列方程并完成填空：
方程
兩根
兩根和
兩根積
x1
x2
X1+x2
x1x2
x2-7x+12=0




x2+3x-4=0




2x2+3x-2=0




若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為
x1= ，x2= 。
則
x1+x2= + = ；
x1 x2= ·

此得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；還可以讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述這種關(guān)系，來加深理解和記憶。
這個(gè)關(guān)系是一個(gè)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，所以也稱之為韋達(dá)定理。



探索發(fā)現(xiàn)
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
X1+x2 x1x2
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：
學(xué)生自主解答
學(xué)生交流探討
本設(shè)計(jì)采用“實(shí)踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，使學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，且又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。
嘗試發(fā)展
例1不解方程，求一元二次方程兩根的：①平方和②倒數(shù)
例2：已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及的k值
學(xué)生自主解答
此試一試、鞏固知識(shí)
拓展創(chuàng)新
（1）下列方程兩根的和與兩根的積各是多少？
；
（2）設(shè)是方程 的兩個(gè)根，不解方程，求下列各式的
①
②
（3）已知方程的一個(gè)根是1, 求它的另一個(gè)根及的m值
（4）、當(dāng)k為何值時(shí)，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。
（5）、設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。
x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;
將平方和、倒數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式
師生共同歸納小結(jié)
本課主要研究了什么？
1、方程的根是由系數(shù)決定的。2、a≠0時(shí)，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、當(dāng)a≠0，b2-4ac≥0時(shí)，x1+x2= ，x1x2= 。4、b2-4ac的值可判定根的情況。5、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。
回顧總結(jié)
板書設(shè)計(jì)
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。
問題6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？
①二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；
②當(dāng)a≠0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；
③當(dāng)a≠0時(shí)，△=b2-4ac可判定根的情況；
④當(dāng)a≠0，b2-4ac≥0時(shí)，x1+x2= ，x1x2= 。
⑤當(dāng)a≠0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。
學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

本節(jié)課充分讓學(xué)生分析、觀察、提高了學(xué)生的歸納能力及推理論證的能力
教學(xué)反思
1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行。它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ)。
2．以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力
3．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在中考中多以填空，選擇，解答題的形式出現(xiàn)，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查，是考試的熱點(diǎn)，它是方程理論的重要組成部分。
4、使學(xué)生體會(huì)解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，增強(qiáng)擇優(yōu)能力。力求讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中進(jìn)行學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教師應(yīng)注意引導(dǎo)。

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5 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

版本： 魯教版 (五四制)

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