選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)
1．已知集合，，若，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
2．已知為虛數(shù)單位，，若為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量， ，若，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中，錯(cuò)誤的是( )
A．若，則 B．若，則
C. 若，則 D．若，則或
5.若直線被圓所截弦長最短，則（ ）
A．B．C．D．
6．下列說法：①若線性回歸方程為，則當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y一定增加3個(gè)單位；
②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不會(huì)改變；
③線性回歸直線方程必過點(diǎn)；
④抽簽法屬于簡單隨機(jī)抽樣，而隨機(jī)數(shù)表法屬于系統(tǒng)抽樣，
其中錯(cuò)誤的說法是（ ）
A．①③B．②③④C．①②④D．①④
7.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，階幻方（，）是由前個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的n個(gè)數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15.現(xiàn)從如圖所示的3階幻方中任取3個(gè)不同的數(shù)，記“取到的3個(gè)數(shù)和為15”為事件，“取到的3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列”為事件，則（ ）
A． B． C． D．
7題圖 8題圖
8．如圖所示，流程圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為，那么判斷框中所填入的關(guān)于的條件是（ ） A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁和戊5名學(xué)生進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”；對乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”，則該5人可能的排名情況種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
10．已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，若以為直徑的圓過，且，則該雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若對于任意的，，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
12．定義在上的函數(shù)若滿足：①對任意、，都有；②對任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點(diǎn)稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若滿足不等式，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非選擇題）
填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13．若一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，其中，俯視圖為正三角形，則其體積等于______．
14．銳角三角形的面積為，內(nèi)角的對邊分別為，若，則________. 13題圖
15．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：1里=300步）________ 里.
16．四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上且，，則球O的表面積為 .
三、解答題(共70分，17-21每題12分，22、23選擇一題作答，10分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)
17．（12分）已知有限數(shù)列共有30項(xiàng)，其中前20項(xiàng)成公差為的等差數(shù)列，后11項(xiàng)成公比為的等比數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（1）的值；（2）數(shù)列中的最大項(xiàng)．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，，點(diǎn)是棱上的點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）已知，點(diǎn)是上的點(diǎn)，，設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，若，求的值.
19．（12分）甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4．甲、乙約定比賽當(dāng)天上午進(jìn)行3局熱身訓(xùn)練，下午進(jìn)行正式比賽．
（1）上午的3局熱身訓(xùn)練中，求甲恰好勝2局的概率；
（2）下午的正式比賽中：
①若采用“3局2勝制”，求甲所勝局?jǐn)?shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；
②分別求采用“3局2勝制”與“5局3勝制”時(shí)，甲獲勝的概率；對甲而言，哪種局制更有利？你對局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識(shí)？
20．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)任作直線交拋物線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的值.
21．（12分）已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）證明：.
選做題：請考生在22,、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按照所做的第一個(gè)題目計(jì)分。
22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線：經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為：．
（1）寫出曲線的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最?。?br>23.（10分）設(shè)函數(shù).
（1）解不等式；
（2）若的最小值為，若實(shí)數(shù)，滿足，求證：.
大慶鐵人中學(xué)2018級(jí)高三下學(xué)期模擬考試（三）數(shù)學(xué)（理）答案
一、選擇題
填空題
14． 15． 16．
解答題
17．選擇條件①：
解：（1）因?yàn)榈那?0項(xiàng)成等差數(shù)列，，
所以解得.所以.
因?yàn)閿?shù)列后11項(xiàng)成公比為的等比數(shù)列，所以.
綜上，.
（2）的前20項(xiàng)成等差數(shù)列， .
所以前20項(xiàng)為遞增數(shù)列. 即：前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為.
數(shù)列的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，，所以后11項(xiàng)是遞減數(shù)列.
即：后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為
綜上，數(shù)列的最大項(xiàng)為第20項(xiàng)，其值為40.
選擇條件②：
解：（1）因?yàn)榈那?0項(xiàng)成等差數(shù)列，，
所以 所以
因?yàn)閿?shù)列后11項(xiàng)成公比為的等比數(shù)列，
，又因?yàn)椋? 所以.
綜上，.
（2）的前20項(xiàng)成等差數(shù)列， .所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列.
前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為.因?yàn)?
i.當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，.
此時(shí)，數(shù)列的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；
ⅱ.當(dāng)時(shí)，，
后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為.
此時(shí)，數(shù)列的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18
綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18.
選擇條件③：
解：（1）因?yàn)閿?shù)列后11項(xiàng)成公比為的等比數(shù)列，，
所以，解得. 、所以.
又因?yàn)榈那?0項(xiàng)成等差數(shù)列，，
所以.
綜上，.
（2）的前20項(xiàng)成等差數(shù)列， .所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列.
前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為.
的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，而，，
，
所以后11項(xiàng)為遞增數(shù)列.后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為
綜上，數(shù)列的最大項(xiàng)為第30項(xiàng)，其值為10240.
18．（1）因?yàn)榈酌嫠倪呅问钦叫危裕?br>又，，所以平面，
又平面，所以平面平面，
因?yàn)?，平面，平面平面?br>所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，，
以為原點(diǎn)，，，的方向分別作為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，所以，，，?br>，，
得，，，
設(shè)平面的法向量為，則由，得
，即，
取，得.
易知平面和平面的一個(gè)法向量分別為和.
所以，
，
由，得，
解得.
19．（1）；（2）①分布列見解析；期望為；②“5局3勝制”更有利；比賽局?jǐn)?shù)越多，對水平高的選手越有利．
【詳解】
（1）甲恰好勝2局的概率為．
（2）①甲所勝局?jǐn)?shù)x可取0，1，2．
，
，
，
∴甲所勝局?jǐn)?shù)x的分布列為
．
②采用“3局2勝制”時(shí)，甲獲勝的概率為
，
采用“5局3勝制”時(shí)，甲獲勝的概率為
．
對甲而言，顯然“5局3勝制”更有利，
由此可得出：比賽局?jǐn)?shù)越多，對水平高的選手越有利，
20．（1）；（2）.
【詳解】
解：（1）因?yàn)棰?，且點(diǎn)在拋物線上，所以②.
由①②得，所以拋物線的方程為.
（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為零，
設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為，，，，，
所以，
∴.
設(shè)直線的方程為，代入，得.
設(shè)，，則，.
在中，令，得，即.
所以，
即，
所以，
即，∴，
所以.
21．（1）解：的定義域?yàn)椋?br>，
在上單調(diào)遞增，且.
令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為；
令，得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.
時(shí)，取得極小值，極小值為2，無極大值。
（2）證明：設(shè).
令，得；令，得或.
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且極大值為2，
由（1）知，，故當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，
，設(shè)，
設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，
則，則在上單調(diào)遞增，
從而，則在上單調(diào)遞增，
則，從而在上單調(diào)遞增，
所以，故當(dāng)時(shí)，，
從而得證.
22．（1）（為參數(shù)）；；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【詳解】
解：（1）由題意，曲線的參數(shù)方程為，經(jīng)過伸縮變換后，曲線的參數(shù)方程為，
由得：，
化為直角坐標(biāo)方程為，
所以，曲線的參數(shù)方程為，
直線的直角坐標(biāo)方程為．
（2）設(shè)，
點(diǎn)到直線的距離為，
（其中，，），
當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取到最小值，
此時(shí)，，，
，，
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
23．(1) (2)見證明
（1）
當(dāng)時(shí)，，不等式無解
當(dāng)時(shí)，，不等式的解為
綜上所述，原不等式的解集為
（2）由（1）易得的最小值為，于是
，

當(dāng)且僅當(dāng)，取“”號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
A
C
D
D
B
B
A
C
C
x
0
1
2
P
0.16
0.192
0.648

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