期中復習新定義專題參考答案1．ABCD【分析】根據(jù)已知定義，將問題轉化為方程有解，然后逐項進行求解并判斷即可.【解析】根據(jù)定義可知：若有不動點，則有解.A．令，所以，所以，故是“不動點”函數(shù)；B．令，所以或，所以是“不動點”函數(shù)；C．當時，令，所以或，所以是“不動點”函數(shù)；D．令，所以，所以是“不動點”函數(shù).故選：ABCD.2．ACD【分析】結合正弦函數(shù)的圖象變換性質分析函數(shù)的圖象，據(jù)此依次分析選項是否正確，綜合可得答案．【解析】解：根據(jù)題意，，其定義域為，有，則函數(shù)為偶函數(shù)，對于，當時，，當時，，又由為偶函數(shù)，而，則、的圖象如圖，據(jù)此依次分析選項：對于A，易得的值域為，，則的值域為，1，，A正確；對于B，不是周期函數(shù)，為周期函數(shù)，則不是周期函數(shù)，函數(shù)也不是周期函數(shù)，B錯誤；對于C，為偶函數(shù)，則，函數(shù)為偶函數(shù)，C正確；對于D，函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)與函數(shù)的交點的個數(shù)，設，當時，，當時，，則與只有的1個交點，即只有一個零點，D正確，故選：ACD．3．B【分析】將問題轉化為有解，利用換元法，令，進一步將問題轉化為在時有解，根據(jù)可得范圍.【解析】根據(jù)“局部奇函數(shù)”定義知：有解，即方程有解，則有解；設，則（當且僅當時取等號），方程等價于在時有解，在時有解；在上單調遞增，，，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B.4．ACD根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項判斷即可．【解析】對于A，若，則，滿足；若，則，滿足；故函數(shù)為偶函數(shù)，選項A正確；對于B，取，則，，故選項B錯誤；對于C，若，則，滿足；若，則，滿足，故選項C正確；對于D，要為等腰直角三角形，只可能如下四種情況：①直角頂點在上，斜邊在軸上，此時點，點的橫坐標為無理數(shù)，則中點的橫坐標仍然為無理數(shù)，那么點的橫坐標也為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立； ②直角頂點在上，斜邊不在軸上，此時點的橫坐標為無理數(shù)，則點的橫坐標也應為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立；③直角頂點在軸上，斜邊在上，此時點，點的橫坐標為有理數(shù)，則中點的橫坐標仍然為有理數(shù)，那么點的橫坐標也應為有理數(shù)，這與點的縱坐標為0矛盾，故不成立； ④直角頂點在軸上，斜邊不在上，此時點的橫坐標為無理數(shù)，則點的橫坐標也應為無理數(shù)，這與點的縱坐標為1矛盾，故不成立．綜上，不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D正確．故選：．【點睛】本題以新定義為載體，考查對函數(shù)性質等知識的運用能力，意在考查學生運用分類討論思想，數(shù)形結合思想的能力以及邏輯推理能力，屬于難題．5．BD【分析】對新定義進行變形得出函數(shù)為增函數(shù)，然后根據(jù)新定義檢驗各選項可得．【解析】根據(jù)題意，對于任意的不相等實數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，則有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，即函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，則“H函數(shù)”為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù).對于A，f(x)＝sin x為正弦函數(shù)，為奇函數(shù)但不是增函數(shù)，不符合題意；對于B，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)性質可得f(x)在R上單調遞增，符合題意；對于C，f(x)＝x3－3x為奇函數(shù)，，在R上不是增函數(shù)，不符合題意；對于D，f(x)＝x|x|＝為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，符合題意，故選：BD.6．ACD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式和向量的運算法則，結合向量的新定義，逐項判定，即可求解.【解析】若平行四邊形的面積為4，則，所以A正確；設正的邊的中點為，則，則，故，所以B不正確；由，，得，，則，可得，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，所以C正確；若，，且為單位向量，則當，，，時，可以等于，此時.所以D正確.故選：ACD7．BD【分析】根據(jù)新定義運算，結合向量數(shù)量積的運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.【解析】對于A選項，在方向上的投影向量為，A錯誤.對于B選項，，B正確.對于C選項，由于，而，所以C錯誤.對于D選項，若，則，所以或，則與平行，D正確.故選：BD8．AD【分析】根據(jù)題設條件可先判斷出、、、四點共線，從而判斷出選項A，然后可設、、、，結合題設條件可得，然后對各選項一一判斷即可.【解析】∵，∴，∴、、、四點共線∵平面上的點C，D調和分割點A，B∴A、B、C、D四點共線，故A正確；由題意可設、、、，則，.∴，∵∴對于B，若D是線段的中點，則，代入到，不存在，故B錯誤；對于C，若C、D同時在線段上，則，，代入到，可得，此時C、D重合，與題意不符，故C錯誤；對于D，若C、D同時在線段的延長線上，則，，所以，與矛盾，故C、D不可能同時在線段的延長線上，故D正確.故選：AD.9．ABD【分析】由向量的外積的性質逐個分析判斷即可【解析】A選項，根據(jù)向量外積的第一個性質可知與的方向相同，故A錯，B選項，根據(jù)向量外積的第一個性質可知與的方向相反，不可能相等，故B錯，C選項，根據(jù)向量外積的第二個性質可知正方形的面積為，則與正方體表面積的數(shù)值相等，故C對，D選項，與的方向相反，則，故D錯，故選：ABD.10．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）先化簡函數(shù)解析式，再由定義可得答案；（2）由定義得，再由已知得及，最后利用正弦的兩角差可求解；（3）根據(jù)定義得，再化簡，設，利用向量的數(shù)量積建立方程可求解.(1)，所以函數(shù)的相伴向量.(2)向量的相伴函數(shù)為，，.，，..(3)由為的相伴向量知：.所以.設，，，，，又，，.，.，，.又，∴當且僅當時，和同時等于，這時（*）式成立．∴在圖像上存在點，使得.11．(1)證明見解析(2)（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【分析】（1）利用來證得結論成立.（2）（i）通過證明方程只有一個實根來判斷出此時不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對的取值進行分類討論，結合的單調性以及（1）的結論求得唯一的“和諧區(qū)間”.(1)由已知當時，，得，所以當時，.(2)（i）時，假設存在，則由知，注意到，故，所以在單調遞增，于是，即是方程的兩個不等實根，易知不是方程的根，由已知，當時，，令，則有時，，即，故方程只有一個實根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時，假設存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時的定義域為，值域為，符合題意.若，當時，同理可得，舍去，當時，在上單調遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當時，，因為，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.【點睛】對于“新定義”的題目，關鍵是要運用新定義的知識以及原有的數(shù)學知識來進行求解.本題有兩個“新定義”，一個是泰勒發(fā)現(xiàn)的公式，另一個是“和諧區(qū)間”.泰勒發(fā)現(xiàn)的公式可以直接用于證明，“和諧區(qū)間”可轉化為函數(shù)的單調性來求解.12．(1) ；(2) 當時,;當時, .其中且；(3) ,證明見解析【分析】(1)由新定義得,再利用得即可.(2)由特征值的定義可得,由此可得的特征值,及相應的(3) 解方程組,再利用平行向量的方法求解證明即可.【解析】(1)由于此時,又因為是在的條件下,有,當時取最大值,所以此時有;(2)由,可得：,解此方程組可得：,從而.當時,解方程組,此時這兩個方程是同一個方程,所以此時方程有無窮多個解,為 (寫出一個即可),其中且.當時,同理可得,相應的 (寫出一個即可),其中且 (3)解方程組,可得從而向量與平行,從而有、、、應滿足：.當時,有唯一的特征值,且.具體證明為：由的定義可知：,所以為特征值.此時滿足：,所以有唯一的特征值.在的條件下,從而有.【點睛】本題主要考查了新定義的內容,需要根據(jù)新定義的方法列出對應的關系式,再化簡求解出對應的參數(shù)滿足的條件進行分析.屬于難題.13．（1）；（2）存在，；（3）；【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得與的關系；（2）由題意求出解析式，寫出向量，利用向量列方程求出的值；（3）利用對稱性和函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，根據(jù)方程在，上有兩個不同的實數(shù)解時，轉化為兩個函數(shù)在同一坐標系下有兩個交點，從而求出實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）利用平行四邊形對邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得：，又由，；，解得，關于的函數(shù)解析式；（2）當，時，，，，又，，，，；又，且，則，，，，故存在滿足條件；（3）當，時，，又由條件得，．當，時，，，，，從而；由得．設，，在同一直角坐標系中作出兩函數(shù)的圖象，當函數(shù)圖象經過點時，．由圖象可知，當，時，與的圖象在，有兩個不同交點，因此方程在，上有兩個不同的解；實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查平面向量與函數(shù)、數(shù)列問題知識的交會，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想的綜合運用，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于難題．14．(1)不是“有趣的”，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；是“有趣的”，單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，(2)【分析】(1) 根據(jù)函數(shù)的新定義判斷即可，結合復合函數(shù)的單調性可得函數(shù)的單調區(qū)間.(2)由題意，得出的單調區(qū)間，分析出，的范圍，從而可得存在，使得成立，然后分離參數(shù)七屆即可.(1)的定義域滿足，解得 所以的定義域為，不具有奇偶性，所以不是“有趣的”.在上單調遞減，在上單調遞增.所以單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為的定義域為，，滿足又，則為偶函數(shù).所以是“有趣的”在，上單調遞增，在，上單調遞減所以單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，(2)的定義域滿足，解得解得 所以的定義域為，則，且在上單調遞減，在上單調遞增.當時，(不可同時取得0或1)則由，則 存在，使得成立即存在，使得成立即存在，使得成立.即存在，使得成立.設 則原命題等價于，存在，成立.令，.，，，，.15．【分析】由題設知：，橫坐標相等且，在上，即有，結合的范圍及基本不等式，求的最大值即可得的最小值.【解析】由題意：，橫坐標相等，恒成立，即，由函數(shù)解析式知：，，且在：上，∴，∵，∴，∴，∴.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由題設，向量的線性關系及M點橫坐標與A、B橫坐標的數(shù)量關系易得，橫坐標相等且N、A、B共線，則為，縱坐標之差的絕對值.16．(1)詳見解析；(2)【分析】（1）利用同比不減函數(shù)的定義證明；（2）根據(jù)同比不減函數(shù)的定義，由恒成立求解.(1)因為， 所以，，因為與0的大小不確定，所以對任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；(2)因為函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，所以，，恒成立，即恒成立，因為，所以，所以的取值范圍是17．(1)證明見解析(2)存在，(3)【分析】（1）根據(jù)新定義，求在上的值域即可得證；（2）根據(jù)“翻倍區(qū)間”的定義，得到函數(shù)需滿足的方程，求解方程組即可得解；（3）由題意轉化為單調遞增且，再轉化為一元二次方程根的分布問題，列出不等式求解即可.(1)證明：由函數(shù)在上單調增函數(shù)知，的值域為，故是函數(shù)的一個“翻倍區(qū)間”；(2)假設存在一個“翻倍區(qū)間”，由函數(shù)是上的單調增函數(shù)，有 解得，，由知所有“翻倍區(qū)間”為；(3)由函數(shù)有“翻倍區(qū)間”知，為上的單調增函數(shù)，而，可得，解得，由知可得，是方程的兩個根，等價于方程在上有兩個不等實根或者在上有兩個不等實根，即方程在上有兩個不等實根或者在上有兩個不等實根，則有或，解得或，綜上，實數(shù)的取值范圍為．18．(1)(2)(3)存在點，使得.【分析】（1）利用誘導公式求出，從而得到的伴隨向量；（2）根據(jù)向量得到，利用利用湊角法得到；（3）先求出，再設出P點坐標，利用向量垂直關系得到方程，變形整理后得到，根據(jù)等式左右兩邊的取值范圍，得到當且僅當時，和同時等于，此時.(1)，故；(2)由題意得：，故，由于，所以，所以，所以.(3)，所以，假設存在點，使得，則即，因為，所以，所以，又因為，所以當且僅當時，和同時等于，此時，故在函數(shù)的圖象上存在點，使得.19．（1）是；（2）①；②見解析【分析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【解析】（1）由已知，，因為時，，所以恒成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因為，則，，所以在的右側，又復合函數(shù)的單調性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，從而，，所以，解得，所以當時，與與在區(qū)間上是“友好”的；當時，與與在區(qū)間上是“不友好”的.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學生轉化與化歸的思想、數(shù)學運算求解能力，是一道有一定難度的題.20．(1)不是“?賴函數(shù)"，理由見解析；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義，由時不存在使，即可判斷；（2）由題設可得，進而有且，結合二次函數(shù)的性質求范圍；（3）根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義易得，結合的區(qū)間單調性求得，再將題設恒(能)成立轉化為上，即可求的最大值.(1)對于函數(shù)的定義域內存在此時無解，故不是“依賴函數(shù)".(2)因為在上遞增，故，即，由，故，得，從而在上單調遞增，故.(3)①若，故在上最小值為0，此時不存在使，舍；②若，故在上單調遞減，從而，解得（舍）或，從而存在，使得對任意的有恒成立，即恒成立，由，得.由，可得，又在單調遞減，故當時，，從而，解得，綜上，實數(shù)的最大值為.【點睛】關鍵點點睛：第三問，根據(jù)二次函數(shù)的性質及“依賴函數(shù)”的定義求出參數(shù)a，再將不等式轉化為關于t的一元二次不等式恒成立，判別式、參變分離法進一步化為上.

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