華中師大一附中2021-2022學(xué)年度第二學(xué)期期中檢測(cè)高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題本試卷分四個(gè)大題，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)90分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目填寫(xiě)在規(guī)定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案，不得使用涂改液，膠帶紙、修正帶和其他筆．一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)（）A.  B.  C.  D. 2. 已知向量，滿(mǎn)足，且．則向量與向量的夾角是（）A.  B.  C.  D. 3. 函數(shù)圖象的大致形狀為（）A.  B. C.  D. 4. 已知，“實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根都是虛數(shù)”是“存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿(mǎn)足且”的（）條件.A充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要 D. 既非充分又非必要5. 如圖，棱長(zhǎng)為2正方體，為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且，則點(diǎn)到底面的距離與它到點(diǎn)的距離之和最小是()A B.  C.  D. 6. 已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：（為虛數(shù)單位），且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.  B. C.  D. 7. 中，、、分別是內(nèi)角、、的對(duì)邊，若且，則的形狀是（）A. 有一個(gè)角是的等腰三角形B. 等邊三角形C. 三邊均不相等的直角三角形D. 等腰直角三角形8. 向量的運(yùn)算包含點(diǎn)乘和叉乘，其中點(diǎn)乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積．現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個(gè)不共線(xiàn)的空間向量與，規(guī)定：①為同時(shí)與，垂直的向量；②，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③；④若，，則，其中．如圖2，在長(zhǎng)方體中，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D. 長(zhǎng)方體的體積二、多項(xiàng)選擇題（每題有兩個(gè)或者兩個(gè)以上正確答案，每題5分，少選得3分，共20分）9. 定義：，兩個(gè)向量的叉乘，則以下說(shuō)法正確的是（）A. 若，則B. C. 若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于D. 若，，則的最小值為10. 已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A. 是周期函數(shù)B. 若，則C. 在區(qū)間上是增函數(shù)D. 函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)11. 設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A. 若|z|＝1，則z＝±1或z＝±iB. 若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（－1，l），則z＋1是純虛數(shù)C. 若，則z的虛部為－2iD. 若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為12. 已知的內(nèi)角分別為，滿(mǎn)足，且，則以下說(shuō)法中正確的有（）A. 若為直角三角形，則；B. 若，則為等腰三角形；C. 若，則的面積為；D. 若，則．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13. 在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值是________．14. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且， ，則外接圓的面積為______.15. 已知是虛數(shù)單位，則________.16. 半正多面體(semiregularsolid)亦稱(chēng)“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.以正方體每條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)半正多面體，如圖，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成，若它的所有棱長(zhǎng)都為1，則該半正多面體外接球的表面積為___________；若該半正多面體可以在一個(gè)正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體體積最小值為___________.四解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17. 已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．（1）若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若m＝2，設(shè)，試求a＋b的值．19. 設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且為鈍角．（1）證明：；（2）求的取值范圍．21. 已知函數(shù)，其中．（1）求使得的取值范圍；（2）為銳角三角形，O為其外心，，令，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．23. 重慶是我國(guó)著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊為吸引游客，準(zhǔn)備在門(mén)前兩條小路和之間修建一處弓形花園，使之有著類(lèi)似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長(zhǎng)，記弓形花園的頂點(diǎn)為，，設(shè).（1）將、用含有的關(guān)系式表示出來(lái)；（2）該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn)處修建噴泉，為獲取更好的觀(guān)景視野，如何設(shè)計(jì)、的長(zhǎng)度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？24. 《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑．如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接（1）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；（2）記陽(yáng)馬體積為，四面體的體積為，求的值；（3）若面與面所成二面角大小為，求的值．26. 設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為稱(chēng)為函數(shù)的“相伴向量"（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)相伴向量（2）記的“相伴函數(shù)"為，若方程在區(qū)間[0，2]上有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知點(diǎn)滿(mǎn)足，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.  
【1題答案】【答案】A【2題答案】【答案】C【3題答案】【答案】A【4題答案】【答案】D【5題答案】【答案】A【6題答案】【答案】C【7題答案】【答案】D【8題答案】【答案】C【9題答案】【答案】ACD【10題答案】【答案】AB【11題答案】【答案】BD【12題答案】【答案】BD【13題答案】【答案】##0.9【14題答案】【答案】【15題答案】【答案】【16題答案】【答案】    ①.     ②. 【17題答案】【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，且，；【小問(wèn)2詳解】若m＝2，則，所以，，，.（2）由（1）求出角B的范圍，并將表示成B的函數(shù)，求出函數(shù)值域作答.19【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理得：，而，，于是得，即有，又為鈍角，有為銳角，即，則，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，即，于是，由得：，因此，所以的取值范圍是.【21題答案】【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】由題意得：.令，得即，故x的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】，則，又，則，由正弦定理，可知，則∴又為銳角三角形，則.則，∴【23題答案】【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，取最大值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，，所以，，.（2）因?yàn)?/span>，，所以，在中，由余弦定理易知，即，因，所以，，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，取最大值，此時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最大值.24【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．
又因?yàn)?/span>PD＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC．
而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，
即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小問(wèn)2詳解】由已知，PD是陽(yáng)馬P?ABCD的高，
∴，
由（Ⅰ）知，，
在Rt△PDC中，∵PD＝CD，
點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，
∴，
∴．【小問(wèn)3詳解】如圖所示，在面BPC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線(xiàn)．
由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因?yàn)?/span>PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，
設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ，有，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，
則，解得．
所以
故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，【26題答案】【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1），所以函數(shù)的相伴向量.（2）的“相伴函數(shù)”，方程為，，則方程，由四個(gè)實(shí)數(shù)解.所以，由四個(gè)實(shí)數(shù)解.令，①當(dāng)，，②當(dāng)，，所以，作出的圖像：所以函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）向量的“相伴函數(shù)”，其中，，.當(dāng)，即時(shí)，取最大值，所以，所以，令，則，所以，解得：，所以，因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，所以，所以.    

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