云南師大附中2021-2022學(xué)年第二學(xué)期期中考試一、選擇題1.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)的模等于（   ）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算可得,即可求模.【詳解】,則.故選：A2.已知是第三象限角,,則的值為(   )A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可求 ,根據(jù)是第三象限角和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求,再根據(jù)正弦的二倍角公式即可求解．【詳解】,∵是第三象限角,∴,．故選：D．3.某校高一年級個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽,通過簡單隨機(jī)抽樣,獲得了個班的比賽得分如下：,則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（   ）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序,再應(yīng)用百分位數(shù)的求法求70%分位數(shù).【詳解】比賽得分從小到大為,而,所以分位數(shù)為.故選：C.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可以是（   ）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】緊扣函數(shù)零點(diǎn)的判定定理即可.【詳解】函數(shù)在連續(xù),且,,故選：B.5.在直角三角形中,已知,,,以為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周,、邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個圓錐,則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面積的最大值為(   )A. B. C. D.答案：D解析：【分析】設(shè)兩條母線為、,則截面面積為,由為定值可知當(dāng)最大時,截面面積最大,結(jié)合圖形求出的范圍即可求解．【詳解】如圖,圓錐任意兩條母線為和,則截面為等腰三角形,∴截面面積為：,由圖可知,當(dāng)截面為圓錐軸截面時,最大,最大為,∴，∴最大值為,∵為定值,故當(dāng)最大時截面面積最大,故截面面積最大為．故選：D．6.中,,的平分線交邊于,已知,且,則的長為（   ）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】過作交于,作交于,由向量加法的平行四邊形法則和向量的基本定理得,,從而得,即可求得,最后把平方可求得．【詳解】如圖,過作交于,作交于,則,又,所以,,所以,即,又是的平分線,所以,而,所以,,,所以,故選：C．7.三棱柱中,與、所成角均為,,且,則與所成角的余弦值為（   ）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】延長至,使得,,異面直線與所成角為或其補(bǔ)角．設(shè),求出中的三邊長后可得結(jié)論．【詳解】如圖,延長至,使得,連接,,則由與平行且相等得平行四邊形,所以,所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角．設(shè),則是菱形且,所以,,是等邊三角形,,又,所以,則,所以,,所以異面直線與所成角的余弦值是．故選：A．8.如圖,蹴鞠,又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等,“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義,“鞠”最早系皮革外包、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動,類似今日的足球.年月日,蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.若將“鞠”的表面視為光滑的球面,已知某“鞠”表面上的四個點(diǎn)滿足,,,則該“鞠”的表面積為（   ）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】由于,所以可以把四點(diǎn)放到長方體的四個頂點(diǎn)上,則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑,求出體對角線長,從而可求出該“鞠”的表面積【詳解】因?yàn)?/span>“鞠”表面上的四個點(diǎn)滿足,,,所以可以把四點(diǎn)放到長方體的四個頂點(diǎn)上,則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑,設(shè)該長方體的長、寬、高分別為,“鞠”的半徑為,則,由題意得,所以,即,所以該“鞠”的表面積為,故選：D二、多選題9.人口普查是世界各國廣泛采用的一種搜集人口資料的方法,根據(jù)人口普查可以科學(xué)地研究制定社會、經(jīng)濟(jì)、科教等各項(xiàng)發(fā)展政策.下圖是我國七次人口普查的全國人口及年均增長率情況.則下列說法正確的是（   ）A.年均增長率逐次減小B.第二次至第七次普查的人口年均增長率的極差是C.這七次普查的人口數(shù)逐次增加,且第四次增幅最小D.第七次普查的人口數(shù)最多,且第三次增幅最大答案：B、D解析：【分析】根據(jù)折線圖判斷增幅,根據(jù)條形圖判斷人口數(shù),逐一判斷四個選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A：由折線圖知年均增長率先增大后減小,故選項(xiàng)A不正確；對于B：由折線圖知：第二次至第七次普查的人口年均增長率的極差,故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：由條形圖知這七次普查的人口數(shù)逐次增加,由折線圖知：第七次增幅最小,故選項(xiàng)C不正確；對于D：由條形圖知第七次普查的人口數(shù)最多,由折線圖知第三次增幅最大,故選項(xiàng)D正確；故選：BD.10.已知是互不重合的直線,,是互不重合的平面,下列四個命題中正確的是（   ）A.若,,,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則答案：A、C、D解析：【分析】A根據(jù)面面平行的判定判斷；B由線面、面面位置關(guān)系,結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷；C過作平面,由線面平行性質(zhì)及平行公理的推論判斷；D由面面垂直的判定判斷.【詳解】A：由,且,,根據(jù)面面平行的判定知：,正確；B：,,,則或,錯誤；C：過作平面,而,則,又則,,故,所以,正確；D：由,,根據(jù)面面垂直的判定知：,正確.故選：ACD11.下列結(jié)論正確的是（   ）A.若,,則B.函數(shù)的最小值為C.若,則的最大值為D.若,,且,則的最小值為答案：A、C解析：【分析】對于A,利用基本不等式判斷,對于B,舉例判斷,對于C,利用換元法求解,對于D,利用基本不等式判斷【詳解】對于A,因?yàn)?/span>,,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以A正確,對于B,若,則,所以B錯誤,對于C,由,得,令,則,因?yàn)?/span>,所以,所以的最大值為2,所以C正確,對于D,因?yàn)?/span>,,且,所以,因?yàn)?/span>,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,所以由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以的最小值為,所以D錯誤,故選：AC.12.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),且滿足,下列結(jié)論正確的是（   ）A.B.若,則函數(shù)的最小正周期為C.關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有個不相等的實(shí)數(shù)解D.若函數(shù)在區(qū)間上恰有個零點(diǎn),則的取值范圍為答案：A、B、C、D解析：【分析】在一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),由相反的函數(shù)值,得對稱中心,判斷A,由得對稱軸,結(jié)合對稱中心得周期,判斷B,由題意得出周期的范圍,在上至多有個完整周期,而在個完整周期內(nèi)只有1解判斷C,由函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個數(shù)確定周期的范圍從而得范圍,結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間得出范圍后判斷D．【詳解】,所以,A正確；由在區(qū)間上單調(diào),,得,,,則是對稱軸方程,而是對稱中心,所以,,B正確；由在區(qū)間上單調(diào),,得,,所以在上至多有個完整周期,而在個完整周期內(nèi)只有解,故在上最多有個實(shí)數(shù)解,因此C正確；函數(shù)在區(qū)間上恰有個零點(diǎn),則,即,解得,又,即,,所以,D正確．故選：ABCD．三、填空題13.向量、的夾角為,且,,則等于________.答案：解析：【分析】把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算可得結(jié)論．【詳解】由題意,．故答案為：．14.若命題“,成立.”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.答案：解析：【分析】將命題轉(zhuǎn)化為在上有解,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求a的范圍.【詳解】令,則在上有解,開口向上且對稱軸為,,所以或,解得.故答案為：.15.已知函數(shù),則________.答案：解析：【分析】計(jì)算為定值即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律并求解.【詳解】,
.故答案為：.16.“牟和方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉微在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體,它是由兩個相同的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖）,如圖所示的“四腳帳篷”類似于“牟和方蓋”的一部分,其中與為相互垂直且全等的半圓面,它們的圓心為,半徑為．用平行于底面的平面去截“四腳帳篷”,當(dāng)平面經(jīng)過的中點(diǎn)時,截面圖形的面積為________.答案：解析：【分析】根據(jù)題意,可知平面與各半圓的相交線段相等且垂直,即可得其截面為正方形,再由平面經(jīng)過的中點(diǎn),計(jì)算平面與各半圓的相交線段的長度,即可求出截面面積【詳解】由題意得,底面是邊長為的正方形,因?yàn)?/span>與為相互垂直且全等的半圓面,所以平面與各半圓的相交線段相等且垂直,所以其截面為正方形,因?yàn)槠矫?/span>經(jīng)過的中點(diǎn),所以平面與各半圓的相交線段的長度為,所以截面圖形的面積為,故答案為：.四、解答題17.某學(xué)校名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?/span>秒與秒之間,抽取其中個樣本,將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組,第二組,…第五組,右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）請估計(jì)學(xué)校名學(xué)生中,成績在第二組和第三組的人數(shù)；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖,求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)（所有結(jié)果均保留兩位小數(shù)）．答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖求出第二組和第三組的頻率,進(jìn)而求第二組和第三組的人數(shù)；（2）由頻率直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)即可.【詳解】（1）成績在第二組和第三組的頻率,所以學(xué)校名學(xué)生中成績在第二組和第三組的人數(shù)：．（2）樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)：,中位數(shù)：第一二組的頻率為．第一二三組的頻率為,所以中位數(shù)一定落在第三組,設(shè)中位數(shù)為,則,解得.18.如圖,四棱錐中,四邊形為矩形,為中點(diǎn),平面平面,,．
（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．（注：本小題用空間直角坐標(biāo)系的空間向量方法作答,不給分）答案：見解析解析：【分析】（1）連接交于,連接,由中位線性質(zhì)有,根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論.（2）取中點(diǎn),連接,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,則到底面的距離為PF,由,結(jié)合棱錐的體積公式求的體積．【詳解】（1）連接交于,連接,因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形,所以為的中點(diǎn),又為的中點(diǎn),所以,又平面,平面,所以平面．（2）取中點(diǎn),連接,因?yàn)?/span>,所以,又面面,面面,平面,∴平面,即到底面的距離為．由,,得：,,記到平面的距離為,又為的中點(diǎn),所以,所以.19.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；（2）設(shè)函數(shù),求的值域．答案：見解析解析：【分析】（1）利用二倍角正余弦公式、輔助角公式可得,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期、對稱軸方程即可.（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定的值域,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求的值域．【詳解】（1）,所以函數(shù)的最小正周期,令,可得,,即對稱軸方程,.（2）由（1）知：,則,得：.20.新冠肺炎疫情爆發(fā)以來,全國上下,齊心協(xié)力,眾志成城,有直線鐵路連接相距千米的兩個城市和,為了充分保障居民物資供應(yīng),擬從鐵路線上的某一點(diǎn)處筑一公路到物資供應(yīng)點(diǎn)．現(xiàn)測得千米,（如圖）．已知公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的倍,設(shè)鐵路運(yùn)費(fèi)為每千米個單位,從經(jīng)直接到的總運(yùn)費(fèi)為．為了求總運(yùn)費(fèi)的最小值,設(shè)．（1）試將表示為的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出總運(yùn)費(fèi)的最小值．答案：見解析解析：【分析】（1）在在中,利用正弦定理可求得、的長,結(jié)合題意可得出；（2）令,可得出,利用輔助角公式可得出關(guān)于的不等式,解出的取值范圍,即可求得總運(yùn)費(fèi)的最小值.【詳解】（1）在中,由正弦定理,所以,,,,由余弦定理可得,,因?yàn)?/span>,則所以,,其中,.（2）令,則有,,其中,為銳角且,由,解得或（舍去）,當(dāng)時,則,因?yàn)?/span>為銳角,則,且,因?yàn)?/span>,則,故當(dāng)時,即當(dāng)時,.21.如圖,在三棱柱中,已知,,,．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．(注：本小題用空間直角坐標(biāo)系作答,不給分)答案：見解析解析：【分析】(1)連接,用余弦定理求出,根據(jù)勾股定理證明,再證明平面即可；(2)過作垂直于于,過作垂直于于,連接,則是二面角的平面角,解△即可.【詳解】（1）連接,在中,由余弦定理得：,又,,∴,∴,又,,平面,∴平面,又平面,∴平面平面；（2）由(1)知平面平面,過點(diǎn)作垂直于于E,則面,則,過作垂直于于,連接,∵,、平面,∴平面,∴是二面角的平面角,在中,,由(1)知平面,∴,則為矩形,∵,∴,在中,,∴．22.對于定義在上的函數(shù),如果存在實(shí)數(shù),使得,那么稱是函數(shù)的一個不動點(diǎn),已知,（1）當(dāng)時,求函數(shù)的不動點(diǎn)；（2）若是函數(shù)的不動點(diǎn),求使得不等式成立的整數(shù)的最大值．答案：見解析解析：【分析】（1）由已知,結(jié)合不動點(diǎn)的定義可得求解即可.（2）由不動點(diǎn)的定義,將已知條件化簡整理為,構(gòu)造并判斷單調(diào)性,進(jìn)而有且,利用零點(diǎn)存在性定理判斷的范圍且,結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)求值域,即可確定整數(shù)的最大值．【詳解】（1）當(dāng)時,．方程可化為,解得或,所以的不動點(diǎn)為和．（2）若是函數(shù)的不動點(diǎn),則,整理得：,即,兩邊同除以有,兩邊同乘以有：,令,則在上單調(diào)遞增.由,可得,所以,即,若,則,,所以,令,而,所以整數(shù)的最大值是．  

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